初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形精品课时练习

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专训13.3.1.1 应用等边对等角的计算+证明
一、单选题
1．如图，中，，是边的垂直平分线，分别交、于点、，连接，若恰好为的平分线，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设出∠B的度数，然后利用垂直平分线和角平分线的性质表示出∠BAC和∠C的度数，利用三角形内角和定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设∠B=x°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠DAB=∠B=x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2x°，
∵BA=BC，
∴∠C=∠BAC=2x°，
在△ABC中，根据三角形的内角和定理得：x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠B=36°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是设出未知数并列出方程求解．
2．如图，在△ABE中，∠E＝25°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC，若AB＝AC，那么∠BAE的度数是（ ）

A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】B
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到CA＝CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠E，根据三角形的外角的性质得到∠ACB＝2∠E，进而即可求解．
【详解】
解：∵MN是AE的垂直平分线，
∴CA＝CE，
∴∠CAE＝∠E=25°，
∴∠ACB＝2∠E＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝50°，
∴∠BAC=180°-50°-50°=80°，
∴∠BAE=80°+25°=105°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAC＝5∠BAE，则∠C的度数为（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】
设∠BAE＝x°，则∠BAC＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠EAC，求出∠C＝4x°，根据直角三角形的性质得出∠C＋∠BAC＝90°，求出x即可．
【详解】
解：设∠BAE＝x°，则∠BAC＝5x°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC＝5x°−x°＝4x°，
∵∠B＝90°，
∴∠C＋∠BAC＝90°，
∴4x＋5x＝90，
解得：x＝10，
即∠C＝40°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线一点，点E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，则∠ACF的度数是（ ）

A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B
【分析】
由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE=∠BCF=15°，即可求解．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=15°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）
∴∠BAE=∠BCF=15°，
∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=60°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明Rt△ABE≌Rt△CBF是本题的关键．
5．如图，若，则下列结论中不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据翻三角形全等的性质一一判断即可．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AD=AB，AE=AC，BC=DE，∠ABC=∠ADE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB，
∴∠CDE=180°-∠ADB-ADE，
∵∠ABD=∠ADE，
∴∠BAD=∠CDE
故B、C、D选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考了三角形全等的性质，解题的关键是三角形全等的性质．
6．如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．以下结论：①PA＝PC；②∠BPC＝90°＋∠BAC；③∠ABP＋∠BCP＋∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠ABC．一定正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，根据线段垂直平分线的判定定理、等腰三角形的性质逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝PC，
故①正确；
∵PA＝PB，PA＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，
∵∠BPC＝∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC＝2∠BAC，
故②错误；
同理：∠APC＝2∠ABC，
故④正确；
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵∠BPC+∠PCB+∠PBC＝180°，
∴2∠BAC+2∠PCB＝180°，
∴∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°，
故③正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质等知识，根据线段垂直平分线性质证明PA＝PB＝PC是解题关键．
7．如图，为的中线，将沿着翻折得到，点B的对应点为E，与相交于点F，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据翻折的性质进行分析即可；
【详解】
由翻折可知，，
∵为的中线，
∴D是BC的中点，
∴，
∴，
∴，
故一定正确的选C．
【点睛】
本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，准确分析判断是解题的关键．


二、填空题
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心、以BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为________；

【答案】109°
【分析】
根据直角三角形两锐角的关系求出∠B，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BCD，最后根据三角形外角的性质即可求出∠ADC．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=52°，
∴∠B=90°-∠A=90°-52°=38°，
∵BC=BD，∠BCD+∠BDC+∠B=180°，
∴∠BCD=∠BDC=（180°-∠B）=（180°-38°）=71°，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=71°+38°=109°，
故答案为：109°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质求出∠BCD是解决问题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠ABD＝_______°．

【答案】32.5
【分析】
由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的定义即可求解．
【详解】
解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=65°，
又BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=32.5°．
故答案为：32.5．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义；正确的识别图形是解题的关键．
10．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为______．

【答案】65°
【分析】
根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线的性质得出FA＝FD，推出∠FDA＝∠FAD，根据三角形的外角性质得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入求出即可．
【详解】
解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能求出∠FDA＝∠FAD是解此题的关键．
11．如图，等腰中，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的度数是______．

