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初中数学2.1 整式优秀练习题
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这是一份初中数学2.1 整式优秀练习题，文件包含专题21整式讲练-2022-2023七年级上册同步讲练解析版人教版docx、专题21整式讲练-2022-2023七年级上册同步讲练原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
专题2.1 整式
典例体系
一、知识点
1.代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数：单项式中的数字因数
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和
3.多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
4.整式：单项式和多项式统称为整式。
注意：分母上含有字母的不是整式。
5.代数式书写规范：
① 数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；
② 出现除式时，用分数表示；
③ 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；
④ 若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
二、考点点拨与训练
考点1：单项式的定义及判定
典例：（2020·安徽省初一期末）下列代数式中，单项式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】
解：代数式中，是单项式，
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查了单项式的定义，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
巩固练习
1．（2020·河北省初一期末）下列结论正确的是( )
A．﹣3ab2和b2a是同类项 B．不是单项式
C．a比﹣a大 D．2是方程2x+1＝4的解
【答案】A
【解析】选项A. 和是同类项，正确.
选项 B. 是单项式.错误.
选项C.因为a=0, =.错误.
选项 D. 2代入方程.错误.
故选A.
2．（2020·内蒙古自治区中考真题）下列说法不正确的是( )
A．是2个数a的和 B．是2和数a的积
C．是单项式 D．是偶数
【答案】D
【解析】解：A、=a+a，是2个数a的和，故选项正确；
B、=2×a，是2和数a的积，故选项正确；
C、是单项式，故选项正确；
D、当a为无理数时，是无理数，不是偶数，故选项错误；
故选D.
3．（2020·贵州省初三学业考试）下列说法中正确的是（ ）
A．单项式的系数和次数都是零 B．是次单项式
C．是单项式 D．的系数是
【答案】C
【解析】A. 单项式的系数和次数都是1，故不正确；
B. 是3次单项式，故不正确；
C. 是单项式，正确；
D. 的系数是π，故不正确；
故选C．
4．（2020·内蒙古自治区初一期末）下列说法正确的是：（ ）．
A．单项式m的次数是0 B．单项式5×105t的系数是5
C．单项式的系数是 D．－2 010是单项式
【答案】D
【解析】A. 单项式m的次数是1，故A选项错误；B. 单项式5×105t的系数是5×105，故B选项错误；C. 单项式的系数是π，故C选项错误；D. －2 010是单项式，正确，
故选D.
5．（2020·广东省初一期末）单项式﹣x3y2的系数与次数分别为（ ）
A．﹣1，5 B．﹣1，6 C．0，5 D．1，5
【答案】A
【解析】解：根据单项式系数的定义，单项式﹣x3y的系数是﹣1，次数是5．
故选：A．
6．（2019·内蒙古自治区初一期中）式子中，，，，，，0单项式个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】解：不是单项式；
不是单项式；
是单项式；
是单项式；
是单项式；
是单项式；
0是单项式．
综上：共有5个单项式
故选A
7．（2019·广西壮族自治区初一期末）单项式的系数和次数依次是 （ ）
A．-2,3 B．-2,4 C．2,3 D．2,4
【答案】A
【解析】单项式的系数是−2，次数是3，
故选：A．
8．（2019·广西壮族自治区初一期末）的系数与次数分别为
A．，2次 B．，2次 C．,3次 D．3,3次
【答案】C
【解析】系数为：－3
次数为：1+2=3
故选：C．
9．（2020·广东省绿翠现代实验学校初一期中）下列式子中：，，，，中，单项式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】为多项式，故不是单项式；为分式，而单项式是整式的一种，因此单项式有，，共计3个
故选择：C
10．（2020·河北省初一期末）在下列式子，﹣4x，﹣ abc，a，0，a﹣b，0.95中，单项式有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【解析】解：，﹣4x，﹣abc，a，0，a﹣b，0.95中，单项式有，﹣4x，﹣abc，a，0，0.95共6个．
故选：B．
11．（2019·重庆实验外国语学校初一期中）下列说法正确的是
A．的系数是 B．是6次单项式
C．是多项式 D．的常数项是1
【答案】C
【解析】A、的系数是，故此选项错误；B、是3次单项式，故此选项错误；C、是多项式，故此选项正确；D、的常数项是，故此选项错误；故选：C．
12．（2019·河北省初一期末）单项式的系数是_______．
【答案】
【解析】解：单项式的系数是，
故答案为：．
13．（2018·内蒙古自治区初一期末）单项式的系数是________，次数是_______．
【答案】-1 6
【解析】解：单项式的系数是-1，次数是6．
故答案为：-1，6．
14．（2020·贵州省初三学业考试）单项式的系数是_______________________．
【答案】
【解析】∵单项式的数字因数是，
∴其系数是，
故答案为：．
15．（2020·江苏省初三二模）单项式的系数是_______．
【答案】
【解析】解：在单项式中，系数是；
故答案为：．
16．（2020·广东省初三二模）若单项式的次数是，则m=__________．
【答案】
【解析】解：单项式的次数是m=3，
故答案为：3．
17．（2019·内蒙古自治区初一期中）已知的次数为10，求的值________．
【答案】17
【解析】解：∵的次数为10，
∴m+n+1=10，
∴m+n=9，
∴2m+2n-1=2（m+n）-1=2×9-1=17．
故答案为：
18．（2020·湖北省初三二模）单项式的次数是__________．
【答案】
【解析】解：a的指数是4，b的指数是3，4+3=7
故答案为：7.
19．（2020·黑龙江省初一期末）单项式﹣3πxy3z2的系数是______，次数为______．
【答案】﹣3π 6
【解析】解：单项式的系数和次数分别是：
故答案为：．
20．（2019·四川省初一期末）请写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母m、n：②系数是负整数；③次数是3，你写的单项式为______.
【答案】−2mn(答案不唯一).
【解析】根据题意,得−2mn(答案不唯一)，
故答案为：−2mn(答案不唯一).
