天津市河西区2022届高三下学期数学三模试卷及答案

高三下学期数学三模试卷

一、单选题

1．集合 ，集合 ，则 =（　　）  

A． B．

C． D．

2．命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的（　　）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：58、67、73、74、76、82、82、87、90、92、93、98，则这12名学生成绩的第三四分位数是（　　）

A．88分 B．89分 C．90分 D．91分

4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线上的一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　）

A． B． C． D．

5．已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，则（　　）

A． B． C． D．

6．已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，其体积为，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（　　）

A．π B．2π C．4π D．6π

7．函数的部分图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为

A．64 B．72 C．96 D．144

9．已知函数 若函数 的零点个数为2，则（　　）  

A． 或  B．

C． 或  D．

二、填空题

10．设复数满足（为虚数单位），则的值为　     　．

11．的展开式中，的系数是　     　.

12．若直线与圆相切，则实数　     　．

13．已知，为正实数，且，则的最小值为　     　.

14．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为　     　；取出的3件产品中次品的件数的期望是　     　.

15．在中，点､分别为､的中点，点为与的交点，若，，且满足，则　     　；　     　.

三、解答题

16．已知函数

（1）求 的最小正周期；  

（2）讨论 在区间 上的单调性；  

17．在正四棱柱中，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.

18．已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求；

（3）设数列的通项公式，求；

19．如图，已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个焦点为，是椭圆上一点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的上下顶点分别为，，是椭圆上异于､的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点.

①求证：；

②若的面积为，求的值；

20．已知函数(e为自然对数的底数).

（1）求函数的值域；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围；

（3）证明：.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】A

8．【答案】C

9．【答案】D

10．【答案】

11．【答案】-260

12．【答案】25

13．【答案】8

14．【答案】；

15．【答案】1；

16．【答案】（1）解：依题意， 

所以 .

（2）解：依题意，令 ， ，  

解得 ，

所以 的单调递增区间为 ， .

设 ， ，易知 ，

所以当 时， 在区间 上单调递增；

在区间 上单调递减.

17．【答案】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，

(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)

证明：设平面的法向量(，，)，

(1，1，0)，(0，1，1)

由，即，

取，得(1，-1，1)，

又(-1，1，2)，

因为，所以，

所以平面

（2）证明：由（1）可知(1，-1，1)，

(-1，1，-1)，，所以，

所以平面

（3）解：设点的坐标为(1，1，)，

(0，1，)，

设直线与平面所成角为，则

，

解得，

所以点的坐标为(1，1，1)，(1，1，1)，，

所以的长为.

18．【答案】（1）解：当时，有，解得，

，

，

两式相减，整理得：，

数列是以6为首项，3为公比的等比数列，

所以，

设数列的公差为，

，是和的等比中项，，

即，解得或2，

公差不为0，，

故

（2）解：，

（3）解：，，

∴

19．【答案】（1）解：设椭圆方程为，

由题意，得.因为，所以.

又是椭圆上的一个点，所以，

解得或(舍去)，

所以椭圆的标准方程为

（2）解：①解：因为，，则，且.

因为为线段中点，所以.

又，所以直线的方程为.

因为，∴

令，得，

又，为线段的中点，有，

所以.

因此，

.

所以.

②由①知，.

因为，

所以在中，，

因此，从而有，

解得.

20．【答案】（1）解：

，，，

所以，故函数在上单调递减，

故；，

所以函数的值域为

（2）解：原不等式可化为...(*)，

因为恒成立，故（*）式可化为，

令，，则，

①当时，，所以函数在上单调递增，

故，所以；

②当时，令，得，

当时，；当时，.

所以在上递减，在上递增，

1°当即时，

函数，

2°当即时，函数在上单调递减，

，解得

综上，

（3）证明：令则.

由，

故存在，使得即.

且当时，；当时，.

故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，

故函数

，

因为，所以，

故

所以