初中人教版22.2二次函数与一元二次方程优秀课时练习

这是一份初中人教版22.2二次函数与一元二次方程优秀课时练习，文件包含专题222二次函数与一元二次方程讲练-2022-2023九年级上册同步讲练解析版人教版docx、专题222二次函数与一元二次方程讲练-2022-2023九年级上册同步讲练原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。

专题22.2 二次函数与一元二次方程
典例体系

一、知识点
1.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
2.二次函数与不等式
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
二、考点点拨与训练
考点1：二次函数图象与x轴交点问题
典例：（2020·贵州省中考真题）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．或0 B．或2 C．或3 D．或4
【答案】B
【解析】
二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围．
故选B．
方法或规律点拨
本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行平移．
巩固练习
1．（2020·湖北省中考真题）若抛物线经过第四象限的点），则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过第四象限的点（1，-1）
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1，
故选：C．
2．（2020·四川省中考真题）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：∵二次函数的图像经过，，
∴对称轴x=，即x=，
∵对称轴x=b，
∴=b，化简得c=b-1，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故选：C.
3．（2020·云南省初三其他）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（ ）
A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2
B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)
C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2
D．若≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝
【答案】D
【解析】解：由已知可得，c＝2，b＝2a，
∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2，
A.当x＝﹣2时，y＝2，
∴方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2；故A正确，不符合题意；
B.若x1＝2，函数的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)，正确，不符合题意；
C.ax2＋2ax＋2＝4时，△＝4a2＋8a＝0，
∴a＝0或a＝﹣2，
∴a＝﹣2，正确，不符合题意；
D.若﹣≤x≤0时2≤y≤3；
在﹣≤x≤0时，当x＝﹣1时，y有最大值2﹣a，当x＝0时，有最最小值2；
∴3＝2﹣a，
∴a＝﹣1，
故D.错误，符合题意；
故选：D．
4．（2021·浙江省初三二模）二次函数的部分对应值如下表：


















则关于的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】解：时，；时，，
抛物线的对称轴为直线，
或时，，
关于的一元二次方程的解为，．
故选：C
5．（2020·天津初三其他）二次函数的图象如图所示，有下列结论： ；；若m为任意实数，则；；若，且，则其中，正确结论的个数为

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0
所以abc＜0．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线x=，
∴b=-2a，即2a+b=0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧
∴当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，
故④错误；
⑤∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴ax12+bx1-ax22-bx2=0，
∴a（x1+x2）（x1-x2）+b（x1-x2）=0，
∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=，
∵b=-2a，
∴x1+x2=2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
6．（2020·南通市八一中学初二月考）已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是( )
A．k≤2且k≠1 B．k<2且k≠1
C．k=2 D．k=2或1
【答案】D
【解析】当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；
当k-1≠0，即k≠1时，由函数与x轴只有一个交点可知，
∴△=（-4）2-4（k-1）×4=0，
解得k=2，
综上可知k的值为1或2，
故选D．
7．（2020·江西省初三二模）抛物线与x轴只有一个交点，且对称轴在y轴的右侧，则m的值是（ ）
A． B．8 C． D．6
【答案】A
【解析】由题意得：关于x的方程只有一个实数根
则此方程的根的判别式
解得
又抛物线的对称轴在y轴的右侧
对称轴
解得
综上，
故选：A．
8．（2020·江西省初三其他）对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．若顶点在x轴下方，则一元二次方程有两个不相等的实数根
B．若抛物线经过原点，则一元二次方程必有一根为0
C．若，则抛物线的对称轴必在y轴的左侧
D．若，则一元二次方程，必有一根为-2
【答案】A
【解析】解：A：当顶点在x轴的下方且a＜0时，
此时抛物线与x轴没有交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，
∴A错误；
B：当抛物线经过原点时，c=0，
∴ax2+bx=0，
解得：x=0或x=-，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0，
∴B正确；
C：∵抛物线的对称轴为：x=-，
∴抛物线的对称轴的位置由与b的符合共同决定，
∴C正确；
D：令x=-2，得：4a-2b+c=0，
∴2b=4a+c，
∴D正确，
故选A．
9．（2020·河北省初三学业考试）已知二次函数的图象和轴只有一个公共点，则下列判断正确的（　　）
A．1一定不是关于的方程的根
B．0一定不是关于的方程的根
C．1和-1都是关于的方程的根
D．1和-1不都是关于的方程的根
【答案】C
【解析】解： 的图象和轴只有一个公共点，
，