考点2：多项式的定义及判定
典例：（2019·广西壮族自治区初一期末）已知 是关于x的三次三项式，那么m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
∵ 是关于x的三次三项式
∴的次数为3，即m-1=3
解得：m=4
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查多项式的概念，注意，多项式的次数指的是组成多项式的所有单项式中次数最高的那个单项式的次数．
巩固练习
1．（2020·湖北省初一期末）下列说法错误的是 （ ）
A．是二次三项式 B．不是单项式
C．的系数是 D．的次数是6
【答案】D
【解析】根据多项式和单项式的有关定义判断即可. A．根据多项式的次数：次数最高的那项的次数.次数为2；次数为2；-1的次数为0，所以是二次三项式 ，正确；
B．根据单项式是数字与字母的积可得不是单项式 ，正确；
C．根据单项式系数：字母前边的数字因数可得的系数是，正确；
D．根据单项式的次数是所有字母指数的和可得的次数是4,，错误.
所以选D.
2．（2020·河北省初一期末）下列说法错误的个数是( )
①单独一个数0不是单项式；②单项式-a的次数为0；③多项式-a2+abc+1是二次三项式；④-a2b的系数是1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】解：①单独一个数0是单项式，故①错误；
②单项式﹣a的次数为1，故②错误；
③多项式﹣a2+abc+1是三次三项式，故③错误；
④﹣a2b的系数是﹣1，故④错误；
故选：D．
3．（2020·河南省初一期末）下列说法正确的是（ ）
A．多项式是二次三项式 B．单项式的系数是，次数是
C．多项式的常数项是 D．多项式的次数是
【答案】D
【解析】A、多项式是二次二项式，故本选项错误；
B、单项式的系数是，次数是，故本选项错误；
C、多项式的常数项是，故本选项错误；
D、多项式的次数是，故本选项正确；
故选：D．
4．（2019·内蒙古自治区初一期中）下列判断中正确的是( )
A．单项式 的系数是-2 B．单项式 的次数是1
C．多项式 的次数是2 D．多项式 是三次三项式
【答案】D
【解析】单项式的系数是指前面的常数项，所有字母的指数之和是这个单项式的次数；在多项式中，单项式的最高次数为这个多项式的次数，单项式的个数为这个多项式的项数．A、单项式的系数为，故错误；B、单项式的次数为0次，故错误；C、多项式的次数为4，故错误；D、正确，故选D．
5．（2020·广东省绿翠现代实验学校初一期中）多项式的次数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．3
【答案】C
【解析】在中，
第一个单项式为：，其次数为6
第二个单项式为：，其次数为3
第三个单项式为：，其次数为0
综上，这个多项式的次数为6
故答案选：C．
6．（2019·曲靖市沾益区播乐乡罗木中学初一月考）下列说法正确的是（ ）
A．ab+c是二次三项式 B．多项式2x的次数是4
C．0是单项式 D．是整式
【答案】C
【解析】A. ab+c是二次二项式，所以A选项错误；
B. 多项式2x的次数是2，所以B选项错误；
C. 0是单项式，所以C选项正确；
D. 为分式，所以D选项错误.
故选C.
7．（2019·重庆市大坪中学初一期中）若关于x，y的多项式是三次三项式， 则m等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．±1
【答案】C
【解析】解:由题意可得2+=3,且- (m+1)≠0，
解得m=1.
故选C.
8．（2018·湖北省初一期末）关于多项式x2＋y2－1的项数及次数，下列说法正确的是（ ）
A．项数是2，次数是2 B．项数是2，次数是4
C．项数是3，次数是2 D．项数是3，次数是4
【答案】C
【解析】多项式x2+y2-1是3个单项式的和，因此该多项式的项数是3；
组成多项式的单项式的最高次数是2，因此该多项式的次数是2．
故选：C．
9．（2019·山西省初一期中）下列说法正确的是（ ）
A．单项式的次数是1
B．单项式的系数是2
C．多项式的次数是3
D．，，5是多项式的项
【答案】C
【解析】解：选项A：单项式的次数为2,故选项A错误；
选项B：单项式的系数为，故选项B错误；
选项C：多项式的次数是3次，故选项C正确；
选项D：的项是：，和，故选项D错误.
故答案为：C.
10．（2020·绵竹市孝德中学初一期中）下列说法正确的是（ ）
A．－4x2＋x3y2＋5是五次三项式 B．－25 x 3 y的次数9
C．是单项式 D．不是整式
【答案】A
【解析】解：A、－4x2＋x3y2＋5是五次三项式，故选项正确；
B、－25 x 3 y的次数4，故选项错误；
C、是分式，故选项错误；
D、是整式，故选项错误；
故选A.
11．（2020·成都市金花中学初一期中）下列式子中，和次数相同的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：单项式的次数是6次．
A、的次数是7次，与已知式子的次数不相同，所以本选项不符合题意；
B、的次数是5次，与已知式子的次数不相同，所以本选项不符合题意；
C、多项式的次数是6次，与已知式子的次数相同，所以本选项符合题意；
D、的次数是0次，与已知式子的次数不相同，所以本选项不符合题意．
故选：C．
12．（2019·苏州市景范中学校初一期末）下列关于多项式的说法中，正确的是（ ）
A．次数是5 B．二次项系数是0 C．最高次项是 D．常数项是1
【答案】C
【解析】A、多项式的次数是3，故此选项错误；
B、多项式的二次项系数是1，故此选项错误；
C、多项式的最高次项是-2ab2，故此选项正确；
D、多项式的常数项是-1，故此选项错误．
故选C．
13．（2020·张家界市民族中学初三月考）多项式是______次_____项式，最高次项的系数是_______．
【答案】六 四 -7
【解析】解：根据定义，多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式的次数为，多项式中次数最高项的单项式次数就是这个多项式的次数；系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
故这个多项式是六次四项式，最高次项的系数是-7．
故答案为六、四、-7．
14．（2019·内蒙古自治区初一期末）多项式5x3y﹣2x2y3﹣3xy+5的次数是__次．最高次项系数是______，常数项是____．
【答案】5 -2 +5
【解析】解：多项式5x3y−2x2y3−3xy＋5的次数是5，最高次项系数是−2，常数项是＋5．
故答案为：5，−2，＋5．
15．（2020·四川省初一期中）单项式的系数是_____；多项式的次数是_____．
【答案】 3
【解析】解：单项式的系数是，
多项式的次数是3，
故答案为：，3.
