2021学年13.1.2 线段的垂直平分线的性质精品课时训练

这是一份2021学年13.1.2 线段的垂直平分线的性质精品课时训练，文件包含专训1312线段垂直平分线的应用+尺规作图-2022-2023学年八年级上册考点专训解析版人教版docx、专训1312线段垂直平分线的应用+尺规作图-2022-2023学年八年级上册考点专训原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

专训13.1.2 线段垂直平分线的应用+尺规作图
一、单选题
1．如图，有、、三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）

A．的三条中线的交点处
B．三边的垂直平分线的交点处
C．三条角平分线的交点处
D．三条高所在直线的交点处
【答案】B
【分析】
根据垂直平分线的性质判断即可．
【详解】
解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则接种点应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个居民点的距离相等，再满足到另两个居民点的距离相等，交点即可得到．
2．如图，在中，，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据三角形内角和求出的度数，然后根据垂直平分线的性质求出的度数，然后利用两角差求解即可．
【详解】
∵，，
．
由作图可知，所作的直线为BC的垂直平分线，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和垂直平分线的性质，能够判断所作直线为垂直平分线是关键．
3．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】
根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，从而可确定答案．
【详解】
因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是关键．
4．如图，，，点在线段的垂直平分线上，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到，，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC三边的垂直平分线的交点
B．△ABC的三条中线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】A
【分析】
由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是△ABC三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三边的垂直平分线的交点．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
6．在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】
为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】
解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
7．观察下列作图痕迹，中，为边上的中线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
中线的定义为：对应顶点到对边中点的连线，所以需要首先找到AB的中点，利用的是线段垂直平分线的做法．
【详解】
解：A选项：CD为AB边上的垂线，故错误；
B选项：D点为线段AB与其垂直平分线的交点，所以D点为AB边的中点，所以CD为AB边上的中线，故正确；
C选项：CD为∠ACB的角平分线，故错误；
D选项：画图错误，不属于三角形中的三线，故错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考察的是三角形中线段的画法，掌握尺规作图的方法是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线BP恰好经过点D，则∠A的大小是（　　）

A．30° B．32° C．36° D．42°
【答案】B
【分析】
根据题中作图知：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由题意得：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∵DM垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=，∠C＝84°，
∴∠A=，
故选：B．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据题意得到DM垂直平分AB，BD平分∠ABC是解题的关键．
9．如图，表示两条公路，表示两个仓库，试找出点，使点到两公路的距离相等且到两个仓库的距离也相等，则点为（ ）

A．的垂直平分线与的交点
B．的垂直平分线与的交点
C．的垂直平分线与夹角的平分线的交点
D．以上都不对
【答案】C
【分析】
在一个角中，角平分线到角两边距离相等，而对于一条线段，只有垂直平分线上的点到线段两端的距离最短．
【详解】
A. 的垂直平分线与的交点， 到点EF的距离相等， 故A不符合题意．
B. 的垂直平分线与的交点，到点EF的距离相等， 故B不符合题意．
C. 可把 AB ，CD 当成两条边，要使距离相等，则只有角平分线到角两边的距离相等，而到 EF 则只有垂直平分线上的点到线段两端距离最短，所以要使到角两边与一线段的距离相等的点，则只能是其角平分线与垂直平分线的交点，符合题意．
D.因C选项正确，故不符合题意．
故选： C .
【点睛】
本题考查了垂直平分线及角平分线的逆用；要熟练掌握三角形的性质，理解掌握角平分线垂直平分线的含义及性质．
10．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（　　）

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】C
【分析】
利用垂直平分线的性质即可判断．
【详解】
如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C处，
故选：C．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的实际应用，理解中垂线的性质是解题关键．
11．如图所示，在四边形ABCD中，，AC=1，，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（ ）

A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】
要求PC+PD的值最小，当PC、PD在一条这线上值最小，根据垂直平分线定理可以把PD转化为PA，可得知A、P、C在一条直线上值最小，即最小值为AC的长．
【详解】
连接PA，
∵直线MN为线段AD的垂直平分线，
∴，
∴，
当P在AC上时，最小，即，
∴最小值为1，
故选：A．

【点睛】
本题主要考查的是垂直平分线定理的运用，以及动点问题，熟练掌握垂直平分线的性质以及四边形动点问题的转化是解决本题的关键．
12．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使得PA+PC=BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质作出AC的垂直平分线进而得出答案．
【详解】
解：用尺规在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，如图所示：