或
把代入， 此时
把代入， 此时 即
1和-1都是关于的方程的根．
故选C．
10．（2020·湖南省初三月考）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，图象与轴的一个交点坐标为，那么它的图象与轴的另一个交点坐标是___________．

…

0
1
2
…

…
0
3
4
3
…
【答案】
【解析】解：由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=，
∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（-1，0），
∴它与x的轴的另一个交点为（3，0），
故答案为：（3，0）．
11．（2020·浙江省初三其他）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧）
（1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）求线段AB的长；
（3）抛物线与轴交于点C（点C不与原点重合），若的面积始终小于的面积，求的取值范围．
【答案】（1）（2m，-1）；（2）AB=2；（3）＜m＜且m≠．
【解析】（1）∵抛物线的解析式为，
∴顶点坐标为[，]，即（2m，-1）．
（2）令y=0得：=0，
解得：x1=2m-1，x2=2m+1，
∵点A在点B左侧，
∴A（2m-1，0），B（2m+1，0），
∴AB=2m+1-（2m-1）=2．
（3）∵△OAC与△ABC等高且△OAC的面积始终小于△ABC的面积，
∴OA＜AB，
①当点A在x轴正半轴时，2m-1＜2，
解得：m＜，
②当点A在x轴负半轴时，-（2m-1）＜2，
解得：m＞，
∵点C不与原点重合，
∴4m2-1≠0，
解得：m≠±，
∴＜m＜且m≠．
考点2：二次函数图象与平行于x轴直线交点问题
典例：（2020·河北省中考真题）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是（ ）

A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【答案】C
【解析】当b=5时，令x（4-x）=5，整理得：x2-4x＋5=0，△=(-4)2-4×5=-6<0，因此点P的个数为0，甲的说法正确；
当b=4时，令x（4-x）=4，整理得：x2-4x+4=0，△=(-4)2-4×4=0，因此点P有1个，乙的说法正确；
当b=3时，令x（4-x）=3，整理得：x2-4x+3=0，△=(-4)2-4×3=4>0，因此点P有2个，丙的说法不正确；
故选：C．
方法或规律点拨
本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式．
巩固练习
1．（2020·合肥市第四十六中学初三三模）已知函数y＝﹣3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程﹣3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）．
A．m＜n＜b＜a B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜b＜n
【答案】D
【解析】解：函数，
抛物线开口向下，
a，b是方程﹣3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根
当或时，，
又当或时，，
实数，，，的大小关系为m＜a＜b＜n．
故选：D．
2．（2020·山东省初三其他）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点．垂直于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，若，记，则的取值范围为（ ）
A．5＜s＜6 B．6＜s＜7 C．7＜s＜8 D．8＜s＜9
【答案】C
【解析】解：由题意得A、B、C和顶点坐标分别为A（1，0），B（3，0），C（0，-3）、（2，1）
设BC的解析式为y=kx+b
则有 即
∴BC的解析式为y=x-3
∵x1 ∴0 当y3=1时，x-3=1，即x=4
∴3 ∵点P和点Q为抛物线上的对称点
∴x2-2=2-x1
∴x1+x2=4
∴=4+x3
∴7 故答案为C.