16．（2019·广西壮族自治区初一期末）下图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是：_________________________．
【答案】答案不唯一，如:
【解析】由题意可知，可补充（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
17．（2019·北京市顺义区杨镇第二中学初一期中）多项式是_______次_______项式，常数项是_______．
【答案】五， 三，
【解析】
解：多项式是五次三项式，常数项是；
故答案为：五，三，．
18．（2019·河南省初一期中）把多项式按字母a的升幂排列得____________________．
【答案】
【解析】解：多项式按字母a的升幂排列是：-b3+3ab2-4a2b +a3
故答案是： ．
19．（2020·云龙县第三中学初一期中）多项式是_______次________项式．
【答案】四 三
【解析】
因为多项式是单项式，，的和，而其中的次数最高为4，所以多项式 是四次三项式．故答案为：四；三．
考点3：数字、字母类规律探究
典例：（2020·湖北省中考真题）有一列数，按一定的规律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中第一个数是______．
【答案】
【解析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是，可设第一个数是n，则三个数为n，-3 n，9n
由题意：，
解得：n=-81，
故答案为：-81．
方法或规律点拨
此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·广东省初三月考）观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…；
1，7，－5，19，－29，67，…；
－1，2，－4，8，－16，32，…．
分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ ）
A．2563 B．2365 C．2167 D．2069
【答案】A
【解析】解：由题意可知，第1行第10个数为：210；
第2行第10个数为：210＋3；
第3行第10个数为：29；
三数和为：210＋210＋3＋29＝2563，
故选：A．
2．（2020·湖北省初三一模）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是（ ）
A．9999 B．9910 C．9901 D．9801
【答案】C
【解析】解：23＝3+5；33＝7+9+l1；43＝13+15+17+19；
∵3＝2×1+1，
7＝3×2+1，
13＝4×3+1，
∴m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m（m﹣1）+1，
∴1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是100×99+1＝9901，
故选：C．
3．（2020·广西壮族自治区中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A．499 B．500 C．501 D．1002
【答案】C
【解析】设最后三位数为x－4,x－2,x．
由题意得: x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．
n=1002÷2=501．
故选C．
4．（2020·河南省初三二模）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取时，其计算过程如上图所示，若，则第2020次“”运算的结果是（ ）
A．1 B．4 C．2020 D．
【答案】A
【解析】解：当时，第1次“”运算为：13×3+1=40，
第2次“”运算为：，
第3次“”运算为：5×3+1=16，
第4次“”运算为，
第5次“”运算为1×3+1=4，
第6次“”运算为，
第7次“”运算为1×3+1=4，…，
由此可得，n≥4时，当n为偶数时，结果为1，当n为奇数时，结果为4，
∵2020为偶数，
∴第2020次“”运算的结果是1，
故选：A．
5．（2020·湖南省中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）
1
4
2
9
2
6
3
20
3
8
4
35
……
a
18
b
x
A．135 B．153 C．170 D．189
【答案】C
【解析】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故选C．
6．（2020·湖北省中考真题）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【解析】根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去
故选：B．
7．（2020·内蒙古自治区初三三模）按照一定规律排列的个数：-2，4，-8，16，-32，64，…．若最后三个数的和为768，则为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】由题意，得第n个数为（-2）n，
那么（-2）n-2+（-2）n-1+（-2）n=768，
当n为偶数：整理得出：3×2n-2=768，解得：n=10；
当n为奇数：整理得出：-3×2n-2=768，则求不出整数．
故选B．
8．（2020·湖北省初三其他）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（ ）
A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，，，……
∴这个数列以-2，，依次循环，且，
∵，
∴，
故选：A．
9．（2019·淮安市清河开明中学初一期末）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=____．
【答案】110
【解析】根据前三个正方形中的数字规律可知：C所处的位置上的数字是连续的奇数，所以c=9，而a所处的位置上的数字是连续的偶数，所以a=10，而b=ac+1=9×10+1=91，所以a+b+c=9+10+91=110．
10．（2020·浙江省初一期末）观察下列等式：2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22+23+24=25-2，…，若250=m，则2100+2101+2102+…+2200=________．（用含m的代数式表示）
【答案】m2（2m2-1）．
【解析】解：∵250=m，
∴2100+2101+2102+…+2200
=2100（1+2+22+…+299+2100）
=2100（1+2101-2）
=（250）2[（250）2×2-1）]
=m2（2m2-1）．
故答案为：m2（2m2-1）．
11．（2019·河北省初一期末）观察下列算式：12－02＝1；22－12＝3；32－22＝5；42－32＝7；52－42＝9；…；若字母n表示自然数，请你将观察到的规律用含n的式子表示出来：_______．
【答案】(n+1)2-n2=2n+1
【解析】解：根据题意，分析可得
若字母n表示自然数，则有：(n+1)2-n2= n+ n+1=2n+1.
