广东省湛江市雷州市2021-2022学年下学期八年级数学期末教学质量检测(word版含答案)

这是一份广东省湛江市雷州市2021-2022学年下学期八年级数学期末教学质量检测(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省湛江市雷州市2021-2022学年下学期八年级数学期末教学质量检测（附答案解析）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数范围内有意义，实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥﹣2 D．a＞﹣1
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，13
3．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）已知直线y＝2x+b过点（0，﹣5），确定该直线l的表达式是（　　）
A．y＝x﹣5 B．y＝x+5 C．y＝2x+5 D．y＝2x﹣5
5．（3分）2022年北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国金牌选手谷爱凌第二跳分数如下：95，95，95，95，96，96，关于这组数据，下列描述正确的是（　　）
A．中位数是95.5 B．众数是95
C．平均数是95.25 D．方差是0.01
6．（3分）下列各式不成立的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝﹣3 D．（）2＝
7．（3分）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
8．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，则ABCD的周长为（　　）

A．4 B．4 C．20 D．40
10．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（　　）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB；
④∠AOE＝150°；
⑤S△AOE＝S△COE．

A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2++|c﹣5|＝0，则这个三角形的形状是 　 　．
12．（4分）甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2＝16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2＝28.3，那么成绩比较稳定的是　 　（填“甲”或“乙”）
13．（4分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为　 　．

14．（4分）某校举办广播体操比赛，评分项目包括精神面貌，整齐程度，动作规范这三项，总评成绩按以上三项得分2：3：5的比例计算，已知八（1）班在比赛中三项得分依次是8分，9分，10分，则八（1）班这次比赛的总成绩为　 　分
15．（4分）若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为　 　．
16．（4分）已知菱形ABCD的对角线AC＝3，BD＝4，则菱形ABCD的面积为 　 　．
17．（4分）如图，已知直线l：y＝x，过点M（1，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点Mn的坐标为 　 　．

三、解答题（一）（本大题共小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）+﹣．
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣），其中a＝1．
20．（6分）疫情期间，为了增强学生的自我保护意识，某校组织了一次全校2000名学生参加的“新冠疫情知多少”的考试，并随机抽查了部分参赛学生的成绩，根据成绩分成如下四个组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x＜100，绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据统计图上提供的信息回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有多少人，并将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，求出m值；
（3）请你估计该校学生得分80分及以上的学生人数．

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE延长线交BA延长线于点F．
（1）求证：CD＝AF；
（2）若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．

22．（8分）为弘扬革命精神，激发广大学生学习英雄人物的光辉事迹，某校开展“缅怀革命前辈”讲故事比赛，组委会准备购买两种奖品，A种奖品发给获优胜奖的选手，B种奖品作为参与奖发给未获得优胜奖的其他参赛选手作为鼓励．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需220元；购买A种奖品2件和B种奖品1件，共需140元．
（1）求A，B两种奖品的单价分别是多少元？
（2）在比赛筹备过程中，如果用于购买奖品的总预算为1000元，优胜奖和参与奖的总数为30名，那么A种奖品最多能准备多少个？
23．（8分）如图，直线l1、l2相交于点A（2，3），直线l1与x轴交点B的坐标为（﹣1，0），直线l2与y轴交于点C，已知直线l2的解析式为y＝2.5x﹣2，结合图象解答下列问题：
（1）求直线l1的解析式；
（2）求△ABC的面积．

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AB上任意一点（点E不与点A，点B重合），点F在AD的延长线上，BE＝DF．
（1）求证：CE＝CF；
（2）如图2，作点D关于CF的对称点G，连接BG、CG、DG，DG与CF交于点P，BG与CF交于点H，与CE交于点Q．
（ⅰ）若∠BCE＝20°，求∠CHB的度数；
（ⅱ）用等式表示线段CD，GH，BH之间的数量关系，并说明理由．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，且与直线l1交于点D（2，m）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；
（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．


