安徽省合肥市五十中学2021-2022学年中考一模数学试题含解析

这是一份安徽省合肥市五十中学2021-2022学年中考一模数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，计算﹣的结果为，平面直角坐标系中，若点A等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
2．计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2
3．下列图形是轴对称图形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
A．8米 B．米 C．米 D．米
5．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　）

A． B． C． D．
7．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是( )
A． B． C． D．
8．计算﹣的结果为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（　　）

A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC
10．平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限内，则点B（b，a）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．计算：（π﹣3）0+（﹣）﹣1=_____．
12．在△ABC中，AB=AC，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N．如果△CAN是等腰三角形，则∠B的度数为___________．
13．已知b是a，c的比例中项，若a=4，c=16，则b=________．
14．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC两边中线，则=_____．

15．已知一粒米的质量是1．111121千克，这个数字用科学记数法表示为__________．
16．如图，点A的坐标为（3，），点B的坐标为（6，0），将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定的角度后得到△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为_____．

17．一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为______．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：本次接受随机抽样调查的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．

19．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G．
（1）求四边形OEBF的面积；
（2）求证：OG•BD=EF2；
（3）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，求AE的长．

20．（8分）科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程．①在科研所到宿舍楼之间修一条高科技的道路；②对宿含楼进行防辐射处理；已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为y＝ax+b(0≤x≤3)．当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿含楼的距离为3km或大于3km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设修路的费用与x2成正比，且比例系数为m万元，配套工程费w＝防辐射费+修路费．
(1)当科研所到宿舍楼的距离x＝3km时，防辐射费y＝____万元，a＝____，b＝____；
(2)若m＝90时，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，配套工程费最少？
(3)如果最低配套工程费不超过675万元，且科研所到宿含楼的距离小于等于3km，求m的范围？
21．（10分）数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．

补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．
22．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
23．（12分）如图，一个长方形运动场被分隔成A、B、A、B、C共5个区，A区是边长为am的正方形，C区是边长为bm的正方形．列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简；列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；如果a＝20，b＝10，求整个长方形运动场的面积．

24．（14分）某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：

LED灯泡
普通白炽灯泡
进价（元）
45
25
标价（元）
60
30
（1）该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可获利3200元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？
（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进这两种灯泡120个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？




参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】
解：、，，，，故选项正确．
、，，，，故选项错误．
、，，，，，故选项正确．
、，，，，．故选项正确．
故选：．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
2、C
【解析】分析：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 依此计算即可求解．
详解：（-5）-（-3）=-1．
故选：C．
点睛：考查了有理数的减法，方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）．
3、C
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．
故轴对称图形有4个．
故选C．
考点：轴对称图形．
4、C
【解析】
此题考查的是解直角三角形
如图：AC=4，AC⊥BC，

∵梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能＞60°．
∴∠ABC≤60°，最大角为60°．

即梯子的长至少为米，
故选C.
5、A
【解析】
试题分析：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形．
故选A．
【考点】简单组合体的三视图．
6、D
【解析】
设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．
【详解】
设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣（a+3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
7、C
【解析】
A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；故选C．
8、A
【解析】
根据分式的运算法则即可
【详解】
解：原式=，
故选A.
【点睛】
本题主要考查分式的运算。
9、C
【解析】
根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°, ∠E＝∠C,
则△ABD为等边三角形，即 AD＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.
10、D
【解析】
分析：根据题意得出a和b的正负性，从而得出点B所在的象限．
详解：∵点A在第三象限， ∴a＜0，－b＜0， 即a＜0，b＞0， ∴点B在第四象限，故选D．
点睛：本题主要考查的是象限中点的坐标特点，属于基础题型．明确各象限中点的横纵坐标的正负性是解题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、-1
【解析】
先计算0指数幂和负指数幂，再相减.
【详解】
（π﹣3）0+（﹣）﹣1，
=1﹣3，
=﹣1，
故答案是：﹣1．
【点睛】
考查了0指数幂和负指数幂，解题关键是运用任意数的0次幂为1，a-1=.
12、或．
【解析】
MN是AB的中垂线，则△ABN是等腰三角形，且NA=NB，即可得到∠B=∠BAN=∠C．然后对△ANC中的边进行讨论，然后在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求得∠B的度数．
解：∵把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，

