北京延庆区2022届高三下学期数学质量监测试卷及答案

 高三下学期数学质量监测试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．{2}

C． D．

2．在复平面内，复数，则对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．的展开式中，常数项为

A．-60 B．-15 C．15 D．60

4．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知，则（　　）

A． B．

C． D．

6．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点. 若，则点的坐标为（　　）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

8．已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值为（　　）

A．2 B．1 C．0 D．不存在

9．已知函数，且，则的零点个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．已知曲线的方程为，直线的方程为．当直线与曲线有两个交点时，实数的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．函数的定义域是　         　．

12．已知函数的两个相邻零点之间的距离是，则　     　．

13．已知函数在区间上存在最小值，则实数　     　．

14．已知向量序列：和向量满足：，，．定义（），则最小值为　     　．

15．数列是公比为的等比数列，为其前项和. 已知，， 给出下列四个结论：

① ；

②若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是；

③若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是；

④若存在使得的乘积最小，则的值只能是．

其中所有正确结论的序号是　     　.

三、解答题

16．如图，在正方体中，为棱的中点，棱交平面于点．

（1）求证：平面平面；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值．

17．在中，，．

（1）求；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.

条件①：；

条件②：边上的中线；

条件③：的周长为．

18．2022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰雪运动，这是对国际奥林匹克运动发展的巨大贡献.2020《中国滑雪产业白皮书》显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（单位：万人次）数据如下表：

（1）从滑雪人次排名前10名的省份中随机抽取1个省份，求该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；

（2）从滑雪人次排名前5名的省份中随机选取3个省份，记这3个省份中2020-2021的滑雪人次超过150万人次的省份数为X，求X的分布列和数学期望；

（3）记表格中2020-2021，2019-2020两组数据的方差分别为与，试判断和的大小．结论不要求证明

19．已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的极值和单调区间；

（3）若在上不是单调函数，且在上恒成立，求实数的取值范围．

20．已知椭圆的长轴长为，离心率为，其中左顶点为，右顶点为，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点，. 求证：为定值.

21．已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令，并将数列称为的“生成数列”．

（1）若，求数列的前项和；

（2）设数列的“生成数列”为，求证：；

（3）若是等比数列，证明：存在正整数，当时，   是等比数列．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】A

5．【答案】A

6．【答案】D

7．【答案】A

8．【答案】B

9．【答案】C

10．【答案】B

11．【答案】

12．【答案】1

13．【答案】2

14．【答案】

15．【答案】①②③

16．【答案】（1）证明：在正方体中，平面.

因为平面，所以．

又因为是正方形，所以．

又因为，所以平面．

又平面，所以平面平面

（2）证明：在正方体中，平面平面.

又平面平面，平面平面，则．

又因为且，所以是平行四边形．所以．

所以.

（3）解：因为底面，，所以两两垂直. 以所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系．设正方体边长为，

则，

，，．

设平面的一个法向量为，

由得

令， 得.

因为平面，所以是平面的一个法向量

所以．

由图可知，二面角的余弦值

17．【答案】（1）解：因为，

由正弦定理可得．

所以，或．

因为，所以不满足题意舍去，

所以，所以．

所以

（2）解：选条件①：，由（1），，但，矛盾，三角形无解；

选条件②：因为边上的中线

由（1）可知，，．所以

由余弦定理可得 ．

解得．

所以．

选条件③：的周长为．

由（1）可知，，． 所以 ，

，

所以.

解得.

所以

18．【答案】（1）解：由表格可知，滑雪人次排名前十的省份中2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的频率为．

设事件从滑雪人次排名前十的省份中随机抽取1个省份，该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次．

所以；

（2）解：由题意可知，X的可能取值是．

，，，

所以X的分布列为

所以X的数学期望为=

（3）解：通过表格可以发现2020-2021，2019-2020两组数据中，2020-2021这一组数据比较分散不集中，

所以．

19．【答案】（1）解：当时，函数，．

所以，．

所以曲线在点处的切线方程

（2）解：函数定义域．

求导得.

①当时，因为，所以．

故的单调递减区间是，此时无极值.

②当时，变化时，变化如下表：

所以的单调递减区间是，单调递增区间是．

此时函数的极小值是，无极大值

（3）解：因为在不是单调函数，由第（2）可知此时，

且，

又因为在上恒成立，只需

即可，所以，

解得的取值范围是

20．【答案】（1）解：由已知得．所以．

又因为椭圆的离心率为，所以．所以．

所以，

所以椭圆的方程为

（2）证明：由得，

设，．

因为直线与椭圆交于不同的两点，，

所以．解得，

所以，，

直线的方程为.

令得．

直线的方程为.

令得.

又因为

，

所以

21．【答案】（1）解：因为，所以．

所以，

所以，，

所以，

因为，

所以数列是等比数列，

所以数列的前项和为：

（2）证明：由题意可知，，

所以，

所以．所以，

所以，

由“生成数列”的定义可得，

所以．

累加可得

（3）证明：由题意知．由（Ⅱ）可知．

① 当时，得，即，

所以，

所以.

即为公比等于1的等比数列，

②当时，令，则.

当时，显然．

若，则，与矛盾，

所以，即.

取，当时，

，显然是等比数列，

综上，存在正整数，使得时，是等比数列.