先做出AB的垂直平分线，即可得出AP=PB，即可得出PA+PC=PB+PC=BC．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
13．如图，已知△ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB＋PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用PB+PC=AB，PB+PA=AB，得到PC=PA，根据线段垂直平分线的判定定理，得到点P在线段AC的垂直平分线上，由此可知选项C符合题意．
【详解】
解：∵点P在AB上，∴PB+PA=AB，
又∵PB+PC=AB，∴PC=PA，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
且线段AC的垂直平分线交AB于点P．
∴选项C符合要求，
故选：C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，结合几何图形的基本性质把AB拆成PA与PB之和进而得到PC=PA是解决本题的关键．
14．如图，一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD，则一定有（　　）

A．PA＝PC B．PA＝PQ C．PQ＝PC D．∠QPC＝90°
【答案】C
【分析】
利用基本作法，作了线段CQ的垂直平分线，则根据线段垂直平分线的性质可对各选项进行判断．
【详解】
由作法得AD垂直平分CQ，
所以PQ＝PC．
故选C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
15．如图，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则MAN的周长为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．13
【答案】C
【分析】
根据题意由作图可知，DE垂直平分线段AB，PQ垂直平分线段AC，推出MA＝MB，NA＝NC即可解决问题．
【详解】
解：由作图可知，DE垂直平分线段AB，PQ垂直平分线段AC，
∴MA＝MB，NA＝NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．
故选：C．
【点睛】
本题考查基本作图，解题的关键是理解题意并灵活运用垂直平分线段性质解决问题．
16．观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，点D即为线段AB的中点，连接CD即可判断．
【详解】
解：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，
∴点D即为线段AB的中点，
∴CD为△ABC的边AB上的中线．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形一边的中线的作法；作该边的中垂线，找出该边的中点是解题关键．
17．已知：．求作：一点，使点到三个顶点的距离相等．小明的作法是：（1）作的平分线；（2）作边的垂直平分线；（3）直线与射线交于．点即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作的平分线；（2）作的平分线；（3）射线与射线交于点．点即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法，下列说法正确的是（ ）

A．小明对，小丽不对 B．小丽对，小明不对 C．两人都对 D．两人都不对
【答案】D
【分析】
根据三角形外心的定义对小明和小丽的作法逐项作出判断即可.
【详解】
∵点到三个顶点的距离相等，
∴点O应是三角形两边垂直平分线的交点，
∴小明和小丽的作法都不对；
故选：D.
【点睛】
本题考查了作与-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．


二、填空题
18．如图，已知线段长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点，；②过，两点作直线，与线段相交于点．则的长为______．

【答案】2
【分析】
根据作图得出是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，

，，
是线段的垂直平分线，
．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了作图基本作图以及线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线作法是解答此题的关键．
19．如图，在中，，，，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为________．

【答案】18
【分析】
因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．
【详解】
解：如图，

∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，
∵AP+CP=AP+BP=AB=12，
∴△ACP的周长最小值=AC+AB=18，
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
20．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，则的周长是_____________．

【答案】16
【分析】
由在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD与AB的长，继而求得答案．
【详解】
解：∵边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，
∴AD＝BD＝5cm，AB＝2AE＝2×3＝6（cm），
∴△ABD的周长是：AD+BD+AB＝5+5+6＝16（cm）．
故答案为16．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，点为的平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于，两点，为中点，过作的垂线交于点，，则____ ．

【答案】．
【分析】
过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据线段垂直平分线性质求出BD＝CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF＝50°，由四边形内角和定理即可得出答案．
【详解】
解：如图：

过作于，于，
则，
平分，
，
为中点，，
，
在和中，，
，
，
．
，
；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．
22．如图，在平行四边形中，连接，按以下步骤作图：分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，作直线交于点，交于点．若，则的周长为________．

【答案】14
【分析】
先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，再由作法可知直线MN是线段AC的垂直平分线，故可得出AE=CE，即AE+DE=CD，据此可得出结论．
【详解】
由题意可知，是的中垂线，
∴，
又∵平行四边形，
∴，
∴，





∴的周长是14．
【点睛】
本题考查作图，熟知线段垂直平分线的作法解答的此题的关键．

三、解答题
23．电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的电网必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置，从图中标出．（保留作图痕迹，说明理由）

