2021学年2.6 直角三角形优秀随堂练习题

第2章 特殊三角形

2.8 直角三角形全等的判定

知识提要

1. 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
2. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．

练习

一、选择题

1．到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的(　D　)

A．三条中线的交点       

B．三条高线的交点

C．三边的垂直平分线的交点     

D．三条内角平分线的交点

[解析] D∵角平分线上的点到角两边的距离相等，

∴到三角形三边距离相等的点是三条内角平分线的交点．故选D.

2.（2019春•雁塔区校级月考）下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　A　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；

②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；

③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；

④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；

3．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再取BF的垂线DE，使点A，C，E在同一条直线上(如图所示)，可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长．则判定△EDC≌△ABC的理由是(   B   )

A. SAS　 　  B. ASA　   　C. SSS　    　D. HL[来

4．如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定点P的方法中，正确的是(  B  )

A. P是∠BAC，∠ABC两角平分线的交点

B. P为∠BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点

C. P为AB，AC两边上的高线的交点

D. P为AC，AB两边的垂直平分线的交点

5．已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.有下列条件：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.其中，能判定OC是∠AOB的平分线的有(　D　)

A．1个            B．2个           C．3个           D．4个

6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高线AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为(    B   )

A. 2　         　B. 4                C. 3　        　D. 4

【解】B∵AD⊥BD，∠ABC＝45°，

∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD.

∵∠C＋∠DBF＝∠C＋∠DAC＝90°，

∴∠DBF＝∠DAC.

又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，∴△BDF≌△ADC(ASA)．

∴DF＝DC＝4.

7．如图，直线l1，l2，l3表示相交的道路，现要选定一个货物中转站，要求该站到三条道路的距离相等，可供选择的点有(  D   )

A. 1处　     B. 2处     C. 3处　      D. 4处

【解】D如解图，作角平分线，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，

可知P1，P2，P3，P4都满足条件．

8. 已知：如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，垂足分别为B，D，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为(　A　)

A．1            B．2            C．5            D．无法确定

　[解析]A 如图，过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD的延长线于点F.

∵∠EDF＋∠FDC＝90°，∠CDG＋∠FDC＝90°，

∴∠EDF＝∠CDG.

又∵CD＝ED，∠DGC＝∠DFE＝90°，∴△DGC≌△DFE(AAS)，

∴EF＝CG＝3－2＝1，

∴S△ADE＝AD·EF＝×2×1＝1.

9．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（　C　）

A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③

【答案】C解：连接AP，

∵PR＝PS，∴AP是∠BAC的平分线，∴△APR≌△APS（HL）∴AS＝AR，①正确．

∵AQ＝PQ∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA∴QP∥AR，②正确．

BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立．

10. 如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（　B　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠AEH＝∠ADB＝90°

∵∠HBD+∠BHD＝90°，∠EAH+∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE∴∠HBD＝∠EAH

∵DH＝DC∴△BDH≌△ADC（AAS）∴BD＝AD，BH＝AC

②：∵BC＝AC∴∠BAC＝∠ABC∵由①知，在Rt△ABD中，BD＝AD

∴∠ABC＝45°∴∠BAC＝45°∴∠ACB＝90°

∵∠ACB+∠DAC＝90°，∠ACB＜90°∴结论②为错误结论．

③：由①证明知，△BDH≌△ADC∴BH＝AC

④：∵CE＝CD∵∠ACB＝∠ACB；∠ADC＝∠BEC＝90°∴△BEC≌△ADC

由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC∴结论④为错误结论

综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．

11. 如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，

若∠B＝28°则∠AEC＝（　B　）

A．28° B．59° C．60° D．62°

【答案】B解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，

∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，

∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，

∵∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．

二、填空题

1．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点F.若AD＝BD＝6 cm，则AF＋CD＝___6_____cm.

 [答案] 6 [解析] 因为AD⊥BC，BE⊥AC(已知)，所以∠ADC＝∠BEC＝90°(垂直定义)，所以∠1＋∠C＝90°，∠2＋∠C＝90°(直角三角形两锐角互余)，所以∠1＝∠2(等量代换)，所以易证△ADC≌△BDF(ASA)，所以CD＝FD(全等三角形的对应边相等)，

故AF＋CD＝AF＋FD＝AD＝6 cm.

2．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是　①②③　（填入序号）

①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；

④AB＝DF，BE＝CF．

【答案】①②③解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD，

选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；

选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；

选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；

选择④不能定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．

3．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动　0，2，6，8　秒时，△DEB与△BCA全等．

【答案】0，2，6，8 解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，

∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；

②当E在BN上，AC＝BE时，

∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；

③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，

这时E在A点未动，因此时间为0秒；

④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，

AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒）。

三、解答题

1．如图，已知BN为∠ABC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，

AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.

【解】　过点P作PE⊥射线BA于点E.

∵BN平分∠ABC，点P在BN上，PD⊥BC，PE⊥AB，

∴PE＝PD，∠BEP＝∠BDP＝90°.

在Rt△PBE和Rt△PBD中，

∵PB＝PB，PE＝PD，∴Rt△PBE≌Rt△PBD(HL)，∴BE＝BD.

∵AB＋BC＝2BD，AB＝BE－AE，BC＝BD＋CD，

∴BE－AE＋BD＋CD＝2BD，∴AE＝CD.

在△PEA和△PDC中，∵∴△PEA≌△PDC(SAS)，

∴∠PAE＝∠PCD，即∠PAE＝∠BCP.

∵∠BAP＋∠PAE＝180°，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上．

(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

【解】　(1)过点O作OM⊥AB于点M，连结AO.

∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC，OF⊥AC.

又∵BD平分∠ABC，OM⊥AB，OE⊥BC，

∴OM＝OE，∴OM＝OF.又∵AO＝AO，

∴Rt△AMO≌Rt△AFO(HL)，∴∠MAO＝∠FAO，

∴点O在∠BAC的平分线上．

(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，

∴AB＝13.又∵BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，CE＝CF＝OE，

∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.易证BE＝BM，AF＝AM.

∵BM＋AM＝AB，∴BE＋AF＝13，

∴12－OE＋5－OE＝13，∴OE＝2

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.

求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.

证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.

在Rt△CDF和Rt△EDB中，

∵∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，∴CF＝EB.

(2)在Rt△ADC和Rt△ADE中，

∵∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE.

∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

4．如图所示，已知P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连结CD.

(1)∠PCD＝∠PDC吗？为什么？

(2)OP垂直平分线段CD吗？为什么？

解：(1)∠PCD＝∠PDC.理由：

∵OP是∠AOB的平分线，且PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC.

 (2)OP垂直平分线段CD.

理由：∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP＝∠ODP＝90°.

在Rt△POC和Rt△POD中，

∵∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)，∴OC＝OD.

由PC＝PD，OC＝OD，可知O，P都是线段CD的垂直平分线上的点，

∴OP垂直平分线段CD.

5．如图①，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝CD.

(1)求证：BD平分EF；

(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图②，其余的条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．

解：(1)证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠DEC＝90°.

∵AE＝CF，∴AF＝CE.

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∵∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.

在△GDE和△GBF中，

∵∴△GDE≌△GBF(AAS)，

∴EG＝FG，即BD平分EF.

(2)结论仍成立．理由如下：

∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠DEC＝90°.

∵AE＝CF，∴AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∵∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，

∴BF＝DE.在△GDE和△GBF中，

∵∴△GDE≌△GBF(AAS)，

∴EG＝FG，即BD平分EF。