【答案】60°
【分析】
由于AB=AC，∠B=40°，根据等边对等角可以得到∠C=40°，又AC边的垂直平分线交BC于点E，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=CE，再根据等边对等角得到∠C=40°=∠CAE，再根据三角形的内角和求出∠BAC即可求出∠BAE的度数．
【详解】
解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C=40°，
∴∠BAE=∠BAE-∠CAE=60°．
故答案为：60°
【点睛】
此题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．若∠CAE=42°，则∠B的度数是_________．

【答案】24°
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得出AE=BE，再利用直角三角形的性质求解．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠ADE=90°，
∴∠EAB=∠B．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠CAE+∠EAB+∠B=90°．
∵∠CAE=42°，
∴2∠B=90°-42°=48°
∴∠B=24°．
故答案为：24°．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质及直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线的定义和直角三角形的性质是解决本题的关键．
13．如图，是正五边形的一条对角线，以为圆心，为半径画弧交于点，连接，则__________．

【答案】72
【分析】
先根据正多边形求得一个内角，根据求得，由题意，即可求得
【详解】
五边形是正五边形
，
，




故答案为：
【点睛】
本题考查了正多边形的性质，正多边形的内角和，等腰三角形的性质，熟练以上知识点是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，点D为AB边上一点且不与A、B重合，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．若∠A＝40°，当△DEF为等腰三角形时，∠ACD＝__________________．

【答案】30°或15°或60°
【分析】
若△DEF为等腰三角形，分EF=DF，ED=EF，DE=EF三种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解．
【详解】
解：由翻折的性质可知∠E=∠A=α，∠CDE=∠ADC，
如图1，

当EF=DF时，则∠EDF=∠E=α，
∵∠EDF=∠CDE-∠CDB，∠CDB=∠A+∠ACD，
∴α=∠ADC-（∠A+∠ACD）
=180°-2（∠A+∠ACD）
=180°-2（α+∠ACD），
∴∠ACD=90°-×40°=30°，
∴当∠ACD=30°时，△DEF为等腰三角形，
当ED=EF时，∠EDF=∠EFD==70°，
∴2∠ADC=180°+∠EDF=250°，
∴∠ADC=125°，
∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-∠A-125°=15°，
∵∠DFE=∠A+∠ACF，
∴∠DFE≠∠DEF，
如图2，

当DE=EF时，∠EDF=∠EFD=∠A=20°；
∴∠ACF=180°-∠A-∠EFD=120°，
∴∠ACD=∠ACF=60°；
综上：当∠ACD=30°或15°或60°时，△DEF为等腰三角形，
故答案为：30°或15°或60°．
【点睛】
本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和定理．
15．如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________．

【答案】
【分析】
如图，连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得，，并由平行线的性质可推出，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】
解：如图，连接

∵点B关于直线CD的对称点为，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．如图，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DFE＝90°，AB＝AC，FD＝FE，△DEF的顶点E在边BC上移动，在移动过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q，当E为BC中点，连接AE、PQ，若AP＝3，AQ＝4，PQ＝5，则AC的长＝________．

【答案】12
【分析】
在CQ上截取CH，使得CH=AP，连接EH，证明△CHE≌△APE（SAS），由全等三角形的性质得出HE=PE，∠CEH=∠AEP，证明△HEQ≌△PEQ（SAS），得出HQ=PQ，则可求出答案．
【详解】
解：在CQ上截取CH，使得CH=AP，连接EH，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠EAP=45°，AB=AC，
∵E是BC的中点，
∴AE=CE，
∵在△CHE与△APE中：
，
∴△CHE≌△APE（SAS），
∴HE=PE，∠CEH=∠AEP，
∴∠HEQ=∠AEC-∠CEH-∠AEQ=∠AEC-∠AEP-∠AEQ=∠AEC-∠PEF=90°-45°=45°，
∴∠HEQ=∠PEQ=45°，
∵在△HEQ与△PEQ中，
，
∴△HEQ≌△PEQ（SAS），
∴HQ=PQ，
∴AC=AQ+QH+CH=AQ+PQ+AP=4+5+3=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

三、解答题
17．已知在等腰中，，，求的度数．
【答案】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等可得，再根据三角形内角和为180°列方程即可得解．
【详解】
解：∵（已知），
∴（等边对等角）.
∵（已知），
∴（等式性质）.
∵（三角形的内角和等于180°），
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．
18．如图，在中，，，点是边上一点，，作，交边于点．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】
通过等边对等角、三角形外角的性质可得，利用ASA得到≌，即可得证．
【详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
【点睛】
本题考查等边对等角、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握上述性质定理是解题的关键．
19．已知：如图，GB＝FC，AB=AC，D、E是BC上两点，作GE⊥BC，FD⊥BC，求证：GE＝FD．

