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人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案设计，共11页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。
二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】
（1）从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
（2）从函数观点看一元二次不等式．
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
【学习重难点】
二次函数与一元二次方程和不等式的关系。
【学习过程】
一、自主学习
知识点：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根
有两个不相等的实数根x1，x2（x1
没有实数根
ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集
{x|xx2}
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集
{x|x1
∅
一元二次不等式的解法：
（1）图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c<0（a≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则x>q或x
教材P50思考
能．可以从2个角度来看
①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．
②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
基础自测：
1．下列不等式中是一元二次不等式的是（ ）
A．a2x2＋2≥0
B．<3
C．－x2＋x－m≤0
D．x3－2x＋1>0
解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．
答案：C
2．不等式x（x＋1）≤0的解集为（ ）
A．[－1，＋∞）
B．[－1，0）
C．（－∞，－1]
D．[－1，0]
解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D．
答案：D
3．函数y＝的定义域为（ ）
A．[－7，1]
B．（－7，1）
C．（－∞，－7]∪[1，＋∞）
D．（－∞，－7）∪（1，＋∞）
解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即（x＋7）（x－1）<0，所以－7
4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．
解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为（x＋1）2≤0，解得x＝－1．
答案：{－1}
二、素养提升
题型一：解不含参数的一元二次不等式（教材P52例1、2、3）
例1：（1）求不等式x2－5x＋6>0的解集．
（2）求不等式9x2－6x＋1>0的解集．
（3）求不等式－x2＋2x－3>0的解集．
解析：（1）对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x1＝2，x2＝3．
画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象（图1），结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2，或x>3}．
（2）对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝．
画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象（图2），结合图象得不等式9x2－6x＋1>0的解集为
（3）不等式可化为x2－2x＋3<0．
因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．
画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象（图3）．
结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅．
因此，原不等式的解集为∅．
因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．
教材反思
我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0（a>0）形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．
跟踪训练1：解下列不等式：
（1）x2－7x＋12>0；
（2）－x2－2x＋3≥0；
（3）x2－2x＋1<0；
（4）－2x2＋3x－2<0．
解析：（1）因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4．再根据函数y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
（2）不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0．因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1．再根据函数y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
（3）因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1．再根据函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅．
（4）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．
―→
题型二：三个“二次”之间的关系
例2：已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为∪．
方法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2
→→
方法归纳：
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
（2）若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2：已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
解析：因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2
题型三：含参数的一元二次不等式的解法
例3：解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0．
解析：对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝（a＋4）（a－4）．
①当a>4或a<－4时，Δ>0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝（－a－），x2＝（－a＋）．
∴原不等式的解集为
．
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4
方法归纳：
含参数一元二次不等式求解步骤
（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；
（2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；
（3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
跟踪训练3 解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0．
解析：原不等式可变形为（x－a）·（x－a2）>0，则方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，
（1）当a<0时，有aa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
（2）当0a2，即xa，此时原不等式的解集为{x|xa}；
（3）当a>1时，有a2>a，即xa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
（4）当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
（5）当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
→→→
题型四：一元二次不等式的实际应用[经典例题]
例4：某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收入r（x）满足r（x）＝
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？
解析：（1）依题意得g（x）＝x＋3，设利润函数为f（x），则
f（x）＝r（x）－g（x），所以f（x）＝
要使工厂有盈利，则有f（x）>0，因为f（x）>0⇒或⇒
或⇒或则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．
（2）当3＜x≤7时，f（x）＝－0.5（x－6）2＋4.5，故当x＝6时，f（x）有最大值4.5，而当x＞7时，f（x）＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．
（1）求利润函数f（x）⇒解不等式f（x）>0⇒回答实际问题．
（2）根据第（1）题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．
方法归纳：
解不等式应用题的四步骤：
（1）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
（2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