故答案为：(n+1)2-n2=2n+1．
12．（2020·山东省初三其他），，，，，，…，是一列数，已知第1个数，第5个数，且任意三个相邻的数之和为15，则第2020个数的值是_________．
【答案】4
【解析】解：由题意可知：
∴
∴=15-4-5=6
∴这组数列为4,5,6,4,5,6,4,5,6,……
∵2020÷3=673……1
∴
故答案为：4
13．（2020·广西壮族自治区中考真题）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，则该礼堂的座位总数是_____．
【答案】556个
【解析】∵前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，
∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯⋯+(20+7×2)
=8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2
=216(个)；
∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34，
∴后区的座位数为：34×10=340（个）
因此，该礼堂的座位总数是216+340=556（个）
故答案为：556个．
14．（2020·安徽省初一期末）有一列数按一定规律排列为．．．，如果其中三个相邻的数之和为则这三个数中最小的数是________________________．
【答案】-151
【解析】由题意，设相邻三个数中间的数为x，则相邻两个数分别为（-x-2）和（-x+2）,
根据题意得：（-x-2）+x+(-x+2)=151，
解得：x=﹣151，
则这三个数分别为149、-151、153，
所以最小的数是-151，
故答案为：-151．
15．（2020·青海省中考真题）观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．
【答案】
【解析】（1），
②，
③，
④；
故答案为．
（2）第n个式子为：．
故答案为．
16．（2020·广东省初三一模）观察下列等式：，，，，，，…，试猜想，的个位数字是_________．
【答案】3
【解析】∵，，，，，，
…1，
∴的个位数字是3．
故答案为3．
考点4：图形规律探究
典例：（2020·安徽省初三月考）下图中每个小正方形的边长均为1，观察图中正方形的面积与等式关系，完成后面的问题：
（1）根据你发现的规律，在图的后面的横线上填上所对应的等式，并证明等式成立；
（2）利用上述规律，求；
（3）利用（2）的结论求的值．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）4905．
【解析】解：（1）；
证明：∵等式左边，
等式右边，
∴等式左边＝等式右边，
∴等式成立．
（2）把1到n的等式相加得
，
∴，
∴．
（3）
．
方法或规律点拨
此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·重庆中考真题）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【解析】解：通过观察可得到
第①个图形中实心圆点的个数为：5=2×1+1+2，
第②个图形中实心圆点的个数为：8=2×2+2+2，
第③个图形中实心圆点的个数为：11=2×3+3+2，
……
∴第⑥个图形中实心圆点的个数为：2×6+6+2=20，
故选：C．
2．（2020·山东省初一月考）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，第1个图中有5个“〇”，第2个图中有8个“〇”，第3个图中有11个“〇”，则第（ ）个图中所贴剪纸“〇”的个数为2018．
A．671 B．672 C．670 D．673
【答案】B
【解析】解：第一个图案为3+2＝5个窗花；
第二个图案为2×3+2＝8个窗花；
第三个图案为3×3+2＝11个窗花；
…从而可以探究：
第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个，
∴3n+2＝2018，
解答：n＝672，
故选：B．
3．（2019·河北省初二期末）（1）中共有1个小正方体，其中一个看的见，0个看不见；（2）中共有8个小正方体，其中7个看得见，一个看不见；（3）中共有27个小正方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第（5）个图中，看得见的小正方体有（ ）个．
A．100 B．84 C．64 D．61
【答案】D
【解析】（1）中共有1个小正方体，其中一个看的见，0个看不见，即 ；
（2）中共有8个小正方体，其中7个看得见，一个看不见，即；
（3）中共有27个小正方体，其中19个看得见，8个看不见，即；
……
第（5）个图中，看得见的小正方体有即个；
故选：D．
4．（2020·广东省初三月考）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，
当完成第2020次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A．22019 B． C． D．
【答案】C
【解析】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积S1＝，
第二次：余下面积S2＝，
第三次：余下面积S3＝，
当完成第2020次操作时，余下纸片的面积为S2020＝．
故选：C．
5．（2020·曲靖市马龙区通泉中学初二期中）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（ ）
A．42 B．43 C．56 D．57
【答案】B
【解析】第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；
第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；
第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；
…，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；
第⑥个图形中菱形的个数62+6+1=43．
故选B．
6．（2020·山东省中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．
【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【解析】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，
若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，
故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
7．（2019·内蒙古自治区初一期末）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆.（用含 n 的代数式表示）
【答案】或（）
【解析】第1个图有1×2+4个小圆；
第2个图有2×3+4个小圆；
第3个图有3×4+4个小圆；
…
第n个图形有或个小圆．
8．（2020·海南省中考真题）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第个图至第个图中的规律编织图案，则第个图中有_____________个菱形， 第个图中有____________个菱形(用含的代数式表示)．
【答案】
【解析】解：∵第1个图形有1个菱形，
第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，
第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，
第4个图形有2×4×3+1=25个菱形，
∴第5个图形有2×5×4+1=41个菱形，
第n个图形有2×n×(n-1)+1=个菱形.
故答案为：41，.
9．（2020·河北省初一期末）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为________个．第n个图形中面积为1的正方形有________个
【答案】
【解析】解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，
第（2）个图形中面积为1的正方形有2+3=5个，
第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，
…，
按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，
则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个，
故答案为：27，．
10．（2020·内蒙古自治区中考真题）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第个正方形比第n个正方形多_____个小正方形．
【答案】2n+3
【解析】解：∵第一个图形有22=4个正方形组成，
第二个图形有32=9个正方形组成，
第三个图形有42=16个正方形组成，
∴第n个图形有（n+1）2个正方形组成，第n+1个图形有（n+2）2个正方形组成
∴（n+2）2-（n+1）2
=2n+3
故答案为：2n+3．
11．（2020·黑龙江省朝鲜族学校中考真题）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是___个．
【答案】92
【解析】解：因为第1个图形中一共有个圆，
第2个图形中一共有个圆，
第3个图形中一共有个圆，
第4个图形中一共有个圆；
可得第个图形中圆的个数是；
所以第9个图形中圆的个数，
故答案为：92．
12．（2020·山西省中考真题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形按此规律摆下去，第个图案有_______个三角形（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】解：由图形可知：
第1个图案有3+1=4个三角形，
第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，
第3个图案有3×3+ 1=10个三角形，
...
第n个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形．
故答案为（3n+1）．
13．（2020·黑龙江省中考真题）下面各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，……，按此规律，第10个图中黑点的个数是________．
【答案】119
【解析】解：根据题意，
第1个图有2个黑点；
第2个图有7个黑点；
第3个图有14个黑点；
……
第n个图有个黑点；
∴当n=10时，有（个）；
故答案为：119．
14．（2020·广东省初三一模）如图图形都是由同样大小的正方形“□”按照一定规律排列的，其中图①中共有2个正方形，图②中共有4个正方形，图③中共有7个正方形，图④中共有12个正方形，图⑤中共有21个正方形，……，照此规律排列下去，则图⑩中正方形的个数为_____．
【答案】522
【解析】解：由图可得，
第①个图形中“□”的个数为：1+1＝2，
第②个图形中“□”的个数为：2+1×2＝4，
第③个图形中“□”的个数为：3+1×2×2＝7，
第④个图形中“□”的个数为：4+1×2×2×2＝12，
第⑤个图形中“□”的个数为：5+1×2×2×2×2＝21，
…，
则图⑩中正方形的个数为：10+1×29＝10+512＝522，
故答案为：522．
专题2.1 整式
典例体系
一、知识点
1.代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数：单项式中的数字因数
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和
3.多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
4.整式：单项式和多项式统称为整式。
注意：分母上含有字母的不是整式。
5.代数式书写规范：
① 数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；
② 出现除式时，用分数表示；
③ 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；
④ 若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
二、考点点拨与训练
考点1：单项式的定义及判定
典例：（2020·安徽省初一期末）下列代数式中，单项式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】
解：代数式中，是单项式，
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查了单项式的定义，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
巩固练习
1．（2020·河北省初一期末）下列结论正确的是( )
A．﹣3ab2和b2a是同类项 B．不是单项式
C．a比﹣a大 D．2是方程2x+1＝4的解
【答案】A
【解析】选项A. 和是同类项，正确.
