人教版八年级上册11.2.2 三角形的外角精品精练

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专训11.1.2 三角形外角和问题一、单选题1．如图，直线，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．2．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，是的外角．求证：．下列说法正确的是（    ）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择：【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．3．如图，若直线，直线分别与、相交，则有（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用平行线的性质以及邻补角的关系求得∠5=180°-∠4=180°-∠3，再利用三角形的外角性质即可求解．【详解】解：∵a//b，∴∠4=∠3，∴∠5=180°-∠4=180°-∠3，∵∠2=∠1+∠5，∴∠2=∠1+∠180°-∠3，∴∠2+∠3-∠1+180°．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质三角形的外角性质，解题的关键是掌握：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．4．一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）A．80° B．95° C．100° D．110°【答案】B【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，∴∠3=∠4=35°，∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．  二、填空题5．如图，把ABC纸片沿DE折叠，使点B落在图中的B处，设EC1，DA2若25，则21=______
 【答案】50【分析】由折叠性质求得，由三角形的外角性质，用表示 ，进而求得．【详解】解：，，
 ，，，故答案为50．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，折叠的性质，关键是根据三角形的外角的性质表示出与的关系式．6．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．【答案】52°【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．【详解】解：、分别平分、，，，，，即，，，、分别平分、，，，，，∴，∴，、分别平分、，，，∴，，故答案为：52°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．如图，△ABC中内角∠ABC、外角∠ACE的角平分线交于点P，则∠A与∠P之间的数量关系是__．
 【答案】【分析】先根据三角形的外角性质得到，再根据角平分线的定义解答即可．【详解】解：∵是的一个外角，∴，∵是的角平分线，∴，∵是的角平分线，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．8．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．请写出∠C、∠D、∠P的数量关系____________．【答案】2∠P＝∠D+∠C【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义得到∠CAD+∠P＝∠CBD+∠C，∠CAD+∠D＝∠CBD+∠P，两式相减整理即可．【详解】解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C，∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，∴∠PAC=∠PAD＝∠CAD，∠PBC=∠PBD＝∠CBD，∴∠CAD+∠P＝∠CBD+∠C①，∵∠DEP＝∠PAD+∠D，∠DEP＝∠EBP+∠P，∴∠CAD+∠D＝∠CBD+∠P②，①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，整理得，2∠P＝∠D+∠C，故答案为：2∠P＝∠D+∠C．【点睛】本题考查角平分线定义，三角形外角性质，以及等式的性质，掌握角平分线定义，三角形外角性质，以及等式的性质是解题关键．9．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB，∠ACB＝75°，∠ECD＝45°，则∠A的度数为___．
【答案】60°【分析】根据∠ACB=75°，∠ ECD=45°可求得∠ACE的度数，再利用两直线平行，内错角相等的性质即可求解；【详解】∵∠ACB=75°，∠ ECD=45°∴ ∠ACE=180°-75°-45°=60°，又∵ CE∥AB，∴∠A=∠ACE=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确掌握知识点是解题的关键．10．如图一副直角三角板如图放置，，，则求____________．
 【答案】75°【分析】先根据平行线的性质，可得∠BAF=∠F=45°，再利用三角形外角的性质，即可得到答案．【详解】解：∵，∴∠BAF=∠F=45°，∴∠1=∠B+∠BAF=30°+45°=75°．故答案是：75°．【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质，是解题的关键．11．如图，____________．【答案】【分析】根据三角形外角的性质可得∠BAC=∠C+∠E，∠DAE=∠B+∠D，根据平角的定义即可得答案．【详解】∵∠BAC和∠DAE分别是△ACE和△ABD的外角，∴∠BAC=∠C+∠E，∠DAE=∠B+∠D，∴∠CAD+∠BAC+∠DAE=180°，故答案为：180°【点睛】本题考查三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟练掌握外角性质是解题关键．12．将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则_______．【答案】【分析】先根据等腰直角三角形，求出∠DAE，再求出∠FAE，利用三角形外角性质即可求解．【详解】解：∵△ADE为等腰直角三角形，∴∠DAE=∠E=45°，又∵∠CAB=30°，∴∠FAE=∠DAE-∠CAB=45°-30°=15°，∴∠BFE=∠E+∠FAE=45°+15°=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查三角板形成的角，等腰直角三角形性质，角的和差，三角形外角性质，掌握三角板形成的角，等腰直角三角形性质，角的和差，三角形外角性质是解题关键．13．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少    10    【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．14．