（3）求：解不等式．
（4）答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练4：某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解析：（1）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为a（1＋2x%）万担，收购总金额为200a（1＋2x%）
依题意得，y＝200a（1＋2x%）（10－x）%
＝a（100＋2x）（10－x）（0
依题意得，a（100＋2x）（10－x）≥20a×83．2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2．
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2．
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：
原计划
降税后
价格（元/担）
200
200
税率
10%
（10－x）%（0
a
a（1＋2x%）
收购总金额（万元）
200a
200·a（1＋2x%）
税收y（万元）
200a·10%
200·a（1＋2x%）（10－x）%
三、学业达标
（一）选择题
1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为（ ）
A．
B．
C．∅
D．R
解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y＝3x2－2x＋1开口向上，与x轴无交点，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集为R．
答案：D
2．设m＋n>0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）>0的解集是（ ）
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－n
D．{x|－m
3．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为（ ）
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1·x2＝×＝．解得a＝－6，c＝－1．
答案：B
4．若不等式x2＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）
B．（－∞，2）
C．（－∞，0）∪（2，＋∞）
D．（0，2）
解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m2－4×1×<0，即m2－2m<0，解得0
（二）填空题
5．不等式（2x－5）（x＋3）<0的解集为________．
解析：方程（2x－5）（x＋3）＝0的两根为x1＝，x2＝－3，函数y＝（2x－5）（x＋3）的图象与x轴的交点坐标为（－3，0）和，所以不等式（2x－5）（x＋3）<0的解集为．
答案：
6．不等式<0的解集为________．
解析：原不等式可以化为（2x－1）（2x＋1）<0，
即<0，
故原不等式的解集为．
答案：
7．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗？若“能”，当长＝________m，宽＝________m时，所围成的矩形的面积最大．
解析：设矩形一边的长为xm，则另一边的长为（50－x）m，0600，即x2－50x＋600<0，解得20
（三）解答题
8．解下列不等式：
（1）x2＋2x－15>0；
（2）x2－3x＋5>0；
（3）4（2x2－2x＋1）>x（4－x）．
解析：（1）x2＋2x－15>0⇔（x＋5）（x－3）>0⇔x<－5或x>3，所以不等式的解集是{x|x<－5或x>3}．
（2）因为Δ＝（－3）2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y＝x2－3x＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R．
（3）由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2．
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0．
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝．
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为．
9．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解析：由题意知所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0（a<0）．
即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，
所以所求不等式的解集为{x|－3
10．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0．
解析：方程x2－ax－2a2＝0的判断式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a．
（1）若a>0，则－a
综上所述，原不等式的解集为：
当a>0时，{x|－a
二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】
（1）从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
（2）从函数观点看一元二次不等式．
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
【学习重难点】
二次函数与一元二次方程和不等式的关系。
【学习过程】
一、自主学习
知识点：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根
有两个不相等的实数根x1，x2（x1
没有实数根
ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集
{x|x
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集
{x|x1
∅
一元二次不等式的解法：
（1）图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c<0（a≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p
教材P50思考
能．可以从2个角度来看
①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．
②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
基础自测：
1．下列不等式中是一元二次不等式的是（ ）
A．a2x2＋2≥0
B．<3
C．－x2＋x－m≤0
D．x3－2x＋1>0
解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．
答案：C
2．不等式x（x＋1）≤0的解集为（ ）
A．[－1，＋∞）
B．[－1，0）
C．（－∞，－1]
D．[－1，0]
解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D．
答案：D
3．函数y＝的定义域为（ ）
A．[－7，1]
B．（－7，1）
C．（－∞，－7]∪[1，＋∞）
D．（－∞，－7）∪（1，＋∞）
解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即（x＋7）（x－1）<0，所以－7
4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．
解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为（x＋1）2≤0，解得x＝－1．
答案：{－1}
二、素养提升
题型一：解不含参数的一元二次不等式（教材P52例1、2、3）
例1：（1）求不等式x2－5x＋6>0的解集．
（2）求不等式9x2－6x＋1>0的解集．
（3）求不等式－x2＋2x－3>0的解集．
解析：（1）对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x1＝2，x2＝3．
画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象（图1），结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2，或x>3}．
（2）对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝．
画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象（图2），结合图象得不等式9x2－6x＋1>0的解集为
（3）不等式可化为x2－2x＋3<0．
因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．
画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象（图3）．
结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅．
因此，原不等式的解集为∅．
因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．
教材反思
我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0（a>0）形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．
跟踪训练1：解下列不等式：
（1）x2－7x＋12>0；
（2）－x2－2x＋3≥0；
（3）x2－2x＋1<0；
（4）－2x2＋3x－2<0．
解析：（1）因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4．再根据函数y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
