第一章《空间向量与立体几何》能力提升卷

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》能力提升卷

一、     单选题:

1.已知空间四点，，，共面，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在平行六面体中，，，则（    ）

A．1 B． C．9  D．3

3．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

4．已知平面内两向量，，若为平面的法向量且

，则，的值分别为（    ）

A．， B．， C．，        D．，

5．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径， ，且，

，，异面直线与所成角的正切值为（    ）

     A． B． C． D．

 6．已知三棱锥的所有棱长均为2，为 的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（    ）

A． B．   C．            D．

二、多选题:

7.设是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ）

A．若，，则

B．则两两共面，但不可能共面

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使

D．则，，一定能构成空间的一个基底

8.在正三棱柱中，，，点D为BC中点，则以下结论正确的是（    ）

A．         B．三棱锥的体积为

C． 且平面

D． 内到直线AC、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分

三、填空题：

9.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点， ，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为___________.

10．如图在正方体中，已知,,,为底面的的中心，为的重心，则______

11．设正方体的棱长为2， 为过直线的平面，则截该正方体的截面面积的取值范围是________.

12．已知共面的三个单位向量，，满足，若空间向量满足，且对于任意，，恒有，则____.

四.拓展题：

13.如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．

（1）证明： ；

（2）记二面角的大小为 ，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

五、创新题：

 14. 设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.

（1）设，，若，求向量；

（2）对于中的任意两个向量，，证明：；

（3）对于 中的任意单位向量，求的最大值.

六．探究题：

15.《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中， ，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.

（1）若P为的中点，求证：平面.

（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

同步练习答案

一、 单选题：

1. 答案：D

解析：依题意得，，，

、、 、四点共面，、、共面，

存在实数 、，使得，

即，

所以，   解得.      故选：D.

2．答案：D

解析：在平行六面体中，

有，，

由题知，，，，，

所以，，与的夹角为，

与的夹角为，与的夹角为，

所以    .

所以.    故选：D

 3．答案：C

解析：设与的夹角为 ．由，得，两边平方，得，    所以，解得，

又，所以，   故选：C．

4．答案：A

解析：因为，，

所以，

因为为平面的法向量，   所以，

即，    解得：，所以 ，的值分别为，，   故选：A.

5.答案：D

解析：由题意以 为轴建立空间直角坐标系，如图，

， ，，，    又 ，

．    则，

设异面直线与 所成角为，则，为锐角，

，所以．       故选：D．

6．答案：C

 解析：正四面体 放入正方体，则正方体的棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，

，设，

，.

由于 ，，所以，

即，  

  即，  即，

表示球心为，半径为的球.

表示垂直于平面的一个平面.

所以 的轨迹是上述平面截球面所得圆.

球心到平面的距离为，

所以截得的圆的半径，

所以截得的圆，也即 点的轨迹的长度为.    故选：C

二、多选题：

7.答案：B、C、D

解析：由是空间一个基底，知：

在A中，若，，则与的夹角不一定是，故A错误；

在B中，两两共面，但不可能共面，故B正确；

在C中，根据空间向量的基本定理可知C正确；

在D中，因为不共面，假设，，共面，

设 ，化简得，

可得共面，与已知矛盾，

所以，，不共面，可作为基底，故D正确.

故选：B、C、D.

8. 答案：A、B、D

解析：A．

，         故A正确；

B．，因为 为中点且，

所以，    又因为平面，所以

且，   所以平面，

又因为，

，

所以，

故B正确；

C．假设成立，又因为平面，所以

且，   所以平面，所以，

显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以不成立；

取 中点，连接，如下图所示：

因为为中点，所以，且，

所以，所以四点共面，

又因为与相交，

所以平面显然不成立，  故C错误；

D．“内到直线AC、的距离相等的点”

即为“内到直线和点的距离相等的点”，

根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，

故D正确；                 故选：A、B、D.

二、填空题：

9. 答案：

解析：建立如图所示空间直角坐标系，设，，，， (a、b均不为0)，则，，，，    ∴，，

由题意四点共面，有，

其中，  设，

∴

由方程组，即，解得：.

10．答案：

   解析：在正方体中，,,,

为底面的 的中心，为的重心，

.

11．答案：

    解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设与棱的 交点为 ，与棱的交点为 ，

则四边形为平行四边形.

在面内过 作的垂线，垂足为，则截面的面积为.

设，，则，.

因为，故即，故.

因，故.

      又

，其中，

所以，故，   .

12.答案：

解析：共面的三个单位向量，，满足,

，，彼此夹角为

如图，以起点作为坐标原点，所在直线为x轴，以共面的三个单位向量，，所在平面为平面，在其中以与垂直方向为y轴，过点作平面的垂线，以此垂线为z轴，建立空间直角坐标系．

     设

对于任意 ，，恒有,

上式表示与，所在平面中的任意向量的差向量的模最小值为，即  又因为

所以，  

           符合题意．  

二、 拓展题：

13.答案：（1）证明见解析；（2）．

解析：（1）证明：如图，作的中点 ，连接，，

在等腰梯形中， ，为，的中点，

∴ ， 在正 中，为的中点，   ∴           ∵，， ，，平面，

∴平面，   又平面，∴．

（2）解：∵平面，

在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，轴正 向，如图建立空间直角坐标系，

∵， ，

∴为二面角的平面角，即，

，，，，，，

设平面的法向量为，

，，

则有，即，

则可取，又，

设直线与平面所成角为，

∴，

∵，∴，     ∴．

四、创新题：

14.答案：（1）或；   （2）见解析；

（3）最大值为.

解析：（1）依题意得：，设，

代入运算得：或；

（2）设，，，则

          从而得证；

（3）设与的夹角为，则，

则，

故最大值为.

五、探究题：

15. 答案：（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.

解析：（1）证明：取的中点H，连接PH，HC.

在堑堵中，四边形为平行四边形，

所以且.

在中，P，H分别为，的中点，

所以且.

因为N为BC的中点，所以，

从而且，

所以四边形PHCN为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（2）以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.

易知平面ABC的一个法向量为.

假设满足条件的点P存在，令，则，.

设平面PMN的一个法向量是，

则     即

令，得，，   所以.

由题意得，解得，

故点P不在线段上.