【答案】见详解
【分析】
由等边对等角得到∠B＝∠C，由AAS证得△BEG≌△CDF得GE＝FD．
【详解】
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵GE⊥BC，FD⊥BC，
∴∠GEB＝∠FDC＝90°，
又∵GB＝FC，
∴△BEG≌△CDF（AAS），
∴GE＝FD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握AAS证三角形全等，是解题的关键．
20．如图，已知在等腰中，点D，点E和点F分别是，和边上的点，且，，试说明．

【答案】见解析．
【分析】
由等腰三角形的性质可知，由三角形外角的性质和等式的性质可证，然后根据“ASA”证明即可．
【详解】
解：∵（已知），
∴（等边对等角）．
∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
（已知），
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等式性质）．
在与中，
，
∴（ASA），
∴（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21．如图，中是钝角，点在边的垂直平分线上．

（1）如图1，若点也在边的垂直平分线上，且，求的度数：
（2）如图2，若点也在的外角平分线上，过点作于，试找出线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），见解析
【分析】
（1）先由垂直平分线的性质得到PB=PC、PA=PC，于是可和∠BPD=∠CPD和∠APE=∠CPE，由四边形内角和是求出∠DPE的度数，再用∠BPA =2∠DPE即可求出的度数；
（2）过点P作PFAC于F，连接PC，证明可得AH=AF，然后再证明，得到BH=CF，再变形可得到AB、AH、AC之间的数量关系．
【详解】
证明：（1）如图1，PD是BC的垂直平分线， PE是AC的垂直平分线，连接，

∵点在边的垂直平分线上，
，PD⊥BC，BD=CD，
，∠PDC=90°
∵点在边的垂直平分线上，
，PE⊥AC，AE=CE，
，∠PEC=90°
∵
，
∴∠BPA=2∠DPC+2∠EPC=2∠DPE=2×70°=140°；
（2）线段、、之间的数量关系是；
理由如下：
如图2，过点作于F，连接，
∵点在的平分线上，，，
∴PH=PF，
在Rt△PAH和Rt△PAF中
，
（HL），
，
∵点P在边的垂直平分线PD上，

，
在Rt△PBH和Rt△PCF中
，
（HL），
，
，
．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质、角平分线的性质、直角三角形全等的判定和性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图1，点D在线段AB上，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，DE＝DA，DE∥AC．
（1）求证：BC∥AE；
（2）若D为AB中点，请用无刻度的直尺 在图2中作∠BAC的平分线AF．（保留画图痕迹，不写画法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由DE∥AC可得∠CAB=∠ADE，又AB=AC，DE=DA，根据三角形内角和公式可得∠ABC=∠DAE，从而证明BC∥AE；
（2）延长ED交BC于点F，则易得CF=AE=BF，则根据等腰三角形的性质可得AF平分∠BAC．
【详解】
解：（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAB=∠ADE，
又AB=AC，DE=DA，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−∠CAB)，
同理可得：∠DAE=∠DEA=(180°−∠ADE)，
∴∠ABC=∠DAE，
∴BC∥AE．
（2）如图3所示，AF为所作．

【点睛】
本题考查了作图-基本作图，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是熟悉几何图形基本性质．
23．如图，已知．

（1）作的平分线，交边于点D；作的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接．如果，猜想并说明与存在的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析
【分析】
（1）根据题意在图中作出角平分线和垂直平分线即可；
（2）根据平行线的性质，角平分线的性质和等边对等角即可求证
【详解】
（1）如图：以点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交于点，分别以为圆心，大于的长为半径作弧交于点，连接并延长交于点；
以大于的长为半径，分别在两侧作弧交于点，则即为的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，连接


（2）
证明如下：



平分

为的垂直平分线



【点睛】
本题考查了尺规作图，角平分线的作图，垂直平分线的作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握以上性质是解题的关键．
24．如图，在中，，，点在线段上运动（不与点，重合），连接，作，交线段于点．

（1）当时，______，当点从点向点运动时，逐渐变______（填“大或“小”）．
（2）当等于多少时，？请说明理由．
【答案】（1），小；（2）当时，．
【分析】
（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）当时，利用，，得到，根据，证明．
【详解】
（1），，
，
由图形可知，逐渐变小；
故答案为：，小；
（2）当时，，
理由：，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
25．如图，在中，，在边上取一点D，使得，过B作的平行线，过D作的垂线与交于点E，连结．

