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山东省东营市开发区2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷(word版含答案)
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这是一份山东省东营市开发区2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省东营市开发区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。）
1．（3分）中国汉字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）三角板是我们学习数学的工具，一副三角板拼成如图方式，则图中∠2﹣∠1的值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
3．（3分）下列各式中不能用公式法因式分解的是（ ）
A．x2﹣4 B．﹣x2﹣4 C．x2+x+ D．﹣x2+4x﹣4
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3m）2＝9m2 B．3m3•2m2＝6m6
C．m+3m＝3m2 D．m6÷m6＝m
5．（3分）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
6．（3分）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC
7．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26m，则△ABC的周长为（ ）
A．32cm B．38cm C．44cm D．50cm
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若S△ACD＝6，AC＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
10．（3分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于F，AD交CE于H，连接FH，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②△CFH为等边三角形；③AH＝BF；④FH＝CD．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（共8小题，11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝ ．
12．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．
13．（3分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 ．
14．（3分）按照如图所示的程序计算，如开始输入的m值为，则最后输出的结果是 ．
15．（4分）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm．
16．（4分）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 ．
17．（4分）边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC+FG的最小值为 ．
三.解答题（共7小题，共62分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）已知9b＝6，3a＝2，求33a﹣2b的值；
（2）先化简，再求值（m+3）2﹣（m+1）（m﹣1）﹣2（2m+4），其中m＝﹣．
20．（8分）已知多项式（2x+1）（x2+ax+2）的结果中不含有x2项（a是常数），求代数式a2+a+的值．
21．（8分）如图，平面直角坐标系中A（﹣4，6），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
22．（8分）如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．
（1）求证：△AEH≌△BEC．
（2）若AH＝4，求BD的长．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若∠BED＝60°，求证：△CBD是等边三角形．
25．（12分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求AD的长．
七年级（下）期末数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。）
1．（3分）中国汉字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）三角板是我们学习数学的工具，一副三角板拼成如图方式，则图中∠2﹣∠1的值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【分析】由三角形的外角性质可得∠2﹣∠1＝∠3，从而可求得结果．
【解答】解：如图，
由三角形的外角性质可知，∠1+∠3＝∠2，
∴∠2﹣∠1＝∠3，
∵∠3＝45°，
∴∠2﹣∠1＝45°，
故选：B．
3．（3分）下列各式中不能用公式法因式分解的是（ ）
A．x2﹣4 B．﹣x2﹣4 C．x2+x+ D．﹣x2+4x﹣4
【分析】根据完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2以及平方差公式分别判断得出答案．
【解答】解：A、x2﹣4＝（x﹣2）（x+2），不合题意；
B、﹣x2﹣4，不能用公式法分解因式，符合题意；
C、x2+x+＝（x+）2，运用完全平方公式分解因式，不合题意；
D、﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣2）2，运用完全平方公式分解因式，不合题意；
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3m）2＝9m2 B．3m3•2m2＝6m6
C．m+3m＝3m2 D．m6÷m6＝m
【分析】根据积的乘方运算、单项式乘单项式的运算法则、单项式除单项式的运算法则，合并同类项法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝9m2，故A符合题意．
B、原式＝6m5，故B不符合题意．
C、原式＝4m，故C不符合题意．
D、原式＝1，故D不符合统．
故选：A．
5．（3分）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
【分析】先将（x﹣5）（x+n）展开，再根据已知条件可得﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，求出m和n的值，进一步求解即可．
【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，
又∵x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），
∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，
解得n＝2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，
故选：D．
6．（3分）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
B．AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
C．AB＝AC，BE＝CD，∠A＝∠A，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
D．∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26m，则△ABC的周长为（ ）