3．（2020·广东省初三其他）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，则下列结论：
①，，；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④．其中结论正确的是（ ）

A．① B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，∴，
∵抛物线的顶点坐标，∴对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线的顶点坐标，代入抛物线得：，故②正确；
∵抛物线的顶点坐标，∴抛物线与有两个交点，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线开口向下，∴，
∵抛物线的顶点坐标，∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
∴，
∴，∴，
∴，故④错误．
4．（2020·安徽省初三二模）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为_____．
【答案】x1＜a＜b＜x2
【解析】
解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）＝0图象，画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）＝1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：
x1＜a＜b＜x2，

故答案为：x1＜a＜b＜x2．
5． （2020·河北省初三二模）直线：，与轴，轴分别交于两点，抛物线:，经过点，且与轴的另一个交点为点．

（1）若，求此时抛物线的解析式、顶点坐标及点坐标；
（2）在直线与抛物线围成的封闭图形边界上，横、纵坐标均为整数的点称为“神秘点”，求出在（l）的条件下“神秘点”的个数；
（3）①直线与轴的交点的坐标会变吗？说明理由；
②若抛物线与直线在的范围内有唯一公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），顶点为，；（2）①不会变，理由见解析；②，，
【解析】解：（1）若，，当时，
∴，
将代入，可得
∴
∴顶点为
∵点，点关于对称
∴
（2）设直线与抛物线的另一个交点为，
，
解得，，所以交点为和，
所以，直线上神秘点为，，，，，共6个，
抛物线上神秘点为，，，共4个，
综上，神秘点个数为10；
（1）①不会变，，
当时，无论取何非零实数，恒为0，
所以，直线永远经过点，所以点坐标不会改变；
②，，
由①知恒过
∴过∴∴
∴
∴与轴恒交于，
对称轴为不变
∵与在有唯一公共点
∴当时过

解得
∵开口越小，越大
∴

当时
①顶点在上，顶点为
∴
②抛物线恰好过
∴
∴
综上，，时抛物线与在有唯一公共点

考点3：二次函数与不等式
典例：（2020·溧阳市南渡初级中学初三二模）的图像如图所示，对称轴，若关于的(为实数)在的范围内有解，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵对称轴为直线x=1，
∴，
解得：，
∴；
当x=1时，，此时y为最小值；
当x=4时，，
∴在-1＜x＜4的范围内有：-1≤y＜8，
∵x2+bx-t=0可变形为x2+bx=t，
∴．
故选：C．
方法或规律点拨
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称轴，二次函数的增减性以及最值问题，要注意自变量的取值范围的影响．
巩固练习
1．（2020·无锡市凤翔实验学校初三月考）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，当函数值y＜0时，x的取值范围为 （ ）

A．x＜—1或x＞3 B．—1＜x＜3 C．x≤—1或x≥3 D．—1≤x≤3
【答案】B
【解析】根据题意，要求当y＜0时即图象在x轴下方时自变量x的取值范围，
观察图象易得，当-1＜x＜3时，二次函数的图象在x轴下方，
故选B．
2．（2020·山东省初三其他）如图为抛物线的部分图象，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），下列结论：
①4ac＜b2
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中正确的结论是____．

【答案】①②⑤
【解析】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以②正确；
∵x==1，即b=-2a，
而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，所以③错误；
由图象知，当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x＜0时，y随x增大而增大，所以⑤正确；
即正确的个数是3个，
故答案为：①②⑤
3．（2020·南通市八一中学初二月考）画出二次函数y＝x2－2x的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0?
(3)x取什么值时，函数值小于0?
【答案】(1)x1＝0，x2＝2(2)x<0或x>2(3)0 【解析】二次函数y＝x2－2x的图象如下图所示：

（1）观察图象可得方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2；
（2）观察图象可得，当x取x<0或x>2时，函数值大于0；
（3）观察图象可得，当x取0 4．（2020·张家界市民族中学初三月考）已知二次函数．
（1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴交点坐标，并画出函数大致图象；

（2）根据图象直接回答：当x为何值时，？当x为何值时？
【答案】（1）顶点坐标为（，），与y轴的交点坐标为（0，-3），与x轴的交点坐标为（，0），（-1，0），图像见解析；（2），；当或，
【解析】
解：，
顶点坐标为，
当时，；
当时，，
解得：，或，
二次函数的图象与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，；
图象如图所示：

