4.2对数与对数函数 人教B版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含答案解析）
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第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 当时，不等式的解集是 ( )
A. B. C. D.
- 下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
- 已知函数其中且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
- 已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
- 已知实数，且，则( )
A. B. C. D.
- 若，，，则．( )
A. B. C. D.
- 已知，，，则( )
A. B. C. D.
- 若，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 若，则的可能取值是( )
A. B. C. D.
- 已知互不相等的三个实数，，都大于，且满足，则，，的大小关系可能是( )
A. B. C. D.
- 设，，则( )
A. B. C. D.
- 已知实数，，满足，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 如图，已知，是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形其中为直角顶点，则点的横坐标为 ．
- 已知函数与函数存在两个不同的交点，两交点的横坐标分别为，，则的最小值为_________．
- 下列说法中正确的有 把你认为正确的序号全部写上
；
已知，则；
函数的图象与函数的图象关于原点对称；
函数的递增区间为． - 若函数且，当时， ；若该函数的值域是，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 已知函数，若；
求的值；
求的值；
解不等式． - 设函数，，
求的值；
若，求取值范围；
求的最值，并给出最值时对应的的值。
- 已知函数．
求函数的定义域；
若，，求的值．
- 已知，且，求的值．
- 已知函数．
解方程；
求不等式的解集．
- 已知函数且．
Ⅰ求函数的定义域；
Ⅱ若，判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；
Ⅲ解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性，属于基础题．
由对数的运算性质把已知不等式变形，然后利用对数函数的性质求解．
【解答】
解：原不等式可化为，
因为，函数在单调递减，
则．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
显然有，，可排除，，设，得或，不能确定，排除；同理若 ，得到，，由此即可得到答案．
【解答】
解：显然有，，可排除，；
设，则，若，
则有，，由，
得或，不能确定，排除；
同理若，
则，，，
即，，C正确．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数与指数幂的运算、对数与对数运算，属于中档题．
先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数式中求出，最后即可求出相应的函数值．
【解答】
解：函数的图象恒过定点，
将，代入得：，
，
，
则
．
故选A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
结合对数的运算性质先求出的范围，然后结合基本不等式可求．
本题主要考查了对数的运算性质及利用基本不等式求解最值，属于基础题．
【解答】
解：由，得，，且，
，
，当且仅当时取等号，
，即的最小值为，
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数运算性质，函数单调性的应用，属于中档题．
对，利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性， ，继而得解．
【解答】
解：由，变形可知，
利用换底公式等价变形，得，
因为函数在上单调递增，所以 ，即，排除，；
其次，因为，得，即，
同样利用的单调性知，，
又因为，得，即，所以．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查比较大小问题，涉及对数函数性质，属中档题．
利用对数函数的性质可得，的范围，进而比较即可得出结论．
【解答】
解：，
，
，
，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算，属中档题．
根据对数的运算定义求得，根据对数运算公式化简即可．
【解答】
解：由，，得，
所以，，，
，
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数、对数函数的图象和性质及不等式，函数的图象的应用．
在同一坐标系中作出函数，，的图象，然后进行求解即可得．
【解答】
解：在同一坐标系中作出函数，，的图象，如图所示．
数形结合可知当时，，
故的取值范围为．
故选D．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数及其性质、对数不等式，属一般题．