A．32cm B．38cm C．44cm D．50cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE+EC＝12（cm），
∵AB+AD+BD＝26（cm），
∴AB+BD+DC＝26（cm，
∴△ABC的周长＝AB+BD+BC+AC＝26+12＝38（cm），
故选：B．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若S△ACD＝6，AC＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过点D作DE⊥AB于E，依据角平分线性质，即可得到DC＝DE．依据S△ACD＝6，求得CD的长，即可得出点D到AB的距离．
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵S△ACD＝6，
∴×AC×CD＝6，即×6×CD＝6，
解得CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到AB的距离为2，
故选：B．
9．（3分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于F，AD交CE于H，连接FH，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②△CFH为等边三角形；③AH＝BF；④FH＝CD．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用等边三角形的性质得出条件，可证明△BCE≌△ACD；
利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF＝∠ACH，进而得出△BCF≌△ACH，由CF＝CH和∠ACH＝60°，根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形，可得△CFH是等边三角形．
由△BCF≌△ACH可得AH＝BF；
但不能得出FH＝CD．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，BC＝AC＝AB，EC＝CD＝ED，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAH＝∠FBC，
∵∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BCF＝∠HCA，
在△BCF和△ACH中，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH，
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形，故②正确．
∵△BCF≌△ACH，
∴AH＝BF，故③正确；
但不能得出FH＝CD，故④错误；
故选：C．
二.填空题（共8小题，11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝ a（b+3）（b﹣3） ．
【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．
【解答】解：原式＝a（b2﹣9）
＝a（b+3）（b﹣3），
故答案为：a（b+3）（b﹣3）．
12．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得，n＝6．
故答案为：6．
13．（3分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 50°或65° ．
【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案是：50°或65°．
14．（3分）按照如图所示的程序计算，如开始输入的m值为，则最后输出的结果是 24 ．
【分析】把m＝代入程序中计算即可求出输出结果．
【解答】解：把m＝代入程序得：
（+1）×（﹣1）
＝6﹣1
＝5＜12，
把m＝5代入得：
（5+1）×（5﹣1）
＝6×4
＝24＞12，
则最后输出的结果为24．
故答案为：24．
15．（4分）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 30 cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，
∴DE＝DC+CE＝30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
故答案为：30．
16．（4分）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 5 ．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，
∴a2﹣2ab+b2＝6①，a2+2ab+b2＝4②，
①+②，得2a2+2b2＝10，
∴a2+b2＝5．
故答案为：5．
17．（4分）边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 m2 ．
【分析】用两个正方形面积之和减去空白部分的三角形面积，列式并结合单项式乘多项式，去括号，合并同类项的运算法则进行化简．
【解答】解：阴影部分面积为：m2+（2m）2﹣×2m（m+2m）﹣×2m（2m﹣m）
＝m2+4m2﹣3m2﹣m2
＝m2，
故答案为：m2．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC+FG的最小值为 8 ．
【分析】连接AG，CF，由DE是AC的垂直平分线，得点A与C关于DE对称，则FC+FG最小值为AG的长，再运用面积即可求出AG的长．
【解答】解：如图，连接AG，CF，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴＝20，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
三.解答题（共7小题，共62分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）已知9b＝6，3a＝2，求33a﹣2b的值；
（2）先化简，再求值（m+3）2﹣（m+1）（m﹣1）﹣2（2m+4），其中m＝﹣．
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘法，同底数幂的除法法则，进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把m的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵9b＝6，3a＝2，
∴33a﹣2b
＝33a÷32b
＝（3a）3÷（32）b
＝23÷9b
＝8÷6
＝，
∴33a﹣2b的值为；
（2）（m+3）2﹣（m+1）（m﹣1）﹣2（2m+4）
＝m2+6m+9﹣（m2﹣1）﹣4m﹣8
＝m2+6m+9﹣m2+1﹣4m﹣8
＝2m+2，
当m＝﹣时，原式＝2×（﹣）+2
＝﹣1+2
＝1．
20．（8分）已知多项式（2x+1）（x2+ax+2）的结果中不含有x2项（a是常数），求代数式a2+a+的值．
【分析】根据多项式乘多项式展开，合并同类项，根据不含有x2项，令二次项的系数等于0求出a的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：（2x+1）（x2+ax+2）
＝2x3+2ax2+4x+x2+ax+2
＝2x3+（2a+1）x2+（4+a）x+2，
∵不含有x2项，
∴2a+1＝0，
∴a＝﹣，
当a＝﹣时，
原式＝（﹣）2﹣+
＝﹣+
＝0．
21．（8分）如图，平面直角坐标系中A（﹣4，6），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称性质作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标即可；
（2）根据点的坐标即可求△ABC的面积．
【解答】解：如图所示，
（1）△A1B1C1，即为所求作的图形，