（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）17°
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠BAC=∠EBD，可证明△ABC≌△BED（ASA）；
（2）由（1）可知AB=BE，则∠EAB=∠AEB，求出∠EAB的度数，则可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵BE∥AC，
∴∠BAC=∠EBD，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∴∠EDB=∠C，
又∵BD=AC，
∴△ABC≌△BED（ASA）．
（2）∵△ABC≌△BED，
∴AB=BE，
∴∠EAB=∠AEB，
∵∠BAC=34°，
∴∠EBD=34°，
∴∠EAB= =73°，
∴∠AED=90°-∠EAB=90°-73°=17°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．如图，已知在中，．

（1）求证：．
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【分析】
（1）由条件可得出∠B=∠C，则结合已知可证明△BDE≌△CFD；
（2）由（1）可知△BDE≌△CFD，则有∠BED=∠CDF，从而可求得∠BDE+∠CDF=110°，可求得∠EDF的度数．
【详解】
解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS）；
（2）由（1）可知△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=180°-∠B=110°，
∴∠EDF=180°-110°=70°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的证明方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
27．如图1，以AB为腰向两侧分别作全等的等腰△ABC和△ABD，过顶角的顶点A作∠MAN，使∠MAN＝∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将∠MAN的边AM与AC叠合，绕点A按逆时针方向旋转，与射线CB、BD分别交于点E、F．设旋转角度为β．
（1）如图1，当0°＜β＜α时，说明线段BE＝DF的理由；
（2）当α＜β＜2α时，在图2中画出符合题意的图形井写出此时线段CE、FD与线段BD的数量关系是 　 　．（直接写出答案）
（3）联结EF，在∠MAN绕点A逆时针旋转过程中（0°＜β＜2α），当线段AD⊥EF时，用含α的代数式表示∠CEA＝　 　（直接写出答案）．

【答案】（1）证明见解析，（2）CE﹣FD＝BD，（3）90°﹣α．
【分析】
（1）由“ASA”可证△AEB≌△AFD，可得BE＝DF；
（2）根据题意即可作出图形，由“ASA”可证△AEB≌△AFD，得BE＝DF，即可得结论；
（3）由（2）可得AE＝AF，可得∠AFE＝∠AEF，由角的数量关系可求解．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵等腰△ABC和△ABD全等，
∴AB＝AC＝AD，∠C＝∠ABC＝∠ABD＝∠D，∠BAC＝∠BAD，
∵∠MAN＝∠BAC＝α，
∴∠MAN＝∠BAD＝α，
∴∠EAB＝∠FAD，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴BE＝DF．
（2）画图如图所示，线段CE、FD与线段BD的数量关系是CE﹣FD＝BD，

理由如下：∵∠MAN＝∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴BE＝DF，
∵BC＝BD，
∴CE﹣FD＝CE﹣BE＝BC＝BD，
故答案为：CE﹣FD＝BD；
（3）如图3中，设AE交BD于点O，连接EF．

由（2）得，△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∵∠BAD＝∠EAF，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠AFE，
∵AD⊥EF，
∴∠DAF+∠AFE＝90°，
∵∠DAF＝∠BAE，∠ABD＝∠AFE，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠AOB＝∠AOF＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠EAF＝90°﹣α，
∵∠CEA＝∠AFD，
∴∠CEA＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是证明△AEB≌△AFD．
28．如图，在中，，，，延长交于点E．