【答案】见解析
【分析】
作出AB的垂直平分线，它上面的点到A，B的距离相等，再作出∠MON或其邻补角∠QON的平分线，它上面的点到m，n的距离相等，即可得出它们的交点P就是所求的发射塔应修建的位置．
【详解】
解：如图，作AB的垂直平分线与∠MON或∠QON的平分线，交点P1，P2即为所求发射塔应修建的位置．

【点睛】
本题主要考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是运用垂直平分线和角平分线的作法来确定点P的位置．
24．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条髙速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．

【答案】见解析．
【分析】
根据题意，电视信号发射塔既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．利用角平分线的性质以及作法和线段垂直平分线的作法与性质分别得出即可．
【详解】
根据题意，电视信号发射塔既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．
如图所示：点P就是发射塔修建的位置．

【点睛】
本题考查了作图与角平分线以及垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线以及垂直平分线的性质并且能根据题意作图．
25．如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】
作出线段AB的垂直平分线即可．
【详解】
解：如图所示，点即为所求．

【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图．
26．如图所示，村庄，分别在笔直公路的两侧．一辆汽车在公路上行驶，汽车在什么位置时到，两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由．

【答案】位置见解析，理由见解析
【分析】
结合题意，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等的性质分析，即可得到答案．
【详解】
如图，连接，作线段的垂直平分线，且交公路与点，点即为所求，

理由：∵点C是线段AB垂直平分线上的点，
∴CA=CB．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，从而完成求解．
27．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC的顶点都在方格纸格点上．

（1）将ABC经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，补全；
（2）若连接，，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）画出AC边上的高线BD；
（4）画出ABC中AC边上的中线BE；
（5）BCE的面积为　　　　．
【答案】（1）作图见解析；（2）平行且相等；（3）作图见解析；（4）作图见解析；（5）4
【分析】
（1）根据平移的性质作图，即可得到答案；
（2）连接，，结合（1）的结论，根据平移的性质分析，即可得到答案；
（3）以点为圆心作圆弧，与分别相交于点、；根据垂直平分线的性质，分别以点、为圆心，大于为半径作圆弧，相交于点；连接并交于点，连接，即可得到答案；
（4）根据垂直平分线的性质，分别以点、为圆心，大于为半径作圆弧，分别相交于点、，连接；直线与相交于点，点即为中点，从而完成求解；
（5）结合（4）的结论，根据中线的性质，得，通过计算，即可得到答案．
【详解】
（1）结合题意，根据平移的性质作图如下：

（2）如图，连接，

根据（1）的结论，得，且
根据平移的性质，沿平移得
∴，这两条线段之间的关系是平行且相等
故答案为：平行且相等；
（3）以点为圆心作圆弧，与分别相交于点、；
分别以点、为圆心，大于为半径作圆弧，相交于点；连接并交于点，连接，线段即为AC边上的高；

（4）分别以点、为圆心，大于为半径作圆弧，分别相交于点、，连接；
直线与相交于点；连接，即为所求；

（5）根据（4）的结论，得
∵
∴
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了平移、垂直平分线、三角形中线的知识；解题的关键是熟练掌握平移、垂直平分线、三角形中线的性质，从而完成求解．
28．如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：EB平分∠ABC．
（3）求证：AE=EF．

【答案】见解析
【分析】
（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；
（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；
（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90-∠ABE =60再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．
【详解】
（1）如图，即为所求；

（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴AE=BE
∵∠A=30，∠ACB=90
∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30
∴∠EBC=∠ABE
∴EB平分∠ABC．
（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠DEB=90-∠ABE =60
∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30
∴∠EFB=∠EBC
∴BE=EF
又∵AE= BE
∴AE=EF
【点睛】
本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．
29．作图：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，作出的中线AD；
（2）如图2，作出的角平分线BE；
（3）如图3，作出的高CM．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）分别以为圆心，大于的一半为半径画弧，得到两弧的交点，过这两弧的交点作直线与交于点 连接 即可得到答案；
（2）以为圆心，任意长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，再以为端点，过两弧的交点作直线，与交于点 即可得到答案；
（3）以为圆心，大于到的距离为半径画弧，得到弧与直线的两个交点，再以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的一个交点，过与这两弧的交点画直线，交直线于 从而可得答案．
【详解】
解：（1）如图1：

