高中人教A版 (2019)4.3 对数学案及答案

第四章  指数函数与对数函数

4.4.2 对数函数的图像和性质

1.掌握对数函数的图像及性质；

2.会运用对数函数的图像与性质解决简单问题．

重点：探究对数函数的图像及性质.

难点：会求对数函数的定义域．

1．对数函数的图象及性质

2．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logx(a>0且a≠1)互为反函数．

一、问题探究

思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？

问题1. 利用“描点法”作函数和的图像．

函数的定义域为，取x的一些值,列表如下：

问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如  和的图像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？

发现：函数和的图像都在y轴的右边,它们关于轴对称   

问题3：底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？

 由此你能概括出对数函数（a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？

结论1．函数和的图像都在y轴的右边；   

2．图像都经过点；

3．函数的图像自左至右呈上升趋势；函数的图像自左至右呈下降趋势．

观察两幅图象，得到a>1和0<a<1时对数函数的图象和性质。

对数函数的性质的助记口诀:

对数增减有思路,  函数图象看底数; 底数只能大于0,   等于1来也不行;

底数若是大于1,   图象从下往上增;底数0到1之间,    图象从上往下减;

无论函数增和减,  图象都过(1,0)点.

二、典例解析

例1 比较下面两个值的大小

⑴ ，；⑵ ，⑶ ，( a＞0 , a≠1 )

归纳总结：1.当底数相同时,利用对数函数的单调性比较大小.

2.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类讨论.

跟踪训练1: 比较下列各题中两个值的大小:

 ⑴ log106       log108 ；   ⑵ log0.56        log0.54

⑶ log0.10.5        log0.10.6；⑷ log1.51.6        log1.51.4

跟踪训练2：已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：

 (1) log 3 m < log 3 n；             (2) log 0.3 m > log 0.3 n

 (3) log a m < loga n  (0<a<1)；    (4) log a m > log a n  (a>1)

反函数：已知函数 y=2x （x∈R ，y ∈（0，+∞）） 可得到x=log2y ，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y  ，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y      （y∈（0，+∞））是函数 y=2x   （   x∈R） 的反函数。

     但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y  中的字母x，y，把它写成y=log2x  ,这样，对数函数y=log2x （ x∈（0，+∞） ）是指数函数y=2x （x∈R ）的反函数。

因此，函数 y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。它们的定义域和值域恰好相反。

1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)

A．5　　　　　　　B.         C.             D.

2.当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)

   A　　　　          B　　　　         C　　　　  　D

3.已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.

4．函数f(x)＝loga(2x－5)的图象恒过定点________．

5.比较下列各组数中两个值的大小:

6:解不等式:

1．对数函数的图象及性质

2．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logx(a>0且a≠1)互为反函数．

3.思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；数形结合思想方法是研究函数图像和性质；

参考答案：

二、学习过程

典例1 解析：（1）:用对数函数的单调性，考察函数y=log 2 x  ∵a=2 > 1,

∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.4<8.5，∴ log23.4< log28.5

（2）：考察函数y=log 0.3 x  , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；

∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7 

（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的两个函值  , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论

当a > 1时, 因为y=log a x是增函数，且5.1 <5.9，所以log a 5.1 < log a 5.9 ；

当0< a < 1时, 因为y=log a x是减函数，且5.1 <5.9，所以log a 5.1 > log a 5.9 ；

跟踪训练1  答案：＜；＜；＞；＞

跟踪训练2 答案：m < n；m < n；m > n；m > n

例2.

三、达标检测

1.【答案】A　[由图可知，a>1，故选A.]

2.解析：C　[(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]

3.解析：　∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，

∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．

4.【答案】(3,0)　[由2x－5＝1得x＝3，∴f(3)＝loga1＝0.即函数f(x)恒过定点(3,0)．]

5解:(1)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76

(2)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8

6.解：原不等式可化为：，