选项 B. 是单项式.错误.
选项C.因为a=0, =.错误.
选项 D. 2代入方程.错误.
故选A.
2．（2020·内蒙古自治区中考真题）下列说法不正确的是( )
A．是2个数a的和 B．是2和数a的积
C．是单项式 D．是偶数
【答案】D
【解析】解：A、=a+a，是2个数a的和，故选项正确；
B、=2×a，是2和数a的积，故选项正确；
C、是单项式，故选项正确；
D、当a为无理数时，是无理数，不是偶数，故选项错误；
故选D.
3．（2020·贵州省初三学业考试）下列说法中正确的是（ ）
A．单项式的系数和次数都是零 B．是次单项式
C．是单项式 D．的系数是
【答案】C
【解析】A. 单项式的系数和次数都是1，故不正确；
B. 是3次单项式，故不正确；
C. 是单项式，正确；
D. 的系数是π，故不正确；
故选C．
4．（2020·内蒙古自治区初一期末）下列说法正确的是：（ ）．
A．单项式m的次数是0 B．单项式5×105t的系数是5
C．单项式的系数是 D．－2 010是单项式
【答案】D
【解析】A. 单项式m的次数是1，故A选项错误；B. 单项式5×105t的系数是5×105，故B选项错误；C. 单项式的系数是π，故C选项错误；D. －2 010是单项式，正确，
故选D.
5．（2020·广东省初一期末）单项式﹣x3y2的系数与次数分别为（ ）
A．﹣1，5 B．﹣1，6 C．0，5 D．1，5
【答案】A
【解析】解：根据单项式系数的定义，单项式﹣x3y的系数是﹣1，次数是5．
故选：A．
6．（2019·内蒙古自治区初一期中）式子中，，，，，，0单项式个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】解：不是单项式；
不是单项式；
是单项式；
是单项式；
是单项式；
是单项式；
0是单项式．
综上：共有5个单项式
故选A
7．（2019·广西壮族自治区初一期末）单项式的系数和次数依次是 （ ）
A．-2,3 B．-2,4 C．2,3 D．2,4
【答案】A
【解析】单项式的系数是−2，次数是3，
故选：A．
8．（2019·广西壮族自治区初一期末）的系数与次数分别为
A．，2次 B．，2次 C．,3次 D．3,3次
【答案】C
【解析】系数为：－3
次数为：1+2=3
故选：C．
9．（2020·广东省绿翠现代实验学校初一期中）下列式子中：，，，，中，单项式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】为多项式，故不是单项式；为分式，而单项式是整式的一种，因此单项式有，，共计3个
故选择：C
10．（2020·河北省初一期末）在下列式子，﹣4x，﹣ abc，a，0，a﹣b，0.95中，单项式有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【解析】解：，﹣4x，﹣abc，a，0，a﹣b，0.95中，单项式有，﹣4x，﹣abc，a，0，0.95共6个．
故选：B．
11．（2019·重庆实验外国语学校初一期中）下列说法正确的是
A．的系数是 B．是6次单项式
C．是多项式 D．的常数项是1
【答案】C
【解析】A、的系数是，故此选项错误；B、是3次单项式，故此选项错误；C、是多项式，故此选项正确；D、的常数项是，故此选项错误；故选：C．
12．（2019·河北省初一期末）单项式的系数是_______．
【答案】
【解析】解：单项式的系数是，
故答案为：．
13．（2018·内蒙古自治区初一期末）单项式的系数是________，次数是_______．
【答案】-1 6
【解析】解：单项式的系数是-1，次数是6．
故答案为：-1，6．
14．（2020·贵州省初三学业考试）单项式的系数是_______________________．
【答案】
【解析】∵单项式的数字因数是，
∴其系数是，
故答案为：．
15．（2020·江苏省初三二模）单项式的系数是_______．
【答案】
【解析】解：在单项式中，系数是；
故答案为：．
16．（2020·广东省初三二模）若单项式的次数是，则m=__________．
【答案】
【解析】解：单项式的次数是m=3，
故答案为：3．
17．（2019·内蒙古自治区初一期中）已知的次数为10，求的值________．
【答案】17
【解析】解：∵的次数为10，
∴m+n+1=10，
∴m+n=9，
∴2m+2n-1=2（m+n）-1=2×9-1=17．
故答案为：
18．（2020·湖北省初三二模）单项式的次数是__________．
【答案】
【解析】解：a的指数是4，b的指数是3，4+3=7
故答案为：7.
19．（2020·黑龙江省初一期末）单项式﹣3πxy3z2的系数是______，次数为______．
【答案】﹣3π 6
【解析】解：单项式的系数和次数分别是：
故答案为：．
20．（2019·四川省初一期末）请写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母m、n：②系数是负整数；③次数是3，你写的单项式为______.
【答案】−2mn(答案不唯一).
【解析】根据题意,得−2mn(答案不唯一)，
故答案为：−2mn(答案不唯一).