线段即为所求作的作出的中线．
（2）如图2：

线段即为所求作的作出的角平分线．
（3）如图3：

线段即为所求作的作出的高．
【点睛】
本题考查的是三角形的中线，角平分线，高的尺规作图，掌握作线段的垂直平分线，角平分线的作图是解题的关键．
30．北师版初中数学教科书八年级上册第57页告诉了我们利用尺规作一个角的角平分线的方法：已知：如图，钝角．

求作：的角平分线．
作法：①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA于点D，交OB于点E；
②分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的角平分线．
（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）
（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：
由①可得：；
由②可得：______；
由③可知：；
∴____________（依据_____）．
∴可得（全等三角形对应角相等）
即OC就是所求作的的角平分线．
（3）如图2，点O处是一个老鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正沿着BO向洞口逃窜．若猫以与老鼠相同的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置M．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）见解析；（2）CD＝CE；OCD，OCE，SSS；（3）见解析
【分析】
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到OD＝OE，CD＝CE，加上OC＝OC，则可根据“SSS”判断OCD≌OCE，于是得到∠COD＝∠COE．
（3）连接AB．做AB的垂直平分线，则垂直平分线与BO的连接处为M，因为速度一样，所以AM的距离等于BM的距离，所以三角形AMB为等腰三角形．因此，AB的垂直平分线必经过M点．
【详解】
解：（1）如图，OC为所作；

（2）由①可得：OD＝OE；
由②可得：CD＝CE；
由③可知：OC＝OC；
∴OCD≌OCE（SSS），
∴∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为：CD＝CE；OCD，OCE，SSS；
（3）连接AB．作AB的垂直平分线，则垂直平分线与BO的连接处为M，
因为速度一样，所以AM的距离等于BM的距离，所以三角形AMB为等腰三角形．
因此，AB的垂直平分线必经过M点．

【点睛】
本题为三角形综合题，主要考查了角平行线、三角形全等和中垂线的性质以及基本作图，解题的关键是画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
31．如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论）

【答案】见解析图
【分析】
分别作∠AOB的角平分线以及线段EF的中垂线，两条线的交点即为所求．
【详解】
如图所示，先作出∠AOB的角平分线OQ，根据角平分线的性质可知，在OQ上的所有点均满足到OA、OB的距离相等，
再作线段EF的中垂线MN，根据中垂线的性质可知，MN上的所有点均满足到E，F的距离相等，
此时OQ与MN 交点，既满足到OA、OB的距离相等，也满足到E，F的距离相等，即为所求的点P．

【点睛】
本题考查角平分线及垂直平分线的画法及实际应用，理解它们的性质是解题关键．
32．已知，如图，；

（1）请在上作出点，使（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求出的周长．
【答案】（1）见解析；（2）20．
【分析】
（1）作AB的垂直平分线交BC于点D，故可得DA=DB；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，结合题目条件可求出结论．
【详解】
解：（1）如图所示，

（2）由（1）知，DA=DB，
∵
∴的周长=AD+DC+AC=BC+AC=12+8=20．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
33．如图，在中，的垂直平分线交于D，交于M，E为的中点，，．猜想线段与线段之间的数量关系，并说明理由．

【答案】BD=AC．理由见解析
【分析】
求出AE⊥DC，根据线段垂直平分线性质得出AD=AC，BD=AD，即可得出答案．
【详解】
BD=AC．
证明：连接AD，

∵∠CAE=25°，∠ACB=65°，
∴∠AED=∠CAE+∠ACB=90°，
即AE⊥DC，
∵点E为CD中点，
∴AD=AC，
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴BD=AC．
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，线段垂直平分线的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
34．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；
（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．

【答案】（1）100°；（2）20°，推导见解析；（3）20
【分析】
（1）由题意直接根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）由题意根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；
（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；
（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；
（3）∵△DAF的周长为20，
∴DA+DF+FA＝20，
由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
35．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边的中点．
（1）过点D作直线DE⊥BC，交线段AB于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CE，求证：AE＝CE．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据角平分线的作图方法即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图所示，直线DE即为所求；

（2）∵点D为BC边的中点，DE⊥BC，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AE＝CE．
【点睛】
本题考查了作图——基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，正确的作出图形是解题的关键．
36．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）2
【分析】
（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
【详解】
（1）证明：连接、，
点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．

【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．