河南省豫北名校联盟2022届高三下学期理数第三次模拟考试试卷及答案

 高三下学期理数第三次模拟考试试卷

一、单选题

1．复数，则复数的虚部是（　　）

A． B． C． D．

2．设全集 则下图阴影部分表示的集合为（　　） 

A． B． C． D．

3．已知是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．党的十八夫以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族儿千年的贫困问题，取符历史性成就，同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年，下图为2013年至.2019年每年我国农村减贫人数的条形图． 

根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为（　　）

①平均每年减贫人数超过1300万；②每年减贫人数均保持在1100万以上；③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律；④历年减人数的中位数是1240（万人）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（　　）  

A． B． C． D．

6．已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （　　）  

A．24 B．26 C．28 D．30

7．已知直线 将圆 平分，且与直线 垂直，则 的方程为（　　）  

A． B．

C． D．

8．四边形 中， ，则 （　　）  

A．-1 B．1 C．-2 D．2

9．现有如下信息：
（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为．
（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．
（3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形．
由上述信息可求得（　　）

A． B． C． D．

10．已知抛物线 上一点 ， 为焦点，直线 交抛物线的准线于点 ，满足 则抛物线方程为（　　）  

A． B． C． D．

11．已知函数 的部分图象图所示，关于此函数的下列描述：① ；②③若 ，则 ，④若 ，则 ，其中正确的命题是（　　） 

A．②③ B．①④ C．①③ D．①②

12．已知函数 与函数 的图象交点分别为： ，…， ，则 （　　）  

A．-2 B．0 C．2 D．4

二、填空题

13．已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是　     　.

14．函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为　     　.

15．在中，，的面积为，为边的中点，当中线的长度最短时，边长等于　     　.

16．若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于，两点，则的取值范围是　         　．

三、解答题

17．已知数列的前n项和为，且成等差数列，

（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）记，若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．

18．已知函数的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.

19．如图，扇形AOB的半径为2，圆心角∠AOB＝120°．PO⊥平面AOB，PO=，点C为弧AB上一点，点M在线段PB上，BM＝2MP，且PA平面MOC，AB与OC相交于点N．

（1）求证：平面MOC⊥平面POB；

（2）求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值．

20．设为椭圆（）上任一点，，为椭圆的左右两焦点，短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形．

（1）求椭圆的离心率；

（2）直线：与椭圆交于、两点，直线，，的斜率依次成等比数列，且的面积等于，求椭圆的标准方程．

21．已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．

（1）求实数k的值；

（2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．求实数a的取值范围.

22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与轴的非负半轴重合．曲线的极坐标方程是，直线的极坐标方程是．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）设点，直线与曲线相交于点、，求的值．

23．设函数 .

（1）解不等式 ；

（2）若 对一切实数 均成立，求实数 的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】C

5．【答案】C

6．【答案】C

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】D

10．【答案】C

11．【答案】C

12．【答案】D

13．【答案】

14．【答案】12

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）证明：由构成等差数列，得，所以，两式相减得，

所以，又当n＝1时，，所以；当n＝2时，，解得，

满足，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即；

（2）解：由（1）可知，所以，故是以1为首项，2为公差的等差数列，

又因为，，

令，则，

即.

18．【答案】解：（Ⅰ）由图像知， ，∴，

由图像可知， ，   ∴， ∴，

∴， 又∵， ∴， ∴.

（Ⅱ）依题设， ，

∴，

即，

∴， 又， ∴.   ∴.

由（Ⅰ）知，

，

又∵， ∴， ∴，

∴的取值范围是.

19．【答案】（1）证明：∵PA平面MOC，PA在平面PAB内，平面PAB∩平面MOC＝MN，

∴PAMN，

∵BM＝2MP，

∴BN＝2AN，

在△AOB中，由余弦定理有，

＝，

∴，

又在△OBN中，∠OBN＝30°，

由余弦定理有，，

＝，

∴OB2+ON2＝BN2，

故OB⊥ON，又PO⊥平面ABC，ON在平面ABC内，

∴PO⊥ON，

又PO∩OB＝O，且PO，OB都在平面POB内，

∴ON⊥平面POB，又ON在平面MOC内，

∴平面MOC⊥平面POB；

（2）解：以点O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

则，，

设平面POA的一个法向量为，

则，可取；

设平面MOC的一个法向量为，则，可取，

∴，

∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为．

20．【答案】（1）解：由题意可知，所以；

（2）解：点，，则由，消，得，

因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，

由韦达定理得，，，

由题意知，，即，

所以，即，

设点到直线的距离为，则，

，

所以，解得．所以

即椭圆标准方程为．

21．【答案】（1）解： ＝，x＞0，

当x∈（0，e）时，＞0，f（x）递增；

当x∈（e，+∞）时，＜0，f（x）递减；

所以f（x）的极大值为f（e）＝，

故k＝1；

（2）解：根据题意，任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x），

即，

化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0，

令h（x）＝xex﹣alnx﹣ax﹣a，x＞0，

h（x）＝elnxex﹣alnx﹣ax﹣a＝elnx+x﹣a（lnx+x）﹣a，

令lnx+x＝t，t∈R，

设H（t）＝et﹣at﹣a，H'（t）＝et﹣a，

只需H（t）≥0，t∈R，

当a＜0时，当t＜0时，H（t）＜1﹣at﹣a，

所以H（）＜1﹣a（）﹣a＝0，不成立；

当a＝0时，H（t）≥0显然成立；

当a＞0时，由＝et﹣a，当t∈（﹣∞，lna），H（t）递减，t∈（lna，+∞），H（t）递增，

H（t）的最小值为H（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna，

由H（lna）＝﹣alna≥0，得0＜a≤1，

综上0≤a≤1；

22．【答案】（1）解：曲线化为：，

将代入上式，即，

整理，得曲线的直角坐标方程.

由，得，

将代入上式，化简得，

所以直线的直角坐标方程.

（2）解：由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），

即（为参数），

代入曲线的直角坐标方程，得，

整理，得，

所以，，

由题意知，.

23．【答案】（1）解：当 时， ，原不等式即为 ，

解得 ，∴ ；

当 时， ，原不等式即为 ，

解得 ，∴ ；

当 时， ，原不等式即为 ，

解得 ，∴ ；综上，原不等式的解集为{ 或 }.

（2）解： .当 时，等号成立.

的最小值为 ，要使 成立，∴ ，解得 ，∴ 的取值范围为 .