A1（4，6），B1（1，2），C1（3，1）．
（2）△ABC的面积为：
3×5﹣×1×2﹣×1×5﹣×3×4＝15﹣1﹣﹣6＝．
22．（8分）如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DBE＝∠EBC，由等腰三角形的性质得到∠DBE＝∠DEB，进而得到∠EBC＝∠DEB，根据平行线的判定即可证得DE∥BC；
（2由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可求得∠ABC＝72°，由角平分线的定义求得∠DBE＝36°，根据三角形外角定理即可求得∠BEC．
【解答】（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠EBC＝∠DEB，
∴DE∥BC；
（2）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝×72°＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠DBE＝36°+36°＝72°，
即∠BEC的度数为72°．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．
（1）求证：△AEH≌△BEC．
（2）若AH＝4，求BD的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△AEH≌△BEC；
（2）由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEH与△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA）；
（2）解：∵△AEH≌△BEC，
∴AH＝BC＝4，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∴AH＝2BD＝4，
∴BD＝2．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若∠BED＝60°，求证：△CBD是等边三角形．
【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD＝DB，又根据DB＝BC，即可证明结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90，且DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE＝∠DBE，
∵BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF＝DF，
∴BE垂直平分CD；
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
又∵BD＝BC，
∴DC＝DB＝BC，
∴△CBD是等边三角形．
25．（12分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求AD的长．
【分析】（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB＝CA，每一个角都是60°可得，∠BAE＝∠ACD＝60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD＝∠ABE，然后求出∠BPQ＝60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP＝2PQ，再根据AD＝BE＝BP+PE代入数据进行计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°；
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠CAD＝∠ABE，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB＝90°，
∴∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，
∵PQ＝3，
∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．
2021-2022学年山东省东营市开发区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。）
1．（3分）中国汉字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）三角板是我们学习数学的工具，一副三角板拼成如图方式，则图中∠2﹣∠1的值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
3．（3分）下列各式中不能用公式法因式分解的是（ ）
A．x2﹣4 B．﹣x2﹣4 C．x2+x+ D．﹣x2+4x﹣4
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3m）2＝9m2 B．3m3•2m2＝6m6
C．m+3m＝3m2 D．m6÷m6＝m
5．（3分）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
6．（3分）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC
7．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26m，则△ABC的周长为（ ）
A．32cm B．38cm C．44cm D．50cm
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若S△ACD＝6，AC＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
10．（3分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于F，AD交CE于H，连接FH，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②△CFH为等边三角形；③AH＝BF；④FH＝CD．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（共8小题，11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝ ．
12．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．
13．（3分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 ．
14．（3分）按照如图所示的程序计算，如开始输入的m值为，则最后输出的结果是 ．
15．（4分）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm．
16．（4分）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 ．
17．（4分）边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC+FG的最小值为 ．
三.解答题（共7小题，共62分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）已知9b＝6，3a＝2，求33a﹣2b的值；
（2）先化简，再求值（m+3）2﹣（m+1）（m﹣1）﹣2（2m+4），其中m＝﹣．
20．（8分）已知多项式（2x+1）（x2+ax+2）的结果中不含有x2项（a是常数），求代数式a2+a+的值．
21．（8分）如图，平面直角坐标系中A（﹣4，6），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
22．（8分）如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．
（1）求证：△AEH≌△BEC．