当，；
当或，．
5．（2020·浙江省初三学业考试）关于x的二次函数（k为常数）和一次函数．
（1）求证：函数的图象与x轴有交点．
（2）已知函数的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，
①试求此时k的值．
②若，试求x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①k1＝1，k2＝；②当k＝1时x＜– 2或 x＞2，当k＝时，−10＜x＜– 2．
【解析】
解：（1）证明：△＝(2k−1)2＋8 k＝4k2−4k＋1＋8k＝(2k＋1)2≥0，
∴函数y1＝kx2＋(2k−1) x − 2的图象与x轴有交点．
（2）解：①设的两根为，，则，，
，
函数的图象与轴的两个交点间的距离等于3，
，
，
解得，或；
②I.当k＝1时，y1＝ x2＋ x – 2，画出y1＝ x2＋ x – 2和y2＝x＋2的图象，如图1所示，

由图知，y1与y2的交点分别为(−2，0)和 (2，4)，
∴当y1＞y2时x＜– 2或 x＞2；
II.当k＝时，y1＝x2x – 2，
画出y1＝x2x – 2和y2＝x＋2的图象，如图2所示，
由图知，y1与y2的交点分别为(−2，0)和 (−10，−8)，
∴当y1＞y2时−10＜x＜– 2．
综上所述，当k＝1时x＜– 2或 x＞2，当k＝时，−10＜x＜– 2．
6．（2020·江苏省初三二模）已知二次函数（为常数）．
（1）求证：不论为何值，该二次函数的图像与轴总有公共点．
（2）求证：不论为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数的图像上．
（3）已知点、，线段与函数的图像有公共点，则的取值范围是__________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（1）令，则．
∵，，，
∴．
∵，
∴．
∴一元二次方程有实数根．
故不论取何值，函数与轴总有公共点．
（2）∵．
∴该函数的顶点坐标为．
把代入，得．
∴不论为何值，该二次函数的顶点坐标都在函数上．
（3）当y=-1时，y=-（x-1）2=-1，解得x1=0，x2=2，
当a+2≥0且a≤2时，线段AB与函数y=-（x-1）2的图象有公共点，
所以a的范围为-2≤a≤2．
故答案为．
考点4：二次函数图象折叠变换中的交点问题
典例：（2020·江苏省初三其他）已知：二次函数，当时，函数有最大值.
(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点；
(2)将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象，若点是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值.
【答案】(1)抛物线与轴交于(0，-3)，与轴交于(-1，0)，(3，0)；(2)实数的最大值为3
【解析】(1)抛物线的对称轴为：.
∴，抛物线开口向上，大致图象如图所示.
当时，随增大而增大；
∵当时，函数有最大值，
∴当时，，
∴，
解得：.
∴
当，，
，x2-2x-3=0，
解得：或，
∴抛物线与轴交于，抛物线与轴交于，.
(2)∵关于的一元二次方程恒有实数根，
∴，即恒成立，
∴恒成立.
∵（1）中的抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∴函数的最小值为=-4，
∵点是(1)中抛物线沿x轴翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，
∴，
∴（k取值的下限），
∴实数的最大值为3.

方法或规律点拨
本题主要考查了二次函数的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b2-4ac＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点．熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
巩固练习
1．（2020·广西壮族自治区初三一模）若关于x的方程|ax2+bx+c|=5有三个不相等的实数根，则二次函数y=ax2+bx+c有（ ）
A．最小值为5 B．最大值为5
C．最大值为5或最小值-5 D．最大值-5或最小值5
【答案】C
【解析】解：y=|ax2+bx+c|的图象如图，当y=5时，方程|ax2+bx+c|=5有三个不相等的实数根．

当a>0时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值5；
当a<0时，二次函数y=ax2+bx+c有最大值5．
故选：C．
2．（2020·天津初三三模）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象(如图所示)，当直线与新函数图象有4个交点时，的取值范围是(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，

