高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用精品达标测试

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第一册

1.4.1（3）《空间中直线、平面的垂直》同步练习

一、     单选题：

1.平面的法向量，平面的法向量，则下列命题正确的是 （     ）

A． ， 平行 B． ，垂直 

C． ，重合   D． ，不垂直

2.已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系是（     ）

A． B． 

C．与相交但不垂直 D．

3.设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．如图，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M是的中点，N是上的动点，则直线NO､AM的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直

5．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B．

C． D．与相交不垂直

6．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)

A．(1,0，－2) B．(1,0,2)     C．(－1,0,2)     D．(2,0，－1)

二、多选题：

7.下列命题是真命题的有（       ）.

A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直

B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则

C．平面，的法向量分别为，，则

D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，

则

8．在正方体中，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．平面

C． D．

三、填空题:

9.已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，

则m+n=____.

10．设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________．

三、拓展题：

11. 如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．

求证：平面MBD．

12. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD AB//CD，AB＝AD＝2，

CD＝4，M为CE的中点.

（1）求证：BM//平面ADEF；

（2）求证：BC⊥平面BDE.

四、创新题：

13.如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点E在线段 上（不含端点）.

（1）是否存在点E，使平面？

（2）是否存在点E，使平面平面？

同步练习答案

一、 选择题：

 1. 答案：B

解析：平面的法向量，平面的法向量，

因为，所以两个平面垂直． 故选B.

2.  答案：A

解析：平面的法向量为，，  ，  ，

即 ， 所以直线与平面垂直．故选：A．

3. 答案：B

解析：因为，所以，

则，解得.    故选：B.

4. 答案：C

解析：在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，

M是的中点，N是上的动点，连接，，设分别是中点，

则共线，且与与平行且相等，也即与平行且相等，

是平行四边形，所以，

在正方形，，所以，

所以，所以，

所以直线，因为它们不相交.    故选：C.

5．答案：C

解析：由题意，直线的方向向量为，平面的法向量为，

可得，所以，所以.  故选：C.

6. 答案：C

解析：∵，，．

∵⊥，⊥，∴．

∴     解得．     ∴P(－1,0,2)      故选C ．

二、 多选题：

7. 答案：A、D

解析：∵，，     ∴，

则，   ∴直线与垂直，故A正确；

，，则，

则，∴或，故B错误；

∵，，∴与不共线，   ∴不成立，故C错误；

∵点，，，     ∴，.

∵向量是平面的法向量，   ∴，

即，    解得，故D正确.         故选：A、D

8.答案：B、C、D.

 解析：设正方体的棱长为1，以D为原点，、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

则

，

所以，所以与不垂直，故A错误；

显然平面的一个法向量.

所以，所以平面，故B正确；

，所以，故C正确；

，所以，故D正确.     故选：B、C、D.

三、填空题：

9. 答案：-16

解析：∵l⊥α，∴，又，，∴==，

解得m=-6，n=-10，∴m+n=-16．

10. 答案：4.

解析：因为分别是平面的法向量，且

所以        所以        解得

三、 拓展题：

11. 答案：证明见解析

解析：建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的边长为，则，

，  ，

由于，所以平面.

12．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.

解析：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF，

∴ED⊥平面ABCD.

以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的 空间直角坐标系则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，

E(0，0，2)， F(2，0，2)

（1）∵M为EC的中点，∴M(0，2，1)

则＝(－2，0，1)，＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)

∴，故共面

又平面ADEF，∴平面ADEF

（2）＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，

∵＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.     ＝0，∴BC⊥DE.

又DE∩DB＝D，DB，DE⊂平面BDE，∴BC⊥平面BDE.

四．创新题：

13．答案：（1）存在；      （2）不存在.

解析：底面为正方形，∴，又平面，

∴以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，   则.

（1）设，    ，

，

设是平面的法向量，    得，

令，则，   ∴是平面的一个法向量，

若平面，则，       得，解得，

即存在点E满足，使得平面.

（2）， 设是平面的法向量，

则    令，则，

∴是平面的一个法向量，      设，

则，.

设是平面的法向量，   则，

令，则，   ∴是平面的一个法向量.

平面平面，      ∴，即，此方程无解，

∴不存在点E，使，      ∴不存在点E，使平面平面.