广东省湛江市雷州市2021-2022学年下学期八年级数学期末教学质量检测参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数范围内有意义，实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥﹣2 D．a＞﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出a的取值范围．
【解答】解：由题意可知：a+2≥0，
∴a≥﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式有意义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，13
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+12≠12，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A.是最简二次根式，故A符合题意；
B.＝2，故B不符合题意；
C.＝2，故C不符合题意；
D.＝，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
4．（3分）已知直线y＝2x+b过点（0，﹣5），确定该直线l的表达式是（　　）
A．y＝x﹣5 B．y＝x+5 C．y＝2x+5 D．y＝2x﹣5
【分析】直接把已知点的坐标代入y＝2x+b求出b的值，从而得到直线解析式．
【解答】解：把（0，﹣5）代入y＝2x+b得b＝﹣5，
所以直线l的解析式为y＝2x﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
5．（3分）2022年北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国金牌选手谷爱凌第二跳分数如下：95，95，95，95，96，96，关于这组数据，下列描述正确的是（　　）
A．中位数是95.5 B．众数是95
C．平均数是95.25 D．方差是0.01
【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【解答】解：把这组数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为95、95，故中位数为，故选项A不符合题意；
这组数据出现最多的数是95，故众数为95，故选项B符合题意；
这组数据的平均数是，故选项C不符合题意；
这组数据的方差为＝＝，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各自的定义及计算方法是解题关键．
6．（3分）下列各式不成立的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝﹣3 D．（）2＝
【分析】根据二次根式的乘除运算、二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：A、＝×，故A不符合题意．
B、＝，故B不符合题意．
C、原式＝3，故C符合题意．
D、原式＝，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算、二次根式的性质，本题属于基础题型．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】设AE交BF于点O．证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】解：如图，设AE交BF于点O．

由作图可知：AB＝AF，∠FAE＝∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝3，
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，
∴OA＝＝4，
∴AE＝2OA＝8．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】根据矩形的定义，矩形的判定，菱形的判定、平行四边形的判定分别对每个命题的真假进行判断即可．
【解答】解：A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A选项正确；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项错误；
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项正确；
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故D选项正确；
所以说法不正确的是B；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定．
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，则ABCD的周长为（　　）

A．4 B．4 C．20 D．40
【分析】由菱形的性质可求得OA、OB，在Rt△AOB中利用勾股定理可求得AB，则可求得其周长．
【解答】解：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20，
故选：C．
【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
10．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（　　）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB；
④∠AOE＝150°；
⑤S△AOE＝S△COE．

A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得S△AOE＝S△COE可判断⑤；即可求解．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2++|c﹣5|＝0，则这个三角形的形状是 　直角三角形　．
【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
【解答】解：∵（a﹣3）2++|c﹣5|＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，|c﹣5|≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
解得：a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝9+16＝25＝52，
∴这个三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．
12．（4分）甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2＝16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2＝28.3，那么成绩比较稳定的是　甲　（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义即可求得答案．
【解答】解：
∵S甲2＝16.7，S乙2＝28.3，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差的意义，掌握方差的意义是解题的关键，即方差越大其数据波动越大，即成绩越不稳定．
13．（4分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为　x＞﹣1　．

【分析】观察函数图象得到，当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象都在函数y＝kx﹣1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集．
【解答】解：当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象在函数y＝kx﹣1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故答案为x＞﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．（4分）某校举办广播体操比赛，评分项目包括精神面貌，整齐程度，动作规范这三项，总评成绩按以上三项得分2：3：5的比例计算，已知八（1）班在比赛中三项得分依次是8分，9分，10分，则八（1）班这次比赛的总成绩为　9.3　分
【分析】根据题意和加权平均数的计算方法，可以得到八（1）班这次比赛的总成绩．
【解答】解：＝9.3（分），
即八（1）班这次比赛的总成绩为9.3分，
故答案为：9.3．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
15．（4分）若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为　2　．
【分析】由点A的坐标利用待定系数法即可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，此题得解．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵该正比例函数图象经过点A（3，﹣6），
∴﹣6＝3k，解得：k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
∵点B（m，﹣4）在正比例函数y＝﹣2x的图象上，
∴﹣4＝﹣2m，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
16．（4分）已知菱形ABCD的对角线AC＝3，BD＝4，则菱形ABCD的面积为 　6　．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半代入数据计算即可．
【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC＝3，BD＝4，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×3×4＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了菱形的面积求法，除了利用平行四边形的面积公式：底×高，经常利用对角线乘积的一半进行求解．
17．（4分）如图，已知直线l：y＝x，过点M（1，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点Mn的坐标为 　（4n，0）　．

