辽宁省葫芦岛市2022届高三下学期数学第二次模拟考试试卷及答案

 高三下学期数学第二次模拟考试试卷

一、单选题

1．已知集合，，（　　）

A． B．

C． D．

2．设z=i(2+i)，则 =（　　）  

A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i

3．某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：

由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（　　）

A． B． C． D．

4．朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第二个音的频率为，第八个音的频率为.则（　　）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

6．若，则（　　）

A． B． C．-3 D．3

7．若过点可以作曲线的两条切线，则（　　）

A． B． C． D．

8．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（　　）

A． B． C．1 D．

二、多选题

9．已知某厂生产一种产品的质量指标值X服从正态分布，则从该厂随机抽取的10000件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有（　　）

参考数据：，，，，.

A．1586件 B．1588件 C．156件 D．158件

10．设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（　　）

A．0 B．1 C．99 D．100

11．已知，，则下列不等式成立的是（　　）

A． B．

C． D．

12．已知，将向量绕原点O逆时针旋转到的位置，M，N为平面内两点，使得，，，则下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．已知函数是奇函数，则　     　.

14．能够说明“设 是任意实数,若 ,则 ”是假命题的一组整数 的值依次为　          　.  

15．展开式中的系数为　     　．

16．设函数（且）满足以下条件：①，满足；②，使得；③，则　            　.关于x的不等式的最小正整数解为　     　.

四、解答题

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求C；

（2）若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.

18．如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，为等腰直角三角形，且，，.

（1）求；

（2）求二面角的余弦值.

19．2022年初，新冠疫情在辽宁葫芦岛市爆发，市某慈善机构为筹措抗疫资金，在民政部门允许下开设“疫情无情人有情”线上抽奖活动，任何人都可以通过捐款的方式参加线上抽奖.在线上捐款后，屏幕上会弹山抽奖按钮，每次按下按钮后将会随机等可能的出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字中的一个.规定：若出现“利”字，则抽奖结束.否则重复以上操作，最多按4次.获奖规则如下：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，获一等奖；不按顺序出现这四个字，获二等奖；出现“抗”“疫”“胜”三个字为三等奖.

（1）求获得一､二､三等奖的概率；

（2）设按下按钮次数为，求的分布列和数学期望.

20．已知数列是等差数列，且，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列通项公式为，求的前100项和.

21．已知椭圆C：的左右顶点分别为A，B，坐标原点O与A点关于直线l：对称，l与椭圆第二象限的交点为C，且.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过A，O两点的圆Q与l交于M，N两点，直线BM，BN分别交椭圆C于异于B的E，F两点.求证：直线EF恒过定点.

22．已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）设函数在处的切线与x轴平行，若有一个绝对值不大于4的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于4.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】B

8．【答案】A

9．【答案】A,B

10．【答案】B,C

11．【答案】A,B

12．【答案】A,B,C

13．【答案】1

14．【答案】-1.-2，-3

15．【答案】30

16．【答案】；2

17．【答案】（1）解：由正弦定理得：，

即，

所以，

因为，

所以，

（2）解：由面积公式得：，解得：，

在三角形BCD中，由余弦定理得：，

因为，当且仅当时，等号成立，经检验，符合要求.

所以，故，

所以BD的最小值为4.

18．【答案】（1）解：取的中点为，连接，如图所示

因为为等腰直角三角形，，是的中点，

所以，，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，过点，作交于，

因为底面是矩形，是的中点，所以是的中点，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

设，因为，所以，

所以，

则，

因为，，解得，所以.

即.

（2）解：由（1）知.

则，，

设为平面的一个法向量，则

，即，

令，则，，

设为平面的一个法向量，则

，即，

令，则，，

设二面角所成角为，则

.

所以二面角的余弦值为.

19．【答案】（1）解：一等奖：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，每个字出现概率均为，

所以概率为，

二等奖：最后一个字为“利”字，前面三个字“抗”“疫”“胜”，不能按顺序出现，

故概率为，

三等奖：“抗”“疫”“胜”三个字有一个字出现了两次，

故概率为

（2）解：的可能取值为1，2，3，4

其中，，，，

分布列为：

数学期望为

20．【答案】（1）解：设数列的首项为，公差为，

则，，

，

因为，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项，

所以，解得：，

所以的通项公式为：，、

因为，又是公比为2的等比数列，

所以的通项公式为：；

（2）解：，

21．【答案】（1）解：点O与A关于直线对称，

可知，故点，，

由题意可设，，

于是，解得：，

将代入椭圆方程中，，解得：，

所以椭圆方程为

（2）证明：，，直线l：，

由题意得：圆心在直线l：上，设，

且，

所以，故，

则，

设直线EF：，，

由，得：，

则，

，，

所以，

则

，

即，解得：（舍去）或，

所以直线EF为：，恒过定点

22．【答案】（1）解：当时，，定义域为R，

所以，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）解：，

，

因为在处的切线与x轴平行，

所以，解得：，

设的一个零点为，且，

，

所以，

对于，

，

当时，，单调递增，

当或，，单调递减，

由于，，，，

所以，

设除外任一个零点为，

则，

由于，

所以，

即，

整理得：，解得：

所以，命题得证.