（2）不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0．因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1．再根据函数y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
（3）因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1．再根据函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅．
（4）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．
―→
题型二：三个“二次”之间的关系
例2：已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2
方法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2
→→
方法归纳：
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
（2）若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2：已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
解析：因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2
题型三：含参数的一元二次不等式的解法
例3：解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0．
解析：对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝（a＋4）（a－4）．
①当a>4或a<－4时，Δ>0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝（－a－），x2＝（－a＋）．
∴原不等式的解集为
．
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4
方法归纳：
含参数一元二次不等式求解步骤
（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；
（2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；
（3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
跟踪训练3 解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0．
解析：原不等式可变形为（x－a）·（x－a2）>0，则方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，
（1）当a<0时，有a
（2）当0
（3）当a>1时，有a2>a，即x
（4）当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
（5）当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x
当0
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
→→→
题型四：一元二次不等式的实际应用[经典例题]
例4：某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收入r（x）满足r（x）＝
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？
解析：（1）依题意得g（x）＝x＋3，设利润函数为f（x），则
f（x）＝r（x）－g（x），所以f（x）＝
要使工厂有盈利，则有f（x）>0，因为f（x）>0⇒或⇒
或⇒或则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．
（2）当3＜x≤7时，f（x）＝－0.5（x－6）2＋4.5，故当x＝6时，f（x）有最大值4.5，而当x＞7时，f（x）＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．
（1）求利润函数f（x）⇒解不等式f（x）>0⇒回答实际问题．
（2）根据第（1）题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．
方法归纳：
解不等式应用题的四步骤：
（1）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
（2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
（3）求：解不等式．
（4）答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练4：某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解析：（1）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为a（1＋2x%）万担，收购总金额为200a（1＋2x%）
依题意得，y＝200a（1＋2x%）（10－x）%
＝a（100＋2x）（10－x）（0
依题意得，a（100＋2x）（10－x）≥20a×83．2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2．
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2．
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：
原计划
降税后
价格（元/担）
200
200
税率
10%
（10－x）%（0
a
a（1＋2x%）
收购总金额（万元）
200a
200·a（1＋2x%）
税收y（万元）
200a·10%
200·a（1＋2x%）（10－x）%
三、学业达标
（一）选择题
1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为（ ）
A．
B．
C．∅
D．R
解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y＝3x2－2x＋1开口向上，与x轴无交点，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集为R．
答案：D
2．设m＋n>0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）>0的解集是（ ）
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－n
D．{x|－m
3．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为（ ）
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1·x2＝×＝．解得a＝－6，c＝－1．
答案：B
4．若不等式x2＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）
B．（－∞，2）
C．（－∞，0）∪（2，＋∞）
D．（0，2）
解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m2－4×1×<0，即m2－2m<0，解得0
（二）填空题
5．不等式（2x－5）（x＋3）<0的解集为________．
解析：方程（2x－5）（x＋3）＝0的两根为x1＝，x2＝－3，函数y＝（2x－5）（x＋3）的图象与x轴的交点坐标为（－3，0）和，所以不等式（2x－5）（x＋3）<0的解集为．
答案：
6．不等式<0的解集为________．
解析：原不等式可以化为（2x－1）（2x＋1）<0，
即<0，
故原不等式的解集为．
答案：
7．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗？若“能”，当长＝________m，宽＝________m时，所围成的矩形的面积最大．
解析：设矩形一边的长为xm，则另一边的长为（50－x）m，0
（三）解答题
8．解下列不等式：
（1）x2＋2x－15>0；
（2）x2－3x＋5>0；
（3）4（2x2－2x＋1）>x（4－x）．
解析：（1）x2＋2x－15>0⇔（x＋5）（x－3）>0⇔x<－5或x>3，所以不等式的解集是{x|x<－5或x>3}．
（2）因为Δ＝（－3）2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y＝x2－3x＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R．
（3）由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2．
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0．
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝．
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为．
9．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解析：由题意知所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0（a<0）．
即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，
所以所求不等式的解集为{x|－3
10．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0．
解析：方程x2－ax－2a2＝0的判断式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a．
（1）若a>0，则－a
综上所述，原不等式的解集为：
当a>0时，{x|－a
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