【分析】根据直线l的解析式求出∠MON＝60°，从而得到∠MNO＝∠OM1N＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OM1＝4OM，然后表示出OMn与OM的关系，再根据点Mn在x轴上写出坐标即可．
【解答】解：∵直线l的解析式是y＝x，
∴∠NOM＝60°，∠ONM＝30°．
∵点M的坐标是（1，0），NM∥y轴，点N在直线y＝x上，
∴OM＝1，NM＝，
∴ON＝2OM＝2．
又∵NM1⊥l，即∠ONM1＝90°
∴∠OM1N＝30°，OM1＝2ON＝41OM＝4．
同理，OM2＝4OM1＝42OM，
OM3＝4OM2＝4×42OM＝43OM，
…
OMn＝4nOM＝4n．
∴点Mn的坐标是（4n，0）．
故答案是：（4n，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出变化规律是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）+﹣．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝2+4﹣
＝5．
【点评】本题考查的是二次根式的加减，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣），其中a＝1．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当a＝1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟记分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（6分）疫情期间，为了增强学生的自我保护意识，某校组织了一次全校2000名学生参加的“新冠疫情知多少”的考试，并随机抽查了部分参赛学生的成绩，根据成绩分成如下四个组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x＜100，绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据统计图上提供的信息回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有多少人，并将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，求出m值；
（3）请你估计该校学生得分80分及以上的学生人数．

【分析】（1）用A组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，总人数减去A、B、D组人数求出C组人数即可补全图形；
（2）根据C组人数所占的百分比得到m的值；
（3）用2000乘以C、D两组的频率和即可．
【解答】解：（1）这次被调查的学生共有30÷10%＝300（人），
C组人数为300﹣30﹣90﹣60＝120；
如图，

（2）m%＝＝40%，即m＝40；

（3）2000×＝1200（人），
所以估计全校学生中得分80分及以上的同学有1200人；
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE延长线交BA延长线于点F．
（1）求证：CD＝AF；
（2）若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．

【分析】（1）CD和AF分别在△DCE和△AFE中，要证它们相等，只需证△DCE≌△AFE，根据平行四边形的性质及E为AD中点可证．
（2）在平行四边形中，对边相等，由（1）的结论可证昨BF＝BC，根据等边对等角可证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠DCE＝∠AFE．
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE．
在△DCE和△AFE中，
∴△DCE≌△AFE．
∴CD＝AF．

（2）由（1）得CD＝AF，
∵AB＝CD，
∴BF＝AF+AB＝2CD．
∵BC＝2CD，
∴BF＝BC．
∴∠F＝∠BCF．
【点评】解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的证明．
22．（8分）为弘扬革命精神，激发广大学生学习英雄人物的光辉事迹，某校开展“缅怀革命前辈”讲故事比赛，组委会准备购买两种奖品，A种奖品发给获优胜奖的选手，B种奖品作为参与奖发给未获得优胜奖的其他参赛选手作为鼓励．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需220元；购买A种奖品2件和B种奖品1件，共需140元．
（1）求A，B两种奖品的单价分别是多少元？
（2）在比赛筹备过程中，如果用于购买奖品的总预算为1000元，优胜奖和参与奖的总数为30名，那么A种奖品最多能准备多少个？
【分析】（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据“购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需220元；购买A种奖品2件和B种奖品1件，共需140元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种奖品准备m个，则B种奖品准备（30﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：A种奖品的单价是60元，B种奖品的单价是20元．
（2）设A种奖品准备m个，则B种奖品准备（30﹣m）个，
依题意得：60m+20（30﹣m）≤1000，
解得：m≤10．
答：A种奖品最多能准备10个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（8分）如图，直线l1、l2相交于点A（2，3），直线l1与x轴交点B的坐标为（﹣1，0），直线l2与y轴交于点C，已知直线l2的解析式为y＝2.5x﹣2，结合图象解答下列问题：
（1）求直线l1的解析式；
（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）因为直线l1过点A（2，3），B（﹣1，0），所以可用待定系数法求得函数的表达式；
（2）先求得C点的坐标，然后根据S△ABC＝S△ABD+S△BDC即可求得．
【解答】解：（1）设直线l1表示的一次函数表达式为y＝kx+b，
∵直线l1过点A（2，3），B（﹣1，0），
∴，
∴，
∴直线l1表示的一次函数表达式是y＝x+1；
（2）设直线l2与x轴交于点D，由y＝0，得2.5x﹣2＝0，解得：x＝，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BDC＝×（+1）×3+×（+1）×2＝4.5．

