高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式同步练习题

人教A版2019 必修一 2.2基本不等式

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是(   )

A. B. C. D.

2、(4分)在中，点是线段上任意一点(不包含端点)，若，则的最小值是（   ）

A.4      B.9      C.8      D.13

3、(4分)若，且，则下列四个数中最大的是(   )

A. B.b C.ab D.

4、(4分)若，，且，则的最小值是(   )

A.2 B. C. D.

5、(4分)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:

①生产1单位试剂需要原料费50元;②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成:③后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为x单位,).则要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为(   )

A.60单位 B.70单位 C.80单位 D.90单位

6、(4分)若某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运(   )年时,其营运的年平均利润最大.

A.3 B.4 C.5 D.6

7、(4分)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为(   )

A.200吨 B.300吨 C.400吨 D.600吨

8、(4分)已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是(   )

A. B. C. D.

9、(4分)已知，且，则mn有(   )

A.最大值1 B.最大值2 C.最小值1 D.最小值2

10、(4分)设集合，，且，则(   )

A.-4 B.-2 C.2 D.4

二、填空题(共25分)

11、(5分)已知实数满足且,则的最小值为________.

12、(5分)若某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为,则当每台机器运转_________年时,年平均利润最大.

13、(5分)已知二次函数(a,b,c均为正数)的图象过点(1,1),最小值为0,若实数λ满足,则实数λ的取值范围为_______.

14、(5分)若正数满足，则的取值范围是______．

15、(5分)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费(单位：万元)与x成正比；若在距离车站4 km处建仓库，则和分别为5万元和3.2万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？

三、解答题(共35分)

16、(8分)已知，满足.

（1）求证：；

（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意恒成立，试写出一个p，并证明之.

17、(9分)已知正数a，b满足.

（1）若，，求的值；

（2）求的最大值.

18、(9分)某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书的售价定为x元时，销售 量可达到万套.现出版社为配合该书商的活动，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=每套丛书 的售价-每套丛书的供货价格.求：

(1)每套丛书的售价定为100元时，书商能获得的总 利润是多少万元？

(2)每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？

19、(9分)某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为.

（1）写出自变量x的取值范围；

（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理500吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月垃圾处理量应为多少吨？

参考答案

1、答案：C

解析：，当且仅当，即时取等号，不等式对任意a，恒成立，，，实数x的取值范围是.故选：C.

2、答案：B

解析：

3、答案：D

解析：本题考查基本不等式.因为，，所以，可得，（当且仅当时取等号）；因为，所以等号不成立，则，可得，（当且仅当时取等号）；因为，所以等号不成立，则，而，所以.综上可得，四个数中最大的是.

4、答案：C

解析：本题考查基本不等式.因为，，所以，当且仅当时等号成立，故最小值为.

5、答案：D

解析：设每生产1单位试剂的成本为y,因为试剂总产量为x单位,则由题意可知,原料总费用为元,职工的工资总额为元,后续保养总费用为元,则，当且仅当,即时取等号,满足,所以要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为90单位.故选D.

6、答案：C

解析：根据题意得到,抛物线的顶点为(6,11),过点(4,7),图象开口向下,设二次函数的解析式为,所以,解得,即,因为,所以,当且仅当,即时取等号.故选C.

7、答案：C

解析：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成本最低.

8、答案：D

解析：由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；

中当且仅当时取等号，如，即可取等号，D中不等式不恒成立.

9、答案：A

解析：，且，，当且仅当时取等号，有最大值1.故选A.

10、答案：B

解析：由已知可得，，

又，，

.故选B.

11、答案：

解析：因为，所以,故,因为,所以,由基本不等式得,当且仅当即时等号成立,故的最小值.

12、答案：5

解析：每台机器运转x年的年平均利润为,且,由基本不等式得,当且仅当,即时等号成立,故,当且仅当时等号成立,此时年平均利润最大.

13、答案：

解析：，且，，则，，，，即，，，，当且仅当，即时,等号成立.又∵当时,.

14、答案：

解析：因为，

由均值不等式得：，

令，则．

化简得

解得或（舍去），

所以的取值范围为.

故答案为：.

15、答案：建在距离车站5 km处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万.

解析：设，，当时，

，，，，

，.

两项费用之和为.

当且仅当时，即当时等号成立.

答：应将这家仓库建在距离车站5 km处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万.

16、答案： (1)见解析(2) 见解析

解析：(1) 证明 : 由 ，得 ，,
要证 ，
只要证 ，
左边

当且仅当 ，即 时等号成立；

(2)要使,
只至至,

左边

则 ， 可取 或 3
取 ，问题转化为.
证明如下 : 要证 ，
只需证明 ，
左边

当且仅当 ，即 时等号成立.

17、答案：（1）3

（2）见解析

解析：（1）由，可得，则.

（2）由（1）得，，
则

，
当且仅当中，即时，等号成立.

18、答案：(1)书商能获得的总利润是340万元.

(2)每套丛书的售价定为140元时，单套丛书的利润最大.

解析：(1)每套丛书的售价定为100元时，销售量为(万套)，

此时每套丛书的供货价格为(元)，

书商所获得的利润为(万元)，

答：每套丛书的售价定为100元时，书商能获得的总利润是340万元.

(2)每套丛书的售价定为x元时，

由，得，

依题意，设单套丛书的利润为P元，

则，

，

，

，

当且仅当，即时，等号成立，

.

答：每套丛书的售价定为140元时，单套丛书的利润最大.

19、答案：(1).

(2)400吨.

解析：(1)；

(2)依题意，每吨平均处理成本元，

因为，

当且仅当即时，等号成立，

所以，

所以该厂每月垃圾处理量为400吨时，

每吨平均处理成本最低为100元.