结合对数函数的单调性可分和两种情况讨论，分析求解即可．
【解答】
解：原不等式即为，
当时，因为在单调递增，所以有，无解；
当时，因为在单调递减，所以有，解得，故BCD均有可能．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数的运算性质，对数函数的性质，二次函数的图象和性质，属于中档题．
将已知等式变形为关于的一元二次方程，由方程有实根得出，的大小关系，再构造一个二次函数，根据，，的大小关系确定，，的大小关系．
【解答】
解：由已知，，即，
则关于的方程有实根，
所以
因为，，，则，所以．
设，则二次函数的图象关于直线对称，且，
且，
若是的一个较大零点，则，即；
若是的一个较小零点，则，即．
故答案选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用对数函数的图像与性质比较大小，对数式的化简求值与证明，属于中档题．
由对数函数的性质得出，，由对数的运算法则得出，即可得出选项．
【解答】
解：，，
，
，，，
，又 ，
，．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查比较大小，涉及幂指对函数性质，属于中档题．
根据指数函数的单调性可以判定先转化为同底数的对数，利用对数函数的单调性进行判断根据对数函数的性质和指数函数的性质判定不等号两边的数的正负，即可判定利用幂函数的性质判定．
【解答】
解：，
在定义域上单调递减又，
，故A错误
，．
， 在上单调递减．
，，，即，故 B正确
，，，，故C正确
在上单调递增，，
，故 D错误．
故选BC．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算性质和运用，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．
设，代入函数解析式，再由等腰直角三角形可得再由对数的运算性质和方程思想，计算即可得到所求值．
【解答】
解：设，
则
由是等腰直角三角形其中为直角顶点，
可得
即有
化简可得解得
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数的图像性质以及基本不等式求最值，属于中档题．
根据已知可得，再利用基本不等式求最值．
【解答】
解：函数与函数存在两个不同的交点，
两交点的横坐标分别为，，
根据对数函数的图像可得，，，
所以，
解得，
所以,
当且仅当，即取等号，
则的最小值为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了复合函数的单调性、指数与指数幂的运算、指数函数及其性质、对数方程与对数不等式、对数函数及其性质的相关知识，试题难度一般
【解答】
解：，故不正确．
当时，，即，所以，所以．
当时，，即，所以，所以．
综上，或，故不正确．
因为，，，
所以与的图象关于原点对称，故正确．
的定义域为，故不正确．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的应用，对数函数的单调性，属于中档题．
第一空，代入，即得解；
第二空，分段，求函数的值域，当时，分，讨论，利用对数函数单调性求解即可．
【解答】
解：当时，；
若函数的值域是，故当时，满足，
当时，由，所以，
若，当时，不成立；
若，函数为增函数，所以，
所以实数的取值范围．
故答案为：；．
17.【答案】解：，
，即，解得．
由得函数，
则，
不等式，
即为
化简不等式得，
函数在上为增函数，且的定义域为，
，
即，解得，
所以不等式的解集为：．
【解析】本题考查了对数运算和运用对数函数单调性解不等式，属于基础题．
将代入函数，根据对数的运算法则可求出的值；
由可得函数的解析式，将代入解析式，化简可得结论；
根据不等式结合函数单调性得从而求出解集．
18.【答案】解：函数，，
则；
，
，即，
故取值范围为
函数，
令，则，，
由二次函数性质得
当即时，，
当时，．
【解析】本题主要考查了对数的运算，对数不等式，对数函数的性质，函数的最值，属于中档题．
将直接代入可得结果；
由题意， ，解对数不等式即可
，令，则，利用二次函数球最值即可．
19.【答案】解：由题意得，即，解得，
因此的定义域为．
由，得，所以，由，
得，所以，所以，
所以．
【解析】本题考查函数的定义域以及对数的运算，属于中档题．
由题意得，结合对数函数的性质解不等式即可求解；
根据函数解析式可得，，结合对数的运算性质即可求解．
20.【答案】解：由，得，
所以．
同理可得．
由，得，即，
所以．
因为，
所以．
【解析】本题考查对数运算，属于中档题．
先由条件得，，再利用，得，解之即可．
21.【答案】解：由，
得，
得，
解得．
函数的定义域是，
不等式，
等价于，
即．
因为在上是增函数，
所以
解得．
故不等式的解集为．
【解析】本题考查对数函数的性质，对数方程，属于中档题．
根据对数运算即可求解；
根据对数函数的单调性以及对数不等式的解法，即可求解．
22.【答案】解：Ⅰ由题意：，解得：，
则函数的定义域是；
Ⅱ因为，，
可得：函数在上单调递增，
设且，
则，
，，
，
即
所以函数在上单调递增；
Ⅲ由题意，，即，
当时，由，得，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是
【解析】本题考查函数的定义域，函数的单调性，属于中档题．
Ⅰ根据题意，即可得解；
Ⅱ由，求出的值，即可得出单调性，利用定义法证明即可；
Ⅲ由题意，，即，分类讨论：当时，当时，解不等式即可求解．