（2）若AH＝4，求BD的长．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若∠BED＝60°，求证：△CBD是等边三角形．
25．（12分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求AD的长．
七年级（下）期末数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。）
1．（3分）中国汉字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）三角板是我们学习数学的工具，一副三角板拼成如图方式，则图中∠2﹣∠1的值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【分析】由三角形的外角性质可得∠2﹣∠1＝∠3，从而可求得结果．
【解答】解：如图，
由三角形的外角性质可知，∠1+∠3＝∠2，
∴∠2﹣∠1＝∠3，
∵∠3＝45°，
∴∠2﹣∠1＝45°，
故选：B．
3．（3分）下列各式中不能用公式法因式分解的是（ ）
A．x2﹣4 B．﹣x2﹣4 C．x2+x+ D．﹣x2+4x﹣4
【分析】根据完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2以及平方差公式分别判断得出答案．
【解答】解：A、x2﹣4＝（x﹣2）（x+2），不合题意；
B、﹣x2﹣4，不能用公式法分解因式，符合题意；
C、x2+x+＝（x+）2，运用完全平方公式分解因式，不合题意；
D、﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣2）2，运用完全平方公式分解因式，不合题意；
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3m）2＝9m2 B．3m3•2m2＝6m6
C．m+3m＝3m2 D．m6÷m6＝m
【分析】根据积的乘方运算、单项式乘单项式的运算法则、单项式除单项式的运算法则，合并同类项法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝9m2，故A符合题意．
B、原式＝6m5，故B不符合题意．
C、原式＝4m，故C不符合题意．
D、原式＝1，故D不符合统．
故选：A．
5．（3分）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
【分析】先将（x﹣5）（x+n）展开，再根据已知条件可得﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，求出m和n的值，进一步求解即可．
【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，
又∵x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），
∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，
解得n＝2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，
故选：D．
6．（3分）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
B．AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
C．AB＝AC，BE＝CD，∠A＝∠A，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
D．∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26m，则△ABC的周长为（ ）
A．32cm B．38cm C．44cm D．50cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE+EC＝12（cm），
∵AB+AD+BD＝26（cm），
∴AB+BD+DC＝26（cm，
∴△ABC的周长＝AB+BD+BC+AC＝26+12＝38（cm），
故选：B．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若S△ACD＝6，AC＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过点D作DE⊥AB于E，依据角平分线性质，即可得到DC＝DE．依据S△ACD＝6，求得CD的长，即可得出点D到AB的距离．
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵S△ACD＝6，
∴×AC×CD＝6，即×6×CD＝6，
解得CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到AB的距离为2，
故选：B．
9．（3分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于F，AD交CE于H，连接FH，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②△CFH为等边三角形；③AH＝BF；④FH＝CD．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用等边三角形的性质得出条件，可证明△BCE≌△ACD；
利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF＝∠ACH，进而得出△BCF≌△ACH，由CF＝CH和∠ACH＝60°，根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形，可得△CFH是等边三角形．
由△BCF≌△ACH可得AH＝BF；
但不能得出FH＝CD．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，BC＝AC＝AB，EC＝CD＝ED，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAH＝∠FBC，
∵∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BCF＝∠HCA，
在△BCF和△ACH中，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH，
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形，故②正确．
∵△BCF≌△ACH，
∴AH＝BF，故③正确；
但不能得出FH＝CD，故④错误；
故选：C．
二.填空题（共8小题，11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝ a（b+3）（b﹣3） ．
【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．
【解答】解：原式＝a（b2﹣9）
＝a（b+3）（b﹣3），
故答案为：a（b+3）（b﹣3）．
12．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得，n＝6．
故答案为：6．
13．（3分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 50°或65° ．
【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案是：50°或65°．
14．（3分）按照如图所示的程序计算，如开始输入的m值为，则最后输出的结果是 24 ．
【分析】把m＝代入程序中计算即可求出输出结果．
【解答】解：把m＝代入程序得：
（+1）×（﹣1）
＝6﹣1
＝5＜12，
把m＝5代入得：
（5+1）×（5﹣1）
＝6×4
＝24＞12，
则最后输出的结果为24．
故答案为：24．
15．（4分）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 30 cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，
