高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数导学案

                第四章  指数函数与对数函数

                4.2.2 指数函数的图像和性质

1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。
2.探索并理解指数函数的单调性和特殊点。
3.理解指数函数的图像与性质，能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。                            

教学重点：指数函数的图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质及其应用。

指数函数的图像与性质

（一）、提出问题

你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？

（二）、探索新知

问题１　用描点法作函数

1.列表   2.描点     3.连线.

用描点法作函数

观察这四个图像有何特点？

问题1：图象分别在哪几个象限？

问题2：图象的上升、下降与底数a有联系吗？

问题3：图象有哪些特殊的点？

问题4：图象定义域和值域范围？

（三）典例解析

例3：说出下列各题中两个值的大小：

(1)1.72.5__ 1.73；(2)0.8—1__0.8—2；(3)1.70.5__ 0.82.5

例4：如图，某城市人口呈指数增长．

（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；

（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？

1．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　)

A．(－1,1)   B．(－1，＋∞)   C．(0,1)∪(1，＋∞)   D．(－∞，－1)

2．下列判断正确的是(　　)

A．1.72.5＞1.73    B．0.82＜0.83   C．π2＜π   D．0.90.3＞0.90.5

3．函数y＝1－x的单调增区间为(　　)

A．R        B．(0，＋∞)    C．(1，＋∞)   D．(0,1)

4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________.

5．设f(x)＝3x，g(x)＝x.

(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；

(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？

6．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点.

(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；

(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．

1、指数函数的图像及其性质；

2、指数比较大小的方法；

参考答案：

二、学习过程

（三）典例解析

例3.解：① ∵函数y=1.7x在R上是增函数，又∵ 2.5 < 3  ，∴1.72.5  < 1.73

② ∵函数y=0.8x在R上是减函数，又∵ -1  >  -2  ，∴ 0.8—1 < 0.8 — 2

③  ∵ 1.7 0.5   > 1.70  =  1= 0.80 >0.8 2.5  ， ∴1.70.5 > 0.82.5

例4.分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中

选取适当的点计算倍增期．

（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．

解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．

（２）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．

三、达标检测

1【答案】D　[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.]

2【答案】D　[∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]

3【答案】A　[令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是减函数，又y＝u(x)是减函数，

故y＝1－x在R上单调递增，故选A.]

4【答案】m<n　[∵a＝∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n.]

5【答案】　(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：

(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3，f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π，

f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.

从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．

6【答案】　(1)由已知得a2＝，解得a＝，因为f(x)＝x在R上递减，则2≤b2＋2，

所以f(2)≥f(b2＋2)．

(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以x2－2x≤3，即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]．