当y=0时，-x2+x+6=0，解得x1=-2，x2=3，则A（-2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x-3），
即y=x2-x-6（-2≤x≤3），
当直线经过点B（3，0）时，6-m=0，解得m=6；
当直线与抛物线y=x2-x-6（-2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2-x-6=-2x-m有相等的实数解，解得m=，
所以当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围为．
故选：C．
3．（2020·天津初三三模）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象(如图所示)，当直线与新函数图象有4个交点时，的取值范围是(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，

当y=0时，-x2+x+6=0，解得x1=-2，x2=3，则A（-2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x-3），
即y=x2-x-6（-2≤x≤3），
当直线经过点B（3，0）时，6-m=0，解得m=6；
当直线与抛物线y=x2-x-6（-2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2-x-6=-2x-m有相等的实数解，解得m=，
所以当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围为．
故选：C．
4．（2020·广东省初三其他）已知直线y=b（b为实数）与函数 y=的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围 .
【答案】0 【解析】先作函数图象，只要把图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折即可得到的图像，
如图所示，因为函数顶点（2，-1）关于X轴对称的点（2,1），
结合图像可看出实数b的取值范围是0
5．（2020·河南省初三二模）某数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了研究，探究过程如下.
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
8
m
0
2
n
2
0

8
…
其中，m= ，n= ；
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请补全函数图象的剩余部分；

（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有_____________个交点；
②方程有_____________个实数根；
③当关于x的方程有3个实数根时，p的值是_____________.
【答案】（1）；；（2）答案见解析；（3）①2；②4；③
【解析】解：（1）将x=-2，y=m代入中，得m=，
将x=1，y=n代入中，得n=，
故答案为：；；
（2）用光滑的曲线连接得，

（3）①由函数图象可知，函数图象与x轴有两个交点，
故答案为2；
②如图，直线y=1与函数图象有4个交点，

∴方程有4个实数根，
故答案为：4；
③当x=1时， =，
如图，直线y=与函数图象有3个交点，

∴当关于x的方程有3个实数根时，p=，
故答案为：．
6．（2019·重庆万州外国语学校天子湖校区初三三模）借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y＝|x2﹣2x﹣3|﹣2图象和性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
10
m
﹣2
1
n
1
﹣2
3
10
…
其中，m＝　 　，n＝　 　；
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；

（3）观察函数图象：
①当方程|x2﹣2x﹣3|＝b+2有且仅有两个不相等的实数根时，根据函数图象直接写出b的取值范围为　 　．
②在该平面直角坐标系中画出直线y＝x+2的图象，根据图象直接写出该直线与函数y＝|x2﹣2x﹣3|﹣2的交点横坐标为：　 　（结果保留一位小数）．
【答案】（1）3，2；（2）如图见解析；（3）①b＝﹣2或b＞2；②﹣1.8和4.1．
【解析】解：（1）把x＝﹣2代入y＝|x2﹣2x﹣3|﹣2，得y＝3，
∴m＝3，
把x＝1代入y＝|x2﹣2x﹣3|﹣2，得y＝2，
∴n＝2，
故答案为：3，2；
（2）如图所示；

（3）①由图象可知，当b＝﹣2或b＞2时，函数y＝|x2﹣2x﹣3|﹣2图象与直线y＝b有两个交点，
∵当方程|x2﹣2x﹣3|＝b+2有且仅有两个不相等的实数根时，b＝﹣2或b＞2，
故答案为b＝﹣2或b＞2；
②如图：直线与函数y＝|x2﹣2x﹣3|﹣2的交点横坐标为﹣1.8和4.1，
故答案为：﹣1.8和4.1．
考点5：二次函数与一次函数的交点问题
典例：（2020·浙江省初三其他）如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．

【答案】（1）m＝3；y＝﹣x2+2x+3；（2）△OAB的面积＝；（3）x＜0或x＞1．
【解析】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（0，3），
∴m＝3，
∴直线为y＝x+3，
∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1．
∴，
解得，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解得或，
∴B（1，4），
∴△OAB的面积＝＝；
（3）由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值．
方法或规律点拨
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数与不等式，掌握数形结合是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·四川省中考真题）如图，直线与抛物线交于A、B两点，则的图象可能是（ ）