【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，掌握待定系数应用的关键是求得函数图象上的点的坐标．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AB上任意一点（点E不与点A，点B重合），点F在AD的延长线上，BE＝DF．
（1）求证：CE＝CF；
（2）如图2，作点D关于CF的对称点G，连接BG、CG、DG，DG与CF交于点P，BG与CF交于点H，与CE交于点Q．
（ⅰ）若∠BCE＝20°，求∠CHB的度数；
（ⅱ）用等式表示线段CD，GH，BH之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证△CBE≌△CDF（SAS），即可得出结论；
（2）（ⅰ）证△DCP≌△GCP（SSS），得∠DCP＝∠GCP，再由全等三角形的性质得∠BCE＝∠DCP＝∠GCP＝20°，则∠BCG＝130°，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠CGH＝25°，即可求解；
（ⅱ）连接BD，由（ⅰ）得CP垂直平分DG，则HD＝HG，∠GHF＝∠DHF，设∠BCE＝m°，证出∠GHF＝∠CHB＝45°，再证∠DHB＝90°，然后由勾股定理得DH2+BH2＝BD2，进而得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠CBE＝∠CDF＝90°，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE＝CF；
（2）解：（ⅰ）点D关于CF的对称点G，
∴CD＝CG，DP＝GP，
在△DCP和△GCP中，
，
∴△DCP≌△GCP（SSS），
∴∠DCP＝∠GCP，
由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCP＝∠GCP＝20°，
∴∠BCG＝20°+20°+90°＝130°，
∵CG＝CD＝CB，
∴∠CGH＝（180°﹣130°）＝25°，
∴∠CHB＝∠CGH+∠GCP＝25°+20°＝45°；
（ⅱ）线段CD，GH，BH之间的数量关系为：GH2+BH2＝2CD2，理由如下：
连接BD，如图2所示：
由（ⅰ）得：CP垂直平分DG，
∴HD＝HG，∠GHF＝∠DHF，
设∠BCE＝m°，
由（ⅰ）得：∠BCE＝∠DCP＝∠GCP＝m°，
∴∠BCG＝m°+m°+90°＝2m°+90°，
∵CG＝CD＝CB，
∴∠CGH＝＝45°﹣m°，
∴∠CHB＝∠CGH+∠GCP＝45°﹣m°+m°＝45°，
∴∠GHF＝∠CHB＝45°，
∴∠GHD＝∠GHF+∠DHF＝45°+45°＝90°，
∴∠DHB＝90°，
在Rt△BDH中，由勾股定理得：DH2+BH2＝BD2，
∴GH2+BH2＝BD2，
在Rt△BCD中，CB＝CD，
∴BD2＝2CD2，
∴GH2+BH2＝2CD2．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形内角和定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明△CBE≌△CDF和△DCP≌△GCP是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，且与直线l1交于点D（2，m）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；
（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．

【分析】（1）先求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用两条直线的解析式表示出G，E两点的坐标，进而得出线段GE的长，列出方程即可解答；
（3）分三种情形解答，先求得经过点H的解析式，再联立，解方程组即可求解．
【解答】解：（1）∵当x＝2时，y＝﹣2+5＝3＝m，
∴D（2，3）．
设直线l2的解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：．
∴直线l2的解析式为y＝x+2．
（2）∵EF⊥x轴，
∴G，E的横坐标相同．
设G（n，﹣n+5），则E（n，n+2）．
∵E为线段BC上一个动点，
∴﹣n+5＞0，n+2＞0，
∴FG＝﹣n+5，FE＝n+2．
∴EG＝FG﹣FE＝﹣n+3＝6．
解得：n＝﹣2．
∴G（﹣2，7）．
（3）如下图，当四边形AHCD为平行四边形时，

令x＝0，则y＝，
∴C（0，2）．
∵CH∥AD，
∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2．
令x＝0，则y＝﹣1×0+5＝5，
∴A（0，5）．
∵AH∥CD，
∴直线AH的解析式为：y＝x+5．
∴．
解得：．
∴H（﹣2，4）．
如下图，当四边形AHDC为平行四边形时，

∵DH∥AC，
∴直线DH的解析式为x＝2，
∵AH∥DC，
∴直线AH的解析式为y＝x+5，
∴当x＝2时，y＝×2+5＝6，
∴H（2，6）．
当四边形ADHC为平行四边形时，如下图，

∵DH∥AC，
∴直线DH的解析式为x＝2，
∵CH∥AD，
∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2，
当x＝2时，y＝﹣2+2＝0，
∴H（2，0）．
综上，存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为：（2，0）或（2，6）或（﹣2，4）．
【点评】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键．