数学九年级上册第二十四章 圆综合与测试优秀精练

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第24章 重点突破训练：垂径定理的应用举例
考点体系

考点1：垂径定理的常规应用
典例：（2020·湖北中考真题）如图，点在上，，垂足为E．若，，则（ ）

A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】解：连接OC，

∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵，垂足为E，
∴，
故选：D．
方法或规律点拨
本题考查圆周角定理和垂径定理，作出合适的辅助线是解题的关键．
巩固练习
1．（2019·金昌市金川总校第五中学初三期中）如图，AB是⊙O的弦，AB=8，直径CD⊥AB于M，且DM=8，则⊙O的半径为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】连接OA，

设OA=r，则OM= DM-OD=8-r，
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，AB=8，
∴AM=BM=AB=4，
在Rt△AOM中，
OA2=AM2+OM2，即r2=42+(8-r)2，
解得r=5．
故选：C．
2．（2020·海南琼海初三其他）如图，点A，B，C，D都在半径为4的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，设OA与BC交于点H，

∵OA⊥BC，
∴CH＝BH，，
∴∠AOB＝2∠CDA＝60°，
∴BH＝OB•sin∠AOB＝，
∴BC＝2BH＝，
故选：C．
3．（2020·山东东明初三其他）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
4．（2019·景泰县第四中学初三一模）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为________．

【答案】．
【解析】解： 连接OB，

∵OC=OB，∠BCD=30°，
∴∠BCD=∠CBO=30°，
∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，
∵直径CD⊥弦AB，AB=
∴BE=AB=，∠OEB=90°，
∴OB=
即⊙O的半径为，
故答案为：．
5．（2020·江苏南通中考真题）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．
【答案】12
【解析】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，

则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为：12．
6．（2020·江苏秦淮初三月考）在半径为2的圆中，弦AB、AC的长度分别是2、，则弦BC的长度是______．
【答案】4或2．
【解析】解：①如下图所示，当弦AB、AC位于圆心的两侧时，分别将圆心O点与A、B、C相连，作ODAB，OEAC，

∵圆的半径为2，故OA=OB=OC=2，且AB=2，
∴AOB是等边三角形，∠OAB=60°，
在等腰三角形AOC中，OE为AC边上的高，OE也是AC边的中线，
∴AE=CE=，且∠AEO=90°，，
∴∠OAE=30°，则∠BAC=∠OAB+∠OAC=60°+30°=90°，
∴弦BC为圆的直径，BC=4；
②如下图所示，当弦AB、AC位于圆心的同一侧时，分别将圆心O点与A、B、C相连，

同①中的分析相同，AOB是等边三角形，∠OAB=60°，
且∠OAC=30°，OA=OC，故AOC是等腰三角形，∠AOC=120°，
又∵∠AOC+∠OAB=180°，平行线间同旁内角互补，
∴OCAB，且OC=OB=OA，故四边形OABC为菱形，
∴BC=OA=2，
故答案为：4或2．
7．（2020·四川青羊初三二模）如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）

A．4cm B．2cm C．cm D．cm
【答案】A
【解析】如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E，

∵折叠后恰好经过圆心，
∴OE=DE,
∵半径为4，
∴OE=2，
∵OD⊥AB，
∴AE=AB，
在Rt△AOE中，AE==2
∴AB=2AE=4
故选A.
考点2：平行弦问题
典例：（2019·山东金乡�初三期中）己知是的两条弦，．若的直径为,则弦和之间的距离是__________．
【答案】1或7
【解析】如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD．
∵的直径为10，
∴OA=OC=5

∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝3, OF＝＝4
①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF−OE＝1；
②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7．
则AB与CD间的距离为1或7．
故答案为：1或7．
方法或规律点拨
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
巩固练习
1．（2019·安徽庐江初三期末）已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（　　）
A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定
【答案】C
【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，

过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝＝3，OF＝＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，

过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
EF＝OF+OE＝7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故选：C．
2．（2020·浙江中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．

【答案】3
【解析】解：过点O作OH⊥CD于H，

连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
3．（2020·浙江德清初三期中）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为______．

【答案】52
【解析】：作OF⊥PQ于F，连接OP，

∴PF=12PQ=12，
∵CD⊥AB，PQ∥AB，
∴CD⊥PQ，
∴四边形MEOF为矩形，
∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，
∴OE=OF，
∴四边形MEOF为正方形，
设半径为x，则OF=OE=18-x，
在直角△OPF中，
x2=122+（18-x）2，
解得x=13，
则MF=OF=OE=5，
∴OM=52．
4．（2017·重庆开州初三期末）如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长．