如图，于C，E是上一点，,平分平分，则：与之间的数最关系为______．【答案】2∠H+∠ACF=180°【分析】延长EC，交DH于K，根据三角形外角的性质，平行线的性质即可得到90°+∠ACE=45°+∠ACE+∠H，从而求得∠ACE，进而即可求得∠H与∠ACF之间的数量关系．【详解】解：延长EC，交DH于K，∵∠EKD=∠HEC+∠H，∠ECD=∠EKD+∠HDC，∴∠ECD=∠HEC+∠HDC+∠H，∵DF∥AB，∴∠B=∠BDG，∵EH平分∠BEC，DH平分∠BDG，∴∠HEC=∠BEC，∠HDC=∠B，∵∠BEC=∠A+∠ACE，∴∠HEC=∠A+∠ACE，∴∠ECD=∠A+∠ACE+∠B+∠H，∵AC⊥BD，∴∠A+∠B=90°，∴∠ECD=45°+∠ACE+∠H，∵AC⊥BD，∴∠ECD=90°+∠ACE，∴90°+∠ACE=45°+∠ACE+∠H，∴90°+∠ACE=2∠H，∴90°+（90°-∠ACF）=2∠H，即2∠H+∠ACF=180°，故答案为：2∠H+∠ACF=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形外角的性质，是基础题．15．已知，，将一副三角板按照如图方式摆放在平行线之间，且线段BC落在直线MN上，线段DE落在直线PQ上，其中，，CO平分，EO平分，两条角平分线相交与点O，则________．【答案】52.5【分析】延长CO交PQ于点F，根据∠COE=∠CFE+∠OEF，结合平行线的性质，角的平分线的定义计算；【详解】延长CO交PQ于点F，则∠COE=∠CFE+∠OEF，∵，，CO平分，EO平分，∴∠BCF=30°，∠OEF=22.5°，∵，∴∠BCF=∠CFE，∴∠COE=30°+22.5°=52.5°，故答案为：52.5°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，三角形外角定理，延长构造三角形外角，活用平行线的性质是解题的关键．三、解答题16．已知中，于点，平分，过点作直线，且，．（1）求的外角的度数；（2）求的度数．【答案】（1）100°；（2）10°【分析】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE=40°，根据平行线的性质求出∠GAD=90°，结合图形计算，得到答案．【详解】解：（1）∵GH∥BC，∠C=40°，∴∠HAC=∠C=40°，∵∠FAH=∠GAB=60°，∴∠CAF=∠HAC+∠FAH=100°；（2）∵∠HAC=40°，∠GAB=60°，∴∠BAC=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°，∵GH∥BC，AD⊥BC，∴∠GAD=90°，∴∠BAD=90°-60°=30°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键．17．已知． （1）若，求的度数．（2）若，求证：．【答案】（1）50°；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A+∠1+∠EBD=180°，代入求解即可；（2）根据平行线的性质得到∠3=∠EBD，根据三角形外角的性质和已知可推出∠1=∠DEB，即可证明ED∥AC．【详解】（1）解：，，，，；（2）证明：，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质的应用，能正确利用定理进行推理是解此题的关键．18．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O．（1）若，，，求的度数；（2）试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性．【答案】（1）30°；（2）∠BOC=∠A+∠B+∠C，证明见解析．【分析】（1）先利用三角形的外角性质求出∠BDO=90°，再利用三角形内角和定理即可求得∠B的度数；（2）用三角形外角的性质，表示出∠BOC，∠BEC，等量代换最后得出结论．【详解】解：，，；，；．理由：，，．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题关键是灵活应用三角形外角的性质．19．如图，已知射线CB∥DA，∠C＝∠DAB＝120°，E，F在射线CB上，且满足DB平分∠ADF，DE平分∠CDF．（1）求证：CD∥BA；（2）若左右平移AB，则∠DEC﹣∠DBF和∠DEC+∠DBA的值是否会改变，若不变，求出它们的值，若改变，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解析；（2）不变，∠DEC﹣∠DBF=30°，∠DEC+∠DBA=90°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可证明；
（2）先根据平行线的性质可得出∠DBF＝∠ADB，再利用角平分线的性质得出∠DEC﹣∠DBF＝∠EDB，从而得出答案．【详解】解：（1）∵CB∥DA，∠C＝∠DAB＝120°，∴∠CDA＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∴CD∥BA；（2）不变，理由如下：∵CB∥DA，∴∠DBF＝∠ADB，∵DB平分∠ADF，∴∠FDB＝∠ADB，∴∠FDB＝∠ADB＝∠DBF，∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠EDB＝∠FDE+∠FDB＝∠CDA＝×60°＝30°；∴∠DEC﹣∠DBF＝∠EDB＝30°；∵∠DBA＝∠ABC﹣∠DBF，∴∠DEC+∠DBA＝∠DEC+60°﹣∠DBF＝30°+60°＝90°．∴∠DEC﹣∠DBF和∠DEC+∠DBA的值不变，分别是30°和90°．【点睛】本题考查了平行线、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．20．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，，则__________；②如图3，__________；（2）拓展应用：①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入计算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入计算即可；③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）计算可得；④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论．【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A）=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-10°=110°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）=142°；④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，联立得：∠B-∠C+2∠D=0．【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．