人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式教学设计

课程目标

学科素养

A.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式；

B.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题；

C.了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想。

1.数学抽象：利用单位圆找不同角的关系；

2.逻辑推理：诱导公式的推导；

3.数学运算：有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1. 任意角三角函数的定义

【答案】设角它的终边与单位圆交于点。

那么（1）

（2）

2.诱导公式一

，其中，。

终边相同的角的同一三角函数值相等

二、探索新知

思考1：

（1）.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?

【答案】相等

（2）.角 -α与α的终边 有何位置关系?

【答案】终边关于x轴对称

（3）.角与α的终边 有何位置关系?

【答案】终边关于y轴对称

（4）.角与α的终边 有何位置关系?

【答案】终边关于原点对称

思考2：    已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么?

【答案】点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y)

        点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y)

        点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)

探究一 如图， 角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系？

角π +  与角 的终边关于原点O对称，

，

（公式二）

sin(π + ) = sin ，

cos(π + ) = cos ，

tan(π + ) = tan 。

探究二   角与的三角函数值之间有什么关系

角 与角 的终边关于x轴对称，有。。

（公式三）  sin() = sin ，

            cos() =  cos ，

tan() = tan 。

探究三   根据上两组公式的推导，你能否推导出角与角的三角函数值之间的关系？

角与角的终边关于轴对称，故有

所以，（公式二）

sin(π - ) = sin ，

cos(π - ) = cos ，

tan(π - ) = -tan 。

思考3：这四个诱导公式有什么规律？

的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．

总结为一句话：函数名不变，符号看象限。

例1.求下列三角函数值

(1)cos225°;(2)sin;(3)sin();(4)tan(-2 040°).

    活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.

解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;

(2)sin=sin(2π)=sin=sin=sin=;

(3)sin()=-sin=-sin(5π+)

=-(-sin)=;

(4)tan(-2 040°)=-tan2 040°=-tan(6×360°-120°)

=tan120°=tan(180°-60°)

=-tan60°=.

思考4：通过例题，你对诱导公式一、二、三、四有什么进一步的认识？你能归纳任意角的三角函数化为锐角三角函数的步骤吗？

利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:

上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.

例2.化简：

解析见教材

探究四  作P（x,y)关于直线的对称点P1,以OP1为终边的角与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？

，

，

公式五  

探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5，又能得到什么结论？

。

，

公式六 

思考5：你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？

   【答案】  的正弦(余弦)函数值,分别等于α的

余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

思考6：诱导公式可统一为的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？

【答案】口诀：奇变偶不变，符号看象限

口诀的意义：

例3.证明：

。

解析见教材

例4 化简

解析见教材

例5  已知，且 ，求的值。

解析见教材

通过复习上节所学任意角三角函数的定义与诱导公式一，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过思考让学生了解角终边之间的关系，为推导诱导公式作铺垫，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过探究，由图形观察角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式二，提高学生分析问题、概括能力。

通过探究，由图形观察角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式三，提高学生分析问题、概括能力。

通过探究，由图形观察角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式三，提高学生分析问题、概括能力。

通过思考，寻找这四个诱导公式的共同规律，提高学生分析问题、概括能力。

通过例题练习诱导公式，进一步理解诱导公式的作用，提高学生解决问题的能力。

通过思考总结用诱导公式求任意角三角函数值的步骤，提高学生解决问题的能力。

通过探究，由图形观察角和角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式五、六，提高学生分析问题、概括能力。

通过思考，寻找诱导公式的共同规律，提高学生分析问题、概括能力。

通过例题的讲解，让学生进一步理解用诱导公式化简三角函数关系式、求任意角的三角函数值，提高学生解决与分析问题的能力。

三、达标检测

1．下列各式不正确的是(　　)

A．sin(α＋180°)＝－sin α

B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)

C．sin(－α－360°)＝－sin α

D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)

【解析】　cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B项错误．

【答案】　B

2．sin 600°的值为(　　)

A． B．－

C． D．－

【解析】　sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°

＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.故选D．

【答案】　D

3．cos 1 030°＝(　　)

A．cos 50° B．－cos 50°

C．sin 50° D．－sin 50°

【解析】　cos 1 030°＝cos(3×360°－50°)

＝cos(－50°)＝cos 50°.

【答案】　A

4．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三角限角 D．第四象限角

【解析】　由于sin＝cos θ<0，

cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B．

【答案】　B

5．已知sin φ＝，求cos＋sin(3π－φ)的值.

【解】　∵sin φ＝，

∴cos＝cos

＝cos

＝cos＝sin φ＝，

∴cos＋sin(3π－φ)＝＋sin(π－φ)

＝＋sin φ＝.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 诱导公式；

2.诱导公式的记忆；

3.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤。

五、作业

习题5.3   4,6题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。