考点2：多项式的定义及判定
典例：（2019·广西壮族自治区初一期末）已知 是关于x的三次三项式，那么m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
∵ 是关于x的三次三项式
∴的次数为3，即m-1=3
解得：m=4
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查多项式的概念，注意，多项式的次数指的是组成多项式的所有单项式中次数最高的那个单项式的次数．
巩固练习
1．（2020·湖北省初一期末）下列说法错误的是 （ ）
A．是二次三项式 B．不是单项式
C．的系数是 D．的次数是6
【答案】D
【解析】根据多项式和单项式的有关定义判断即可. A．根据多项式的次数：次数最高的那项的次数.次数为2；次数为2；-1的次数为0，所以是二次三项式 ，正确；
B．根据单项式是数字与字母的积可得不是单项式 ，正确；
C．根据单项式系数：字母前边的数字因数可得的系数是，正确；
D．根据单项式的次数是所有字母指数的和可得的次数是4,，错误.
所以选D.
2．（2020·河北省初一期末）下列说法错误的个数是( )
①单独一个数0不是单项式；②单项式-a的次数为0；③多项式-a2+abc+1是二次三项式；④-a2b的系数是1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】解：①单独一个数0是单项式，故①错误；
②单项式﹣a的次数为1，故②错误；
③多项式﹣a2+abc+1是三次三项式，故③错误；
④﹣a2b的系数是﹣1，故④错误；
故选：D．
3．（2020·河南省初一期末）下列说法正确的是（ ）
A．多项式是二次三项式 B．单项式的系数是，次数是
C．多项式的常数项是 D．多项式的次数是
【答案】D
【解析】A、多项式是二次二项式，故本选项错误；
B、单项式的系数是，次数是，故本选项错误；
C、多项式的常数项是，故本选项错误；
D、多项式的次数是，故本选项正确；
故选：D．
4．（2019·内蒙古自治区初一期中）下列判断中正确的是( )
A．单项式 的系数是-2 B．单项式 的次数是1
C．多项式 的次数是2 D．多项式 是三次三项式
【答案】D
【解析】单项式的系数是指前面的常数项，所有字母的指数之和是这个单项式的次数；在多项式中，单项式的最高次数为这个多项式的次数，单项式的个数为这个多项式的项数．A、单项式的系数为，故错误；B、单项式的次数为0次，故错误；C、多项式的次数为4，故错误；D、正确，故选D．
5．（2020·广东省绿翠现代实验学校初一期中）多项式的次数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．3
【答案】C
【解析】在中，
第一个单项式为：，其次数为6
第二个单项式为：，其次数为3
第三个单项式为：，其次数为0
综上，这个多项式的次数为6
故答案选：C．
6．（2019·曲靖市沾益区播乐乡罗木中学初一月考）下列说法正确的是（ ）
A．ab+c是二次三项式 B．多项式2x的次数是4
C．0是单项式 D．是整式
【答案】C
【解析】A. ab+c是二次二项式，所以A选项错误；
B. 多项式2x的次数是2，所以B选项错误；
C. 0是单项式，所以C选项正确；
D. 为分式，所以D选项错误.
故选C.
7．（2019·重庆市大坪中学初一期中）若关于x，y的多项式是三次三项式， 则m等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．±1
【答案】C
【解析】解:由题意可得2+=3,且- (m+1)≠0，
解得m=1.
故选C.
8．（2018·湖北省初一期末）关于多项式x2＋y2－1的项数及次数，下列说法正确的是（ ）
A．项数是2，次数是2 B．项数是2，次数是4
C．项数是3，次数是2 D．项数是3，次数是4
【答案】C
【解析】多项式x2+y2-1是3个单项式的和，因此该多项式的项数是3；
组成多项式的单项式的最高次数是2，因此该多项式的次数是2．
故选：C．
9．（2019·山西省初一期中）下列说法正确的是（ ）
A．单项式的次数是1
B．单项式的系数是2
C．多项式的次数是3
D．，，5是多项式的项
【答案】C
【解析】解：选项A：单项式的次数为2,故选项A错误；
选项B：单项式的系数为，故选项B错误；
选项C：多项式的次数是3次，故选项C正确；
选项D：的项是：，和，故选项D错误.
故答案为：C.
10．（2020·绵竹市孝德中学初一期中）下列说法正确的是（ ）
A．－4x2＋x3y2＋5是五次三项式 B．－25 x 3 y的次数9
C．是单项式 D．不是整式
【答案】A
【解析】解：A、－4x2＋x3y2＋5是五次三项式，故选项正确；
B、－25 x 3 y的次数4，故选项错误；
C、是分式，故选项错误；
D、是整式，故选项错误；
故选A.
11．（2020·成都市金花中学初一期中）下列式子中，和次数相同的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：单项式的次数是6次．
A、的次数是7次，与已知式子的次数不相同，所以本选项不符合题意；
B、的次数是5次，与已知式子的次数不相同，所以本选项不符合题意；
C、多项式的次数是6次，与已知式子的次数相同，所以本选项符合题意；
D、的次数是0次，与已知式子的次数不相同，所以本选项不符合题意．
故选：C．
12．（2019·苏州市景范中学校初一期末）下列关于多项式的说法中，正确的是（ ）
A．次数是5 B．二次项系数是0 C．最高次项是 D．常数项是1
【答案】C
【解析】A、多项式的次数是3，故此选项错误；
B、多项式的二次项系数是1，故此选项错误；
C、多项式的最高次项是-2ab2，故此选项正确；
D、多项式的常数项是-1，故此选项错误．
故选C．
13．（2020·张家界市民族中学初三月考）多项式是______次_____项式，最高次项的系数是_______．
【答案】六 四 -7
【解析】解：根据定义，多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式的次数为，多项式中次数最高项的单项式次数就是这个多项式的次数；系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
故这个多项式是六次四项式，最高次项的系数是-7．
故答案为六、四、-7．
14．（2019·内蒙古自治区初一期末）多项式5x3y﹣2x2y3﹣3xy+5的次数是__次．最高次项系数是______，常数项是____．
【答案】5 -2 +5
【解析】解：多项式5x3y−2x2y3−3xy＋5的次数是5，最高次项系数是−2，常数项是＋5．
故答案为：5，−2，＋5．
15．（2020·四川省初一期中）单项式的系数是_____；多项式的次数是_____．
【答案】 3
【解析】解：单项式的系数是，
多项式的次数是3，
故答案为：，3.
