辽宁省辽阳市2022届高考数学二模试卷及答案

 高考数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合 ， ，则 （　　） 

A． B．

C． D．

2．下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（　　） 

A． B． C． D．

3．为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为（　　） 

A．40% B．50% C．60% D．65%

4．函数 的部分图象大致为（　　） 

A． B．

C． D．

5．在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ，且 ， ，则 与底面 所成角的正切值为（　　） 

A． B．3 C． D．

6．如图，已知 ， 两地相距600m，在 地听到炮弹爆炸声比在 地早1s，且声速为340m/s..以线段 的中点为坐标原点， 的方向为 轴的正方向建立平面直角坐标系 ，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（　　） 

A． B．

C． D．

7．设函数 ，则下列不是函数 极大值点的是（　　） 

A． B． C． D．

8．区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有 种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行 次运算.现在有一台计算机，每秒能进行 次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据 ， ）（　　） 

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知复数 ， ，则（　　） 

A．

B．

C．

D． 在复平面内对应的点位于第四象限

10．已知 ， ，且 ，则（　　） 

A． B．

C． D．

11．已知 ，函数 在 上单调递增，且对任意 ，都有 ，则 的取值可以为（　　） 

A．1 B． C． D．2

12．在正方体中，点E为线段上的动点，则（　　）

A．直线DE与直线AC所成角为定值

B．点E到直线AB的距离为定值

C．三棱锥的体积为定值

D．三棱锥外接球的体积为定值

三、填空题

13．若点 ， 分别圆 ： 与圆 ： 上一点，则 的最小值为　     　. 

14．某话剧社计划不在今年7月1日演出一部红色话剧，导演已经选好了该话剧的9个角色的演员，还有4个角色的演员待定，导演要从8名男话剧演员中选3名，从5名女话剧演员中选1名，则导演的不同选择共有　     　种.

15．已知向量 ， ， ，则 　     　. 

16．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为　     　.

四、解答题

17．在   中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ． 

（1）求C；

（2）若 ，求 ． 

18．① 为等差数列，且 ；② 为等比数列，且 .从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 

在数列 中， ，________.

（1）求 的通项公式； 

（2）已知 的前n项和为 ，试问是否存在正整数p，q，r，使得 ？若存在，求p，q，r的值；若不存在，说明理由. 

19．某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有、两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从、两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.、两类知识挑战成功分别可获得万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对、两类知识的挑战成功率分别为0.6、0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关.

（1）若记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；

（2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.

20．如图，在四棱锥 中， 是 的中点， 是等边三角形，底面 为菱形， ，

（1）若 ，证明：平面 平面 . 

（2）若二面角 的大小为 ，求二面角 的余弦值 

21．已知椭圆 ： 的左焦点为 ，上顶点为 .直线 与椭圆 交于另一点 ，且 ，点 在椭圆 上.

（1）求椭圆 的方程.

（2）过点 ，且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，作 ，垂足为 .是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，说明理由.

22．已知函数 ，曲线 在 处的切线与直线 垂直. 

（1）求 的值. 

（2）证明：当 时， . 

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】B

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】B,C,D

10．【答案】B,D

11．【答案】B,C,D

12．【答案】A,C

13．【答案】4

14．【答案】280

15．【答案】

16．【答案】82820

17．【答案】（1）解：因为 ， 

即 ，由正弦定理可得 ，

又 ，

即 ，

所以 ，

即 ，因为 ，所以 ，又 ，所以

（2）解：因为 ，所以 ， 

因为 ，所以 ，

所以

18．【答案】（1）解：若选①：

设等差数列 的公差为d，则 ，

∴ ，

即 ．

若选②：

设等比数列 的公比为q，则 ，

∴ ，

即 ；

（2）解： ， 

，

则两式相减得，

，

∴ ．

∵ ，

∴存在正整数p，q，r，使得 ，且 ， ， ．

19．【答案】（1）解：由题意可知，的可能取值有2000、20000、70000，

，，

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

（2）解：记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，

甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，

由题意可知，随机变量的可能取值有：2000、50000、70000，

则，，

，

所以，（元），

（元），

所以，，

所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战类知识.

20．【答案】（1）证明：因为四边形 为菱形， ，所以 是等边三角形. 

取 的中点 ，连接 ， ，则

因为 是等边三角形， ，所以

又 ，所以 ，即

又 ，所以 平面 .

因为 是 的中点，所以 ，所以 平面 ，

故平面 平面

（2）解：由题可知， 为二面角 的大小，即 ， 

以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .

则 ， ， ， ， ，

设平面 的一个法向量 ，则

令 ，得 .

由图可知，平面 的一个法向量为

故二面角 的余弦值为

21．【答案】（1）解：由题可知， ， ，设 ，则 ， ，

因为 ，所以 ，即 ，解得 ，

即点 的坐标为 ，则 ，整理得 .

因为点 在椭圆 上，所以

又 ，所以 ， ，

故椭圆 的方程为

（2）解：由题可知直线 的方程为 ，设点 ， ，则 .

联立方程组 整理得 ，

，则 ， ，

直线 的方程为 ，整理 .

又 ，

令 ，得 ，所以 恒过定点 ，

故在 中，存在定点 为斜边 的中点，使得 ，为定值.

22．【答案】（1）解：由题可知 ，则

因为曲线 在 处的切线与直线 垂直，所以 ，

解得 .

（2）证明：由（1）知，欲证当 时， ， 

即证当 时， ，

等价于 ， 恒成立；

设 ， ，则 ，

当 时， ， 单调递减，则 ，

即 ，则 时， ，所以 ；

令 ， ，其中

则 ， ，

令 ，则 ，令 ，得

当 时， ， 单调递减，

当 时， ， 单调递增，

因为 ，所以 ，所以 在 上恒成立，

则 在 上单调递增，所以 ，

综上所述， 时， ；

故当 时， .