北京市海淀区2022届高三下学期数学二模试卷及答案

 高三下学期数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B．

C．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x≤1}

2．在的展开式中，的系数为（　　）

A．-2 B．2 C．-6 D．6

3．已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．

4．已知，且，则（　　）

A． B． C． D．

5．若是奇函数，则（　　）

A． B．

C． D．

6．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（　　）

A．是等差数列 B．是等比数列

C．是等差数列 D．是等比数列

7．已知向量，.若，则可能是（　　）

A． B． C． D．

8．设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（　　）

A．9、15 B．6、18 C．4、11、18 D．6、12、18

10．在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个

①；②直线与平面所成角不变；③点到直线的距离不变；④点到四点的距离相等.

其中，所有正确结论的序号为（　　）

A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④

二、填空题

11．已知均为实数.若，则　     　．

12．不等式的解集为　           　．

13．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：

①；

②；

③，使得当时，总有

④，使得当时，总有．

其中，所有正确结论的序号是　     　

14．已知圆，则圆的半径为　     　；若直线被圆截得的弦长为1，则　     　．

15．已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数的最大值为　     　；若的值域为，则a的最小值为　     　．

三、解答题

16．如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，，点是的中点.

（1）求证：面；

（2）求到平面的距离.

17．在中，．

（1）若，求；

（2）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积

条件①：；条件②：

18．PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测

（1）现从制造业的10个观测组中任取一组，

（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50.0的概率；

（ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列与数学期望；

（2）用表示第月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份．

19．椭圆的左顶点为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程.

20．已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）当时，恒成立，求的取值范围.

21．已知有限数列共M项，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列的各项和记为．

（1）若，直接写出的值；

（2）若，求的最大值；

（3）若，求的最小值

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】C

8．【答案】A

9．【答案】D

10．【答案】C

11．【答案】0

12．【答案】（-∞，0）

13．【答案】①②③

14．【答案】1；

15．【答案】；π

16．【答案】（1）证明：由底面是菱形，可得，又面，面，故面

（2）解：由（1）知面，故到平面的距离即点到平面的距离，设为，连接，取中点，连接，

易得且，则底面，又，则，故，

又，故，

又，故，，

又因为，即，解得，即到平面的距离为.

17．【答案】（1）解：由正弦定理得：，又，故，又，故，

（2）解：若选①：由正弦定理得：，又，故，此时不存在；

若选②：由，又，则，，由余弦定理得，

即，解得或（舍去），故的面积为

18．【答案】（1）解：（ⅰ）从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有

，共有10个，

设“组内三个PMI值至少有一个低于50.0”为事件，则事件包含的结果有共4个，

由古典概型的计算公式，得

（ii）的可能取值为，

，，.

的分布列为

所以随机变量的数学期望

（2）解：月份

19．【答案】（1）解：由题意知：，则，故椭圆的方程为

（2）解：设，又，故，又直线经过点，故的方程为，

联立椭圆方程可得，显然，，

则，

又，由，可得，

解得或，

故直线的方程为或

20．【答案】（1）解：，当时，，，，，

故曲线在点处的切线方程为，即

（2）解：易得定义域为，当时，，令，或，

当或时，单调递减；当或时，单调递增；

故的单增区间为，单减区间为

（3）解：“，即”是“当时，恒成立”的必要条件.

当，时，，令，

由（2）知，在单调递减，在单调递增，故，

即，所以的取值范围是

21．【答案】（1）解：

（2）解：①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，1，此时.

②当存在连续三项为1，1，1时，本题中有两条边为1，1的等腰三角形仅有1，1，1，即数列只有3项，与矛盾，舍去.

③当不存在连续三项为1，1，1时，连续三项（不考虑这三项的顺序）共以下6种可能：

1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3.

又相邻的4项组成的2个等腰三角形中间2项是共用的，则总的项数为不同的等腰三角形的个数加上首尾2项，所以.

④由①②③，M的最大值为8.

（3）解：①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此时.

②设T为数列的每一组连续三项的和的和，则

，即.

③连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：

其中画横线的连续三项不能同时满足和前一项、后一项构成3个等腰三角形，故必为数列的首三项或尾三项，

故其对应的三角形在14个三角形中至多出现两个.

④由③，要使最小，则使和最小，在画横线的连续三项中取和最小的2组，

在没画横线的连续三项中取合最小的12组，同时令，

则，

，又由②，，

所以.

⑤由①④，S的最小值为50.