A．B．C． D．
【答案】B
【解析】解：由题图像得中k＞0，中a＜0，b＜0，c＜0，
∴b-k＜0，
∴函数对称轴x=＜0，交x轴于负半轴，
∴当时，即，
移项得方程，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不等的解，即与x轴有两个交点，
根据函数对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B正确．
故选：B
2．（2020·四川省初三其他）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
【答案】C
【解析】∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
3．（2020·山东省初三三模）已知关于x的二次函数y＝－2x2＋8x－m和一次图数y＝－x＋4，当1≤x≤m(m＞1)时，两函数的图象有两个交点，则m的取值范围是( )
A．1＜m≤3 B．3≤m＜ C．2＋≤m＜ D．3≤m≤2＋
【答案】D
【解析】解：当y值相等时，有－2x2＋8x－m＝－x＋4，整理得，
则
由题意可得

解得，
当x=1时，代入－2x2＋8x－m＝－x＋4得m=3，
当x=m时，代入－2x2＋8x－m＝－x＋4得，
m＞1，∴
∴
故选：D
4．（2020·安徽省初三二模）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
5．（2020·广西壮族自治区初三二模）如图，二次函数：与一次函数：y=mx+n(m≠0)的图象交于A，B两点，则一元二次方程的解为(　　)

A． B．， C．， D．
【答案】C
【解析】解：∵，
∴一元二次方程的解即为二次函数与一次函数y=mx+n(m≠0) 的图象交点的横坐标，
∵二次函数：与一次函数：y=mx+n(m≠0)的图象交于A，B两点，
∴由图像可得一元二次方程的解为：，．
故选：C．
6．（2020·河南省初三其他）如图所示，与的图象交于，两点，则不等式的解集为（ ）

A． B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】由可得，在图上作出关于轴对称的的图象，则可得交点为，，，数形结合可得或，
故选：D.

7．（2020·山东省初三二模）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1 ，
其中正确的是________．

【答案】①③⑤
【解析】∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴对称轴为x=-=1，
∴2a+b=0，①正确，
∵a，b,抛物线与y轴交于正半轴，
∴c
∴abc0，②错误，
∵把抛物线向下平移3个单位长度得到y= ax2+bx+c-3,此时抛物线的顶点也向下平移3个单位长度，
∴顶点坐标为（1,0），抛物线与x轴只有一个交点，即方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根， ③正确.
∵对称轴为x=-=1，与x轴的一个交点为（4,0），根据对称性质可知与x轴的另一个交点为（-2，0），④错误，
由抛物线和直线的图像可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1.， ⑤正确.
8．（2020·河北省初三二模）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于x的方程的解为________．

【答案】
【解析】∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，
∴方程组的解为，，即关于x的方程的解为．
9．（2020·山东省初三一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_______．

【答案】
【解析】∵，，抛物线开口向上，
∴时，，
∴的解集为．
故答案为：
10．（2020·广西壮族自治区初三月考）如图，是二次函数和一次函数的图象，观察图象写出时，x的取值范围__________．

【答案】．
【解析】∵y1与y2的两交点横坐标为-2，1，
当y2≥y1时，y2的图象应在y1的图象上面，
即两图象交点之间的部分，
∴此时x的取值范围是-2≤x≤1．
11．（2020·黑龙江省初三三模）如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点．此抛物线与轴的另一个交点为抛物线的顶点为．

（1）求次此抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标．
【答案】（1）；（2）满足条件的点的坐标为或
【解析】解：（1）∵当x=0时，y=-3，∴．
∵当y=0时，x-3=0，∴x=3，∴．
将点与点的坐标代入抛物线，
得，
解得，
抛物线的解析式是；
∵=(x-1)2-4，
∴对称轴是直线x=1，顶点，
∵，
点．
为抛物线上的一个动点，
设点，


整理，得或（由，得到无实数解，舍去）．
解得．
满足条件的点的坐标为或．