求证：（1）．
（2）平分．
（3）若，，，求线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【分析】
（1）易证AD=BD，即可证明△ACD≌△BCD，即可解题；
（2）由（1）结论和∠ACB=90°，可得∠ACD=∠BCD=45°，即可求得∠BDC=∠ADC=120°，可得∠CDE=60°，即可解题；
（3）易证△CDE≌△MDE，可得CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，即可求得∠MEF=30°，即可求得MF=BF，即可解题．
【详解】
解：（1）证明：∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCD，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠BDC=∠ADC=120°，
∴∠CDE=60°，
∴DE平分∠CDB；
（3）∵在△CDE和△MDE中，
，
∴△CDE≌△MDE（SAS），
∴CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，
∴∠MEF=30°，
∵EM=FM，
∴∠MFE=30°，
∵∠CBD=15°，
∴∠FMB=15°，
∴MF=BF，
∴BF=MF=EM=CE=8．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCD和△CDE≌△MDE是解题的关键．
29．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠BAC，且AE交CD于点E，
（1）如图1，若AE＝BC；
①求证：△ADE≌△CDB；
②求证：AB＝AC；
（2）如图2，若AE≠BC，延长AE交BC于点H，过C作CG⊥AH分别交AH、AB于F、G两点，当DB＝DE+CH时，求∠ACB的度数．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）∠ACB＝90°．
【分析】
（1）①由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△CDB；
②由全等三角形的性质可得∠AED＝∠B＝67.5°，∠DAE＝∠DCB＝22.5°，可证∠B＝∠ACB，进而可得AB＝AC；
（2）连接GH，由“ASA”可证△AFG≌△AFC，可得AG＝AC，等腰三角形的性质可得AH是GC的垂直平分线，可证GH＝HC，由“ASA”可证△ADE≌△CDG，可得DE＝DG，由线段关系可证BG＝CH＝GH，由外角的性质可求∠BCG＝22.5°，即可求解．
【详解】
解：（1）①证明：∵∠BAC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
在Rt△ADE和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDB（HL）；
②证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，
∴∠AED＝67.5°
∵Rt△ADE≌Rt△CDB，
∴∠AED＝∠B＝67.5°，∠DAE＝∠DCB＝22.5°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝67.5°＝∠B，
∴AB＝AC；
（2）如图2，连接GH，

∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，
又∵AF＝AF，∠AFC＝∠AFG＝90°，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG＝67.5°，
∵AG＝AC，AH⊥GC，
∴AH是GC的垂直平分线，
∴GH＝HC，
∴∠GCH＝∠CGH，
∴∠GHB＝∠GCH+∠CGH＝2∠GCH，
∵∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠DAC＝45°，
∴AD＝AC，∠DCG＝∠ACG﹣∠ACD＝22.5°＝∠DAE
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，
∵DB＝DE+CH＝DG+CH，DB＝DG+BG，
∴BG＝CH，
∴∠B＝∠GHB，
∴∠B＝2∠GCH，
∵∠AGC＝∠B+∠GCH，
∴67.5°＝3∠GCH，
∴∠GCH＝22.5°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠BCG＝90°．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
30．如图1，ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．
（1）在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．
答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是_____、______．
（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．
答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是____、______．
（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

【答案】（1）相等、垂直；（2）相等、垂直；（3）成立，见解析
【分析】
(1) 由AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP．可得∠ACB=∠ACP=90°，∠ABC=∠APC=，可证AB=AP，∠BAP=180°-90°=90°即可；
（2）将EFP沿直线l向左平移，∠QCP=90°，∠EPF=45°可证QC=PC，再证△BCQ≌△ACP（SAS）即可；
（3）成立．理由如下：延长QB交AP于点M，由△ABC和△EFP是全等，可得AC=BC，∠ACB=90°，∠EPF=45°，由∠CPQ=∠EPF=45°，∠BCQ=180°-∠ACB=90°
再证△BCQ≌△ACP即可得出结论．
【详解】
解：(1) ∵AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP．
∴∠ACB=∠ACP=90°，∠ABC=∠APC=，
∴AB=AP，∠BAP=180°-90°=90°，
故答案为：相等、垂直；
（2）将EFP沿直线l向左平移，∠QCP=90°，∠EPF=45°，
∴∠PQC=180°-90°-45°=45°=∠EPF，
∴QC=PC，
在△BCQ和△ACP中，
，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=EP，∠QBC=∠CAP，
∵∠CAP+∠APC=90°，
∴∠QBC +∠APC=90°，
∴AQ⊥AP，
故答案为：相等、垂直；
（3）成立．理由如下：
延长QB交AP于点M，
∵△ABC≌△EFP ，
两个等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，∠EPF=45°，
∵∠CPQ=∠EPF=45°，∠BCQ=180°-∠ACB=90°，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴CP=CQ，
∴△BCQ≌△ACP，
∴BQ=AP，∠BQC=∠APC，
∵在△ACP中，
∠CAP+∠APC=90°，
∴∠BQC+∠CAP=90°，
在△AQM中，∠AMQ=90°，
∴PQ⊥AP．

【点睛】
本题考查三角形全等判定与性质，平移变换，等腰直角三角形性质，掌握三角形全等判定与性质，平移变换，等腰直角三角形性质是解题关键．