∴MN是AB的中垂线．
∴NB=NA．
∴∠B=∠BAN，
∵AB=AC
∴∠B=∠C．
设∠B=x°，则∠C=∠BAN=x°．
1）当AN=NC时，∠CAN=∠C=x°．
则在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：4x=180，
解得：x=45°则∠B=45°；
2）当AN=AC时，∠ANC=∠C=x°，而∠ANC=∠B+∠BAN，故此时不成立；
3）当CA=CN时，∠NAC=∠ANC=．
在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+=180，
解得：x=36°．
故∠B的度数为 45°或36°．
13、±8
【解析】
根据比例中项的定义即可求解.
【详解】
∵b是a，c的比例中项，若a=4，c=16，
∴b2=ac=4×16=64，
∴b=±8，
故答案为±8
【点睛】
此题考查了比例中项的定义，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a∶b=b∶c或，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.
14、
【解析】
利用三角形中位线的性质定理以及相似三角形的性质即可解决问题；
【详解】
∵AE=EC，BD=CD，
∴DE∥AB，DE=AB，
∴△EDC∽△ABC，
∴＝，
故答案是：．
【点睛】
考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理．
15、
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×11-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．
【详解】
解：1.111121=2.1×11-2．
故答案为：2.1×11-2．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×11-n，其中1≤|a|＜11，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．
16、（，）
【解析】
作AC⊥OB、O′D⊥A′B，由点A、B坐标得出OC=3、AC=、BC=OC=3，从而知tan∠ABC==，由旋转性质知BO′=BO=6，tan∠A′BO′=tan∠ABO==,设O′D=x、BD=3x，由勾股定理求得x的值，即可知BD、O′D的长即可.
【详解】

如图,过点A作AC⊥OB于C,过点O′作O′D⊥A′B于D，
 
∵A(3, )，
∴OC=3,AC=，
∵OB=6，
∴BC=OC=3，
则tan∠ABC==，
由旋转可知,BO′=BO=6,∠A′BO′=∠ABO，
∴==，
设O′D=x，BD=3x，
由O′D2+BD2=O′B2可得(x)2+(3x)2=62，
解得：x=或x=− (舍)，
则BD=3x=,O′D=x=，
∴OD=OB+BD=6+=，
∴点O′的坐标为（，）.
【点睛】
本题考查的是图形的旋转，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题的关键.
17、10
【解析】
解：因为正多边形的每个内角都相等，每个外角都相等，根据相邻两个内角和外角关系互补，可以求出这个多边形的每个外角等于36°，因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的边数等于360°÷36°=10，
故答案为：10

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（Ⅰ）50、31；（Ⅱ）4；3；3.1;（Ⅲ）410人．
【解析】
（Ⅰ）利用家庭中拥有1台移动设备的人数除以其所占百分比即可得调查的学生人数，将拥有4台移动设备的人数除以总人数即可求得m的值；（Ⅱ）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；（Ⅲ）将样本中拥有3台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数1500即可求解．
【详解】
解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为： ＝50（人），
∵×100＝31%，
∴图①中m的值为31.
故答案为50、31；
（Ⅱ）∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为4；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有＝3，
∴这组数据的中位数是3；
由条形统计图可得＝3.1，
∴这组数据的平均数是3.1．
（Ⅲ）1500×18%＝410（人）．
答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为410人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19、（1）；（2）详见解析；（3）AE=．
【解析】
（1）由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得S四边形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD；
（2）易证得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG•OB=OE2，再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论；
（3）首先设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得AE的长．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，

∴△BOE≌△COF（ASA），
∴S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD
（2）证明：∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OG•OB=OE2，
∵
∴OG•BD=EF2；
（3）如图，过点O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴
设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH
∵
∴当时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，