∴DE＝DC+CE＝30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
故答案为：30．
16．（4分）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 5 ．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，
∴a2﹣2ab+b2＝6①，a2+2ab+b2＝4②，
①+②，得2a2+2b2＝10，
∴a2+b2＝5．
故答案为：5．
17．（4分）边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 m2 ．
【分析】用两个正方形面积之和减去空白部分的三角形面积，列式并结合单项式乘多项式，去括号，合并同类项的运算法则进行化简．
【解答】解：阴影部分面积为：m2+（2m）2﹣×2m（m+2m）﹣×2m（2m﹣m）
＝m2+4m2﹣3m2﹣m2
＝m2，
故答案为：m2．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC+FG的最小值为 8 ．
【分析】连接AG，CF，由DE是AC的垂直平分线，得点A与C关于DE对称，则FC+FG最小值为AG的长，再运用面积即可求出AG的长．
【解答】解：如图，连接AG，CF，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴＝20，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
三.解答题（共7小题，共62分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）已知9b＝6，3a＝2，求33a﹣2b的值；
（2）先化简，再求值（m+3）2﹣（m+1）（m﹣1）﹣2（2m+4），其中m＝﹣．
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘法，同底数幂的除法法则，进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把m的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵9b＝6，3a＝2，
∴33a﹣2b
＝33a÷32b
＝（3a）3÷（32）b
＝23÷9b
＝8÷6
＝，
∴33a﹣2b的值为；
（2）（m+3）2﹣（m+1）（m﹣1）﹣2（2m+4）
＝m2+6m+9﹣（m2﹣1）﹣4m﹣8
＝m2+6m+9﹣m2+1﹣4m﹣8
＝2m+2，
当m＝﹣时，原式＝2×（﹣）+2
＝﹣1+2
＝1．
20．（8分）已知多项式（2x+1）（x2+ax+2）的结果中不含有x2项（a是常数），求代数式a2+a+的值．
【分析】根据多项式乘多项式展开，合并同类项，根据不含有x2项，令二次项的系数等于0求出a的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：（2x+1）（x2+ax+2）
＝2x3+2ax2+4x+x2+ax+2
＝2x3+（2a+1）x2+（4+a）x+2，
∵不含有x2项，
∴2a+1＝0，
∴a＝﹣，
当a＝﹣时，
原式＝（﹣）2﹣+
＝﹣+
＝0．
21．（8分）如图，平面直角坐标系中A（﹣4，6），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称性质作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标即可；
（2）根据点的坐标即可求△ABC的面积．
【解答】解：如图所示，
（1）△A1B1C1，即为所求作的图形，
A1（4，6），B1（1，2），C1（3，1）．
（2）△ABC的面积为：
3×5﹣×1×2﹣×1×5﹣×3×4＝15﹣1﹣﹣6＝．
22．（8分）如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DBE＝∠EBC，由等腰三角形的性质得到∠DBE＝∠DEB，进而得到∠EBC＝∠DEB，根据平行线的判定即可证得DE∥BC；
（2由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可求得∠ABC＝72°，由角平分线的定义求得∠DBE＝36°，根据三角形外角定理即可求得∠BEC．
【解答】（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠EBC＝∠DEB，
∴DE∥BC；
（2）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝×72°＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠DBE＝36°+36°＝72°，
即∠BEC的度数为72°．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．
（1）求证：△AEH≌△BEC．
（2）若AH＝4，求BD的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△AEH≌△BEC；
（2）由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEH与△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA）；
（2）解：∵△AEH≌△BEC，
∴AH＝BC＝4，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∴AH＝2BD＝4，
∴BD＝2．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若∠BED＝60°，求证：△CBD是等边三角形．
【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD＝DB，又根据DB＝BC，即可证明结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90，且DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE＝∠DBE，
∵BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF＝DF，
∴BE垂直平分CD；
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
又∵BD＝BC，
∴DC＝DB＝BC，
∴△CBD是等边三角形．
25．（12分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求AD的长．
【分析】（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB＝CA，每一个角都是60°可得，∠BAE＝∠ACD＝60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD＝∠ABE，然后求出∠BPQ＝60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP＝2PQ，再根据AD＝BE＝BP+PE代入数据进行计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°；
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠CAD＝∠ABE，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB＝90°，
∴∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，
∵PQ＝3，
∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．
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