【答案】
【解析】解：如图所示，因为AB∥CD，所以过点O作MN⊥AB交AB于点M，交CD于点N，连接OA，OC，

由垂径定理可得AM=，
∴在Rt△AOM中，，
∴ON=MN-OM=1，
∴在Rt△CON中，，
∴，
故答案为：
考点3：垂径定理的实际应用问题
典例：（2019·江苏镇江初三月考）（操作思考）画⊙和⊙的直径、弦，使，垂足为（如图1）．猜想所画的图中有哪些相等的线段、相等的劣弧？（除外）．

（1）猜想：① ；② ；③ ．
操作：将图1中的沿着直径翻折，因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，所以与重合，又因为，所以射线与射线重合（如图2），于是点与点重合，从而证实猜想．
（知识应用）图3是某品牌的香水瓶，从正面看上去（如图4），它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点在上），其中．

（2）已知⊙的半径为，，，，求香水瓶的高度．
【答案】（1）CP=DP，，；（2）7.2cm
【解析】（1）∵⊙的直径、弦，使，垂足为，
∴相等的线段是：CP=DP，相等的劣弧是： ，，
故答案为：CP=DP，，；
（2）作OM⊥EF，延长MO角GH于N，连接OE、OG，
∵，
∴ON⊥GH，
∵EM=EF=1.8cm，GN=GH=2.4cm，⊙的半径为3cm，
∴，,
∴香水瓶的高度=AB+OM+ON=3+2.4+1.8=7.2cm.

方法或规律点拨
此题考查轴对称图形和圆的相关知识，勾股定理，垂径定理正确掌握轴对称图形的定义，圆的轴对称关系，利用垂径定理进行计算是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·湖南新邵�）如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，求直径的长？”依题意的长为（ ）

A．6寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸
【答案】C
【解析】如图，连接AO，

设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB=8寸，
∴AE=BE=AB=4寸，
在Rt△AOE中，根据勾股定理可知：
，
∴，
解得：，
∴，
即CD长为10寸．
故选：C
2．（2020·安徽相山初三月考）如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）米

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．

根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r， 根据勾股定理， 得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5
3．（2020·广西南宁初三二模）下图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，米，米，且、与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】解：连接OF，交AC于点E，

∵BD是⊙O的切线，∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，∴AD∥BD，∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE=AC=BD=0.75米，OE=R﹣AB=R﹣0.25，
∵AE2+OE2=OA2，∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，
解得R=1.25．1.25×2=2.5（米）．
故这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
故选B．
4．（2020·四川安居初二期末）一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）

A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
【答案】A
【解析】车宽米，
欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线米处的高度与车高，
在中，由勾股定理可得：
（），
米，
卡车的外形高必须低于米.
故选：.
5．（2020·辽宁大连初三学业考试）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言就是:如图，是的直径，弦，垂足为，寸，寸.则直径的长为____________寸.

【答案】
【解析】解：连接OC，如下图所示：

设圆的半径是x寸，在直角△OCE中，OC=x，OE=OA-AE=x-1，
∵OC2=OE2+CE2，
则x2=(x-1)2+25，
解得：x=13．
则AB=2×13=26(寸)
故答案为：.
6．（2020·广西防城港初三期末）如图，竖直放置的一个铝合金窗框由矩形和弧形两部分组成，AB=m，AD= 2m，弧CD所对的圆心角为∠COD=120°．现将窗框绕点B顺时针旋转横放在水平的地面上，这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为__m．

【答案】（）
【解析】连接OB，过O作OH⊥BC于H，过O作ON⊥CD于N，

∵∠COD=120°，CO=DO，
∴∠OCD=∠ODC=30°，
∵ON⊥CO，
∴CN=DN=CD=AB=m，
∴ON=CN=m，OC=1m，
∵ON⊥BC，
∴四边形OHCN是矩形，
∴CH=ON=m，OH=CN=m，
∴BH=BC-CH=m，
∴OB==m，
∴在这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为（+1）m，
故答案为：（+1）．
7．（2020·东城北京一七一中初三月考）如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________cm.

【答案】25
【解析】解：如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，


设⊙O半径为R，
∵OC⊥AB， ∵AD=DB=AB=20， 在RT△AOD中，∵∠ADO=90°， ∴OA2=OD2+AD2，
∴R2=202+（R﹣10）2，
∴R=25．
8．（2019·四川嘉陵初三其他）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为

【答案】5．
【解析】如答图，由题意，⊙O与BC相切，记切点为M，作直线OM，分别交AD、劣弧于点H、N，再连接OF，

在矩形ABCD中，AD∥BC，而MN⊥BC，∴MN⊥AD.∴在⊙O中，FH=EF=4.
设球半径为r，则OH=8﹣r，
在Rt△OFH中，由勾股定理得，r2﹣（8﹣r）2=42，解得r=5.
9．（2020·浙江丽水初三一模）如图，量角器的0度刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，，量得，点在量角器上的读数为，则该直尺的宽度为____________．