【点睛】
本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．
20、 (1)0，﹣360，101；(2)当距离为2公里时，配套工程费用最少；(3)0＜m≤1．
【解析】
(1)当x＝1时，y＝720，当x＝3时，y＝0，将x、y代入y＝ax+b，即可求解；
(2)根据题目：配套工程费w＝防辐射费+修路费分0≤x≤3和x≥3时讨论.
①当0≤x≤3时，配套工程费W＝90x2﹣360x+101，②当x≥3时，W＝90x2，分别求最小值即可；
(3)0≤x≤3，W＝mx2﹣360x+101，(m＞0)，其对称轴x＝，然后讨论：x＝=3时和x＝＞3时两种情况m取值即可求解．
【详解】
解：(1)当x＝1时，y＝720，当x＝3时，y＝0，将x、y代入y＝ax+b，
解得：a＝﹣360，b＝101，
故答案为0，﹣360，101；
(2)①当0≤x≤3时，配套工程费W＝90x2﹣360x+101，
∴当x＝2时，Wmin＝720；
②当x≥3时，W＝90x2，
W随x最大而最大，
当x＝3时，Wmin＝810＞720，
∴当距离为2公里时，配套工程费用最少；
(3)∵0≤x≤3，
W＝mx2﹣360x+101，(m＞0)，其对称轴x＝，
当x＝≤3时，即：m≥60，
Wmin＝m()2﹣360()+101，
∵Wmin≤675，解得：60≤m≤1；
当x＝＞3时，即m＜60，
当x＝3时，Wmin＝9m＜675，
解得：0＜m＜60，
故：0＜m≤1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最值问题常利函数的增减性来解答．
21、576名
【解析】
试题分析：根据统计图可以求得本次调查的人数和体重落在B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．
试题解析：
本次调查的学生有：32÷16%=200（名），
体重在B组的学生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64（名），
补全的条形统计图如右图所示，

我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有：1800×=576（名），
答：我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有576名．
22、每件衬衫应降价1元.
【解析】
利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.
【详解】
解：设每件衬衫应降价x元.
根据题意，得 （40-x）（1+2x）=110,
整理，得x2-30x+10=0,
解得x1=10，x2=1．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应舍去，
∴x=1.
答：每件衬衫应降价1元.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.
23、（1）（2）（3）
【解析】
试题分析：（1）结合图形可得矩形B的长可表示为：a+b，宽可表示为：a-b，继而可表示出周长；（2）根据题意表示出整个矩形的长和宽，再求周长即可；（3）先表示出整个矩形的面积，然后代入计算即可．
试题解析：
（1）矩形B的长可表示为：a+b，宽可表示为：a-b，
∴每个B区矩形场地的周长为：2（a+b+a-b）=4a；
（2）整个矩形的长为a+a+b=2a+b，宽为：a+a-b=2a-b，
∴整个矩形的周长为：2（2a+b+2a-b）=8a；
（3）矩形的面积为：S=（2a+b）（2a-b）= ，
把，代入得，S=4×202-102=4×400-100=1500.
点睛：本题考查了列代数式的知识，属于基础题，解答本题的关键是结合图形表示出各矩形的长和宽．
24、（1）LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个；（2）1 350元.
【解析】
1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，利用该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可；
（2）设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡（120-a）个，这批灯泡的总利润为W元，利用利润的意义得到W=（60-45）a+（30-25）（120-a）=10a+1，再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%可确定a的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
【详解】
（1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个．根据题意，得
解得
答：该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个．
（2）设该商场再次购进LED灯泡a个，这批灯泡的总利润为W元．则购进普通白炽灯泡（120﹣a）个．根据题意得
W=（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）=10a+1．
∵10a+1≤[45a+25（120﹣a）]×30%，解得a≤75，
∵k=10＞0，∴W随a的增大而增大，
∴a=75时，W最大，最大值为1350，此时购进普通白炽灯泡（120﹣75）=45个．
答：该商场再次购进LED灯泡75个，购进普通白炽灯泡45个，这批灯泡的总利润为1 350元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用,根据实际问题找到等量关系列方程组和建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题是解题的关键.