2020-2021学年3.1 函数的概念及其表示同步训练题

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1．（2012·全国高一课时练习）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】图象不满足函数的定义域，不正确；满足函数的定义域以及函数的值域，正确；
不满足函数的定义，故选：C．
2．（2020·安徽省高三其他（文））已知函数的定义域为A，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意或，所以．故选：D．
3.若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先根据抽象函数的定义域，求出的定义域，结合分式，可得选项.
因为的定义域是[0，4]，所以，即；由于，所以，故选：C.
4．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题得，解不等式即得函数的定义域.
【详解】由题得,解之得且.故选：C
5．（2020春•历下区校级期中）（多选题）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极
图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长
和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是（ ）
A．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个
B．f（x）＝x3可以是某个圆的“优美函数”
C．正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”
D．函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
【答案】ABC
【解析】对于A：对于任意一个圆，所有直径均可以平分周长和面积，故其“优美函数”有无数个，说法正确；
对于B：由于f（x）＝x3的图象关于原点对称，而单位圆也关于原点对称，故f（x）＝x3可以是单位圆的“优美函数”，说法正确；
对于C：函数y＝sinx是一个奇函数，其图象关于原点对称，显然可以是无数个圆的“优美函数”，说法正确；
对于D，函数图象是中心对称图形的函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称的函数，如图，说法错误．故选：ABC．
6．函数的定义域为，那么其值域为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分别将定义域中的值代入计算得到答案.
的定义域为，分别将定义域中的值代入计算得到值：
故值域为，故选：A
7．（2020·全国高一）已知函数，若，则实数之值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】令，则，所以，
由，解得.故选：D．
8．（2020·山东潍坊一中高二月考）（多选题）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】易知单调递增，故，，
解得，故不满足；
取，在上单调递减，故，
，故满足.
，易知函数单调递增，故，，
设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，，，，故函数有两个零点，故满足.
在上单调递增，故，，
设，则，函数在上单调递增，在上单调递减.
故，故函数只有一个零点，不满足；
故选：.
9．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数，则______；若，则______.
【答案】4 0或1
【解析】；故；
若，则；若，则，故或. 故答案为：4，0或1
10．（2017·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝－，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1), f(12)的值．
【答案】(1) [－4,1)∪(1，＋∞);(2) ;
【解析】：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2) .f(12)＝＝.
【能力提升】
11．（2020·全国高一）函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】要使得函数有意义，必须满足，
解得：或，故选D
12．（2020·全国高一）函数的值域是（ ）
A．(－∞，1B．(－∞，－1C．RD．［1，+∞
【答案】A
【解析】令，则，所以，
当时，此时函数取得最大值1，所以函数的值域为.故选：A.
13．（多选题）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( )
A．出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km
【答案】BCD[来
【解析】在A中，出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.3元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；在D中，设出租车行驶x km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．故选B、C、D.
14.设函数，，为常数。
（1）求的最小值的解析式；
（2）求函数的最大值；
（3）是否存在最小的整数，使得对于任意均成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
【解析】：（1）对称轴
① 当时，在上是增函数，时有最小值
②当时，在上是减函数，时有最小值
③当时，在上是不单调，
时有最小值
（2）由题知在是增函数，在是减函数时，，
（3）存在。恒成立，
为整数，的最小值为
15.（2020·吉林长春 高一期中）已知关于的一元二次不等式的解集为.
（1）求函数的最小值；
（2）解关于的一元二次不等式.
【解析】∵的解集为，∴，
解得： ∴实数的取值范围：.
∵.∴.
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴函数的最小值为；
（2）.可化为，
∵.∴.
∴不等式的解集为.
16．(12分)已知函数.
（1）若，求的定义域；
（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.
【解析】(1)当且时，由得，即函数的定义域是.
(2)当即时，令
要使在上是减函数，则函数在上为减函数，即，并且且，解得；
当即时 ，令
要使在上是减函数，则函数在为增函数，即
并且，解得
综上可知，所求实数的取值范围是.