16．（2019·广西壮族自治区初一期末）下图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是：_________________________．
【答案】答案不唯一，如:
【解析】由题意可知，可补充（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
17．（2019·北京市顺义区杨镇第二中学初一期中）多项式是_______次_______项式，常数项是_______．
【答案】五， 三，
【解析】
解：多项式是五次三项式，常数项是；
故答案为：五，三，．
18．（2019·河南省初一期中）把多项式按字母a的升幂排列得____________________．
【答案】
【解析】解：多项式按字母a的升幂排列是：-b3+3ab2-4a2b +a3
故答案是： ．
19．（2020·云龙县第三中学初一期中）多项式是_______次________项式．
【答案】四 三
【解析】
因为多项式是单项式，，的和，而其中的次数最高为4，所以多项式 是四次三项式．故答案为：四；三．
考点3：数字、字母类规律探究
典例：（2020·湖北省中考真题）有一列数，按一定的规律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中第一个数是______．
【答案】
【解析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是，可设第一个数是n，则三个数为n，-3 n，9n
由题意：，
解得：n=-81，
故答案为：-81．
方法或规律点拨
此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·广东省初三月考）观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…；
1，7，－5，19，－29，67，…；
－1，2，－4，8，－16，32，…．
分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ ）
A．2563 B．2365 C．2167 D．2069
【答案】A
【解析】解：由题意可知，第1行第10个数为：210；
第2行第10个数为：210＋3；
第3行第10个数为：29；
三数和为：210＋210＋3＋29＝2563，
故选：A．
2．（2020·湖北省初三一模）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是（ ）
A．9999 B．9910 C．9901 D．9801
【答案】C
【解析】解：23＝3+5；33＝7+9+l1；43＝13+15+17+19；
∵3＝2×1+1，
7＝3×2+1，
13＝4×3+1，
∴m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m（m﹣1）+1，
∴1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是100×99+1＝9901，
故选：C．
3．（2020·广西壮族自治区中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A．499 B．500 C．501 D．1002
【答案】C
【解析】设最后三位数为x－4,x－2,x．
由题意得: x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．
n=1002÷2=501．
故选C．
4．（2020·河南省初三二模）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取时，其计算过程如上图所示，若，则第2020次“”运算的结果是（ ）
A．1 B．4 C．2020 D．
【答案】A
【解析】解：当时，第1次“”运算为：13×3+1=40，
第2次“”运算为：，
第3次“”运算为：5×3+1=16，
第4次“”运算为，
第5次“”运算为1×3+1=4，
第6次“”运算为，
第7次“”运算为1×3+1=4，…，
由此可得，n≥4时，当n为偶数时，结果为1，当n为奇数时，结果为4，
∵2020为偶数，
∴第2020次“”运算的结果是1，
故选：A．
5．（2020·湖南省中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）
1
4
2
9
2
6
3
20
3
8
4
35
……
a
18
b
x
A．135 B．153 C．170 D．189
【答案】C
【解析】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故选C．
6．（2020·湖北省中考真题）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【解析】根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去
故选：B．
7．（2020·内蒙古自治区初三三模）按照一定规律排列的个数：-2，4，-8，16，-32，64，…．若最后三个数的和为768，则为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】由题意，得第n个数为（-2）n，
那么（-2）n-2+（-2）n-1+（-2）n=768，
当n为偶数：整理得出：3×2n-2=768，解得：n=10；
当n为奇数：整理得出：-3×2n-2=768，则求不出整数．
故选B．
8．（2020·湖北省初三其他）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（ ）
A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，，，……
∴这个数列以-2，，依次循环，且，
∵，
∴，
故选：A．
9．（2019·淮安市清河开明中学初一期末）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=____．
【答案】110
【解析】根据前三个正方形中的数字规律可知：C所处的位置上的数字是连续的奇数，所以c=9，而a所处的位置上的数字是连续的偶数，所以a=10，而b=ac+1=9×10+1=91，所以a+b+c=9+10+91=110．
10．（2020·浙江省初一期末）观察下列等式：2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22+23+24=25-2，…，若250=m，则2100+2101+2102+…+2200=________．（用含m的代数式表示）
【答案】m2（2m2-1）．
【解析】解：∵250=m，
∴2100+2101+2102+…+2200
=2100（1+2+22+…+299+2100）
=2100（1+2101-2）
=（250）2[（250）2×2-1）]
=m2（2m2-1）．
故答案为：m2（2m2-1）．
11．（2019·河北省初一期末）观察下列算式：12－02＝1；22－12＝3；32－22＝5；42－32＝7；52－42＝9；…；若字母n表示自然数，请你将观察到的规律用含n的式子表示出来：_______．
【答案】(n+1)2-n2=2n+1
【解析】解：根据题意，分析可得
若字母n表示自然数，则有：(n+1)2-n2= n+ n+1=2n+1.
