北京市昌平区2022届高三数学二模试卷及答案

这是一份北京市昌平区2022届高三数学二模试卷及答案，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三数学二模试卷一、单选题1．已知集合，则（　　）A． B．C． D．2．设复数z满足 ，则z= （　　）   A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i3．为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. 若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（　　）A．300 B．450 C．480 D．6004．记为等差数列的前项和，若，则（　　）A．4 B．7 C．8 D．95．已知双曲线的焦距为，其右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（　　）A． B． C． D．6．“”是“函数在区间上单调递减”的（　　）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（　　）A．// B．C．//平面 D．平面8．已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（　　）A．1 B． C．2 D．9．已知函数，则关于的不等式的解集是（　　）A． B． C． D．10．在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（　　）A．① B．①② C．②③ D．①②③二、填空题11．抛物线 的准线方程为　     　．12．展开式中常数项为　     　（用数字作答）.13．若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为　                  　.14．已知是△的边的中点，，，则　     　；　     　15．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则　     　；图中螺旋形图案的面积为　        　.三、解答题16．如图，在棱长为的正方体中，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.17．已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）求的解析式；（2）设，若在区间上的最大值为2，求的最小值．条件①：的最小值为-2；条件②：的图象经过点；条件③；直线是函数的图象的一条对称轴.注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量（件）30506060（1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；（2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望；（3）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小.（请直接写出结论）19．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与直线相交于点，求证：三点共线.20．已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值；（2）若函数无零点，求实数的取值范围；（3）当时，函数在处取得极小值，求实数的取值范围.21．已知数列，给出两个性质：①对于任意的，存在，当时，都有成立；②对于任意的，存在，当时，都有成立．（1）已知数列满足性质①，且，，试写出的值；（2）已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；（3）若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】12．【答案】6013．【答案】（答案不唯一）14．【答案】3；15．【答案】；16．【答案】（1）证明：在正方体中，因为平面，平面，所以，即.因为四边形是正方形，所以 .因为平面，所以平面.（2）解：如图，建立空间直角坐标系，则，所以.由（1）知，平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则所以.   令，则，所以 .所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（3）解：设点到平面的距离，，则.所以点到平面的距离为.17．【答案】（1）解：由题意，可得，选①②：由的最小值为，则，故.又，即且，所以.所以.选①③：由的最小值为-2，则，故.因为是的一条对称轴，则，，所以，且，则.所以.选②③：因为是的一条对称轴，则，，所以，且，则.所以.又，则.所以（2）解：，上，的最大值为，则，可得，所以的最小值为.18．【答案】（1）解：抽取的200件产品中优等品有30件，抽取优等品的频率是，用样本估计总体，从流水线上随机抽取一件产品，估计是优等品的概率为.（2）解：从流水线上随机抽取一件产品，估计利润大于20元的概率为.的可能取值为0，1，2，3.，，，分布列为0123的数学期望.（3）解：19．【答案】（1）解：根据题意， 解得.所以椭圆C的方程为：（2）解：由（1）知，.根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.由，得.根据题意，恒成立，设则.直线的方程为，令，得，所以.因为，则直线的斜率分别为，.又，，，.所以，所以三点共线.20．【答案】（1）解：因为函数，，所以，.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以.则，解得（2）解：由题意，，设.①当时，，在上单调递增，且，所以，所以在上无零点.②当时，令，得．当，即时，，在上单调递增，且，所以，所以在上无零点.当时，，符号变化如下，0+↘极小值↗所以.当，即时，，所以，所以在上无零点.当，即时，由，，所以至少存在一个零点，所以至少存在一个零点.综上，若无零点，实数的取值范围为（3）解：当时，，定义域为．则．由（2）可知，当时，，当时， ，所以当时，在上恒成立.此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得极小值．当时，，当时，，，所以，单调递减.此时不是极小值点．即时，不合题意．综上，满足条件的的取值范围为21．【答案】（1）解：因为数列满足性质①，且，所以，所以，又因为，即，所以，同理可得：（2）解：因为数列的通项公式为，所以，对于任意的，令，则，. 又，则，即.又，所以，即对于任意的.所以，对于任意的，令，则当时，都有成立，所以，数列满足性质①.（3）解：由题意，数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在，即对于任意的，存在，当时，都有成立，所以，当时，，即.对于任意的，有，对于任意的，有，，又当时，同时满足性质①②的存在且唯一，所以，当时，，所以，满足条件的数列是等差数列.