高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步练习题

课时分层作业(十三)　一元二次不等式的应用

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．不等式≥0的解集为(　　)

A．{x|－1<x≤1}　　 B．{x|－1≤x<1}

C．{x|－1≤x≤1}   D．{x|－1<x<1}

B　[原不等式⇔

∴－1≤x<1.]

2．不等式<0的解集为(　　)

A．{x|－1<x<2或2<x<3}

B．{x|1<x<3}

C．{x|2<x<3}

D．{x|－1<x<2}

A　[原不等式⇔

∴－1<x<3且x≠2.]

3．不等式组有解，则实数a的取值范围是(　　)

A．－1＜a＜3   B．a＜－1或a＞3

C．－3＜a＜1   D．a＜－3或a＞1

A　[由题意得，a2＋1<x<4＋2a.

∴只须4＋2a>a2＋1，即a2－2a－3<0，

∴－1<a<3.]

4．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要.]

5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．－1<a<1   B．0<a<2

C．－<a<   D．－<a<

C　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，

∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，

即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，

所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，

解得－<a<，故选C.]

二、填空题

6．当1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．

m≤－5　[设y＝x2＋mx＋4，要使1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．

则有解得m≤－5.]

7．若0＜a＜1，则不等式(a－x)＞0的解集是________．

　[原不等式为(x－a)＜0，

由0＜a＜1，得a＜，∴a＜x＜.]

8．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．

3≤t≤5　[设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400××t%＝60(8t－t2)．

令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]

三、解答题

9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?

[解]　(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

∴解得a＝3.

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，

即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，

∴所求不等式的解集为.

(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6.

10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

[解]　(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为

y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．

(2)依题意，有

整理，得

解此不等式，得0.60≤x≤0.75.

∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.

[等级过关练]

1．下列选项中，使不等式x<<x2成立的x的取值范围是(　　)

A．x＜－1   B．－1＜x＜0

C．0＜x＜1   D．x＞1

A　[法一：取x＝－2，知符合x<<x2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B，C，D.

法二：由题知，不等式等价于·<0，即<0，从而<0，解得x<－1，选A.]

2．若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．－3＜k＜0   B．－3≤k＜0

C．－3≤k≤0   D．－3＜k≤0

D　[当k＝0时，显然成立；

当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则解得－3＜k＜0.

综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是－3＜k≤0.]

3．不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________．

{x|0＜x＜2}　[不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2，故不等式的解集为{x|0＜x＜2}．]

4．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数k的取值范围为________．

－8≤λ≤4　[因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，

所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，

即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，

由二次不等式的性质可得，

Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，

所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.]

5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且不等式ax2＋bx＋c＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}．

(1)若方程ax2＋bx＋c＋6a＝0有两个相等的实根，求y＝ax2＋bx＋c的函数式；

(2)若y＝ax2＋bx＋c的最大值为正数，求a的取值范围．

[解]　(1)∵ax2＋bx＋c＋2x＞0的解集为(1,3)，

∴ax2＋(b＋2)x＋c＝a(x－1)(x－3)且a＜0，

ax2＋bx＋c＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①

又∵ax2＋bx＋c＋6a＝0化简为ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，

有两个相等的实根，

∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0，

即5a2－4a－1＝0，解得a＝－或a＝1(舍去)．

将a＝－代入①得y＝－x2－x－.

(2)由y＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a2－及a＜0，

可得y的最大值为－，由解得a＜－2－或－2＋＜a＜0，

故当y的最大值为正数时，实数a的取值范围是a＜－2－或－2＋＜a＜0.