故答案为：(n+1)2-n2=2n+1．
12．（2020·山东省初三其他），，，，，，…，是一列数，已知第1个数，第5个数，且任意三个相邻的数之和为15，则第2020个数的值是_________．
【答案】4
【解析】解：由题意可知：
∴
∴=15-4-5=6
∴这组数列为4,5,6,4,5,6,4,5,6,……
∵2020÷3=673……1
∴
故答案为：4
13．（2020·广西壮族自治区中考真题）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，则该礼堂的座位总数是_____．
【答案】556个
【解析】∵前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，
∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯⋯+(20+7×2)
=8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2
=216(个)；
∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34，
∴后区的座位数为：34×10=340（个）
因此，该礼堂的座位总数是216+340=556（个）
故答案为：556个．
14．（2020·安徽省初一期末）有一列数按一定规律排列为．．．，如果其中三个相邻的数之和为则这三个数中最小的数是________________________．
【答案】-151
【解析】由题意，设相邻三个数中间的数为x，则相邻两个数分别为（-x-2）和（-x+2）,
根据题意得：（-x-2）+x+(-x+2)=151，
解得：x=﹣151，
则这三个数分别为149、-151、153，
所以最小的数是-151，
故答案为：-151．
15．（2020·青海省中考真题）观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．
【答案】
【解析】（1），
②，
③，
④；
故答案为．
（2）第n个式子为：．
故答案为．
16．（2020·广东省初三一模）观察下列等式：，，，，，，…，试猜想，的个位数字是_________．
【答案】3
【解析】∵，，，，，，
…1，
∴的个位数字是3．
故答案为3．
考点4：图形规律探究
典例：（2020·安徽省初三月考）下图中每个小正方形的边长均为1，观察图中正方形的面积与等式关系，完成后面的问题：
（1）根据你发现的规律，在图的后面的横线上填上所对应的等式，并证明等式成立；
（2）利用上述规律，求；
（3）利用（2）的结论求的值．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）4905．
【解析】解：（1）；
证明：∵等式左边，
等式右边，
∴等式左边＝等式右边，
∴等式成立．
（2）把1到n的等式相加得
，
∴，
∴．
（3）
．
方法或规律点拨
此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·重庆中考真题）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【解析】解：通过观察可得到
第①个图形中实心圆点的个数为：5=2×1+1+2，
第②个图形中实心圆点的个数为：8=2×2+2+2，
第③个图形中实心圆点的个数为：11=2×3+3+2，
……
∴第⑥个图形中实心圆点的个数为：2×6+6+2=20，
故选：C．
2．（2020·山东省初一月考）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，第1个图中有5个“〇”，第2个图中有8个“〇”，第3个图中有11个“〇”，则第（ ）个图中所贴剪纸“〇”的个数为2018．
A．671 B．672 C．670 D．673
【答案】B
【解析】解：第一个图案为3+2＝5个窗花；
第二个图案为2×3+2＝8个窗花；
第三个图案为3×3+2＝11个窗花；
…从而可以探究：
第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个，
∴3n+2＝2018，
解答：n＝672，
故选：B．
3．（2019·河北省初二期末）（1）中共有1个小正方体，其中一个看的见，0个看不见；（2）中共有8个小正方体，其中7个看得见，一个看不见；（3）中共有27个小正方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第（5）个图中，看得见的小正方体有（ ）个．
A．100 B．84 C．64 D．61
【答案】D
【解析】（1）中共有1个小正方体，其中一个看的见，0个看不见，即 ；
（2）中共有8个小正方体，其中7个看得见，一个看不见，即；
（3）中共有27个小正方体，其中19个看得见，8个看不见，即；
……
第（5）个图中，看得见的小正方体有即个；
故选：D．
4．（2020·广东省初三月考）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，
当完成第2020次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A．22019 B． C． D．
【答案】C
【解析】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积S1＝，
第二次：余下面积S2＝，
第三次：余下面积S3＝，
当完成第2020次操作时，余下纸片的面积为S2020＝．
故选：C．
5．（2020·曲靖市马龙区通泉中学初二期中）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（ ）
A．42 B．43 C．56 D．57
【答案】B
【解析】第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；
第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；
第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；
…，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；
第⑥个图形中菱形的个数62+6+1=43．
故选B．
6．（2020·山东省中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．
【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【解析】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，
若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，
故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
7．（2019·内蒙古自治区初一期末）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆.（用含 n 的代数式表示）
【答案】或（）
【解析】第1个图有1×2+4个小圆；
第2个图有2×3+4个小圆；
第3个图有3×4+4个小圆；
…
第n个图形有或个小圆．
8．（2020·海南省中考真题）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第个图至第个图中的规律编织图案，则第个图中有_____________个菱形， 第个图中有____________个菱形(用含的代数式表示)．
【答案】
【解析】解：∵第1个图形有1个菱形，
第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，
第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，
第4个图形有2×4×3+1=25个菱形，
∴第5个图形有2×5×4+1=41个菱形，
第n个图形有2×n×(n-1)+1=个菱形.
故答案为：41，.
9．（2020·河北省初一期末）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为________个．第n个图形中面积为1的正方形有________个
【答案】
【解析】解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，
第（2）个图形中面积为1的正方形有2+3=5个，
第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，
…，
按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，
则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个，
故答案为：27，．
10．（2020·内蒙古自治区中考真题）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第个正方形比第n个正方形多_____个小正方形．
【答案】2n+3
【解析】解：∵第一个图形有22=4个正方形组成，
第二个图形有32=9个正方形组成，
第三个图形有42=16个正方形组成，
∴第n个图形有（n+1）2个正方形组成，第n+1个图形有（n+2）2个正方形组成
∴（n+2）2-（n+1）2
=2n+3
故答案为：2n+3．
11．（2020·黑龙江省朝鲜族学校中考真题）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是___个．
【答案】92
【解析】解：因为第1个图形中一共有个圆，
第2个图形中一共有个圆，
第3个图形中一共有个圆，
第4个图形中一共有个圆；
可得第个图形中圆的个数是；
所以第9个图形中圆的个数，
故答案为：92．
12．（2020·山西省中考真题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形按此规律摆下去，第个图案有_______个三角形（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】解：由图形可知：
第1个图案有3+1=4个三角形，
第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，
第3个图案有3×3+ 1=10个三角形，
...
第n个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形．
故答案为（3n+1）．
13．（2020·黑龙江省中考真题）下面各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，……，按此规律，第10个图中黑点的个数是________．
【答案】119
【解析】解：根据题意，
第1个图有2个黑点；
第2个图有7个黑点；
第3个图有14个黑点；
……
第n个图有个黑点；
∴当n=10时，有（个）；
故答案为：119．
14．（2020·广东省初三一模）如图图形都是由同样大小的正方形“□”按照一定规律排列的，其中图①中共有2个正方形，图②中共有4个正方形，图③中共有7个正方形，图④中共有12个正方形，图⑤中共有21个正方形，……，照此规律排列下去，则图⑩中正方形的个数为_____．
【答案】522
【解析】解：由图可得，
第①个图形中“□”的个数为：1+1＝2，
第②个图形中“□”的个数为：2+1×2＝4，
第③个图形中“□”的个数为：3+1×2×2＝7，
第④个图形中“□”的个数为：4+1×2×2×2＝12，
第⑤个图形中“□”的个数为：5+1×2×2×2×2＝21，
…，
则图⑩中正方形的个数为：10+1×29＝10+512＝522，
故答案为：522．
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