【答案】
【解析】连接OC,OD,OC与AD交于点E，




直尺的宽度：
故答案为
10．（2019·河北保定�初三一模）如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为
　　　　厘米．

【答案】
【解析】
【分析】解：如图，

∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，
∴AC=9﹣3=6．
取圆心O，过点O作OB⊥AC于点B，连接AO，
则AB=AC=×6=3厘米，
设杯口的半径为r，则OB=r﹣2，OA=r，
在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r﹣2）2+32，
解得r=（厘米）．
故答案为：．
11．（2019·四川广安中学初三月考）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为_____cm．

【答案】5
【解析】解：设点O是同心圆的圆心，连接OA、OC、OD，
∵AB与内圆相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AB，
∴点O、C、D在同一条直线上，
∴AC=AB=4cm，
在Rt△AOC中，AC=4，OC=OA-2，
∴=AC=4
∴OA=5cm.

故答案为5.
考点4：垂径定理在作图中的应用
典例：（2020·江西乐平初三一模）请仅用无刻度的直尺，根据条件完成下列画图．
（1）如图1，内接于，，画出线段的垂直平分线．
（2）如图2，内接于，，、分别为和的中点，画出线段的垂直平分线．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【解析】（1）如图1，直线即为所求作的直线．
（2）如图2，直线即为所求作的直线．

方法或规律点拨
此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，还考查了圆的垂径定理的性质，三角形中线的性质，等腰三角形的性质.
巩固练习
1．（2019·北京清华附中初三一模）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则 ．（填“＞“，”“＝”“＜”）

【答案】＜．
【解析】如图，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆，显然．＜，故答案为＜．

2．（2020·全国初三单元测试）如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证：．

【答案】（1）直线EO与AB垂直．理由见解析；（2）证明见解析．
【解析】解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下：
如图，连接EO，并延长交CD于F．
∵ EO过点O，E为AB的中点，
．

（2），，
．
∵ EF过点O，
，
垂直平分CD，
．
3．（2020·安徽初三一模）已知，如图，为上点，为的直径．
(1)尺规作图：过点作直线，交于点，交于点；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接，若，求的长.

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】(1)直线CD如图所示：

连接，

设的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
在Rt中，2，
∴.
4．（2019·安徽淮北初三月考）如图，在中，是弦，是直径，且经过的中点，连接．

（1）用尺规作图作出弦的垂直平分线，并标出与的交点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若的半径为，，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】解：（1）如图所示，直线即为所求；

（2）连接，
是直径，=4，，
，，
，
，
．
5．（2019·杭州市建兰中学初三期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），

（1）画出平面直角坐标系．
（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心，并直接写出圆心的坐标．
【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，圆心坐标为（﹣2，﹣1）．
【解析】解：（1）直角坐标系如图；
（2）如图，点P就是所求圆心，圆心坐标为（﹣2，﹣1）．

6．（2019·江西信丰初三零模）图1、图2均为圆心角为90°的扇形、请按要求用无刻度的直尺完成下列作图．
（1）在图1中、点M是的中点、请作出线段AB的垂直平分线；
（2）在图2中、点M是的中点，点N又是的三等分点，请作出线段OB的垂直平分线．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】（1）如图，直线OM即为所求．
（2）作直线OM，连接AB交OM于K，作直线NK，直线NK即为所求．

理由：连接ON，BN，∵点N又是的三等分点，
∴∠NOB＝60°，
∵ON＝OB，
∴△NOB是等边三角形，
∴NO＝NB，
∵＝，
∴OM⊥AB，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠KOB＝45°，
∵∠OKB＝90°，
∴∠KOB＝∠KBO＝45°，
∴KO＝KB，
∴NK垂直平分线段OB．
7．（2019·全国初三课时练习）如图，是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出圆心(用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不用证明)．

【答案】见解析
【解析】
①在残缺的圆弧上，任选三点，连接相邻的两点；
②作两条线段的垂直平分线，相交于一点．
交点即是圆心的位置．
8．（2018·南海实验学校初三期中）如图，某地有一座圆弧形拱桥，
（1）如图1，请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O；

（2）如图2，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．桥下水面宽度AB为7.2 m，现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.

【答案】（1）详见解析；（2）此货船能顺利通过这座拱桥．
【解析】解：（1）

（2）如图，连接ON，OB.

∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．
∵AB＝7.2 m，
∴BD＝AB＝3.6 m.
设OB＝OC＝ON＝r m，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9，
∴OD＝r－2.4＝1.5(m)．
∵船宽3 m，根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5 m，
∴OE＝＝＝3.6(m)，
∴FN＝DE＝OE－OD＝2.1m＞2 m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．