人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数巩固练习

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专题07 幂函数、函数应用课时训练【基础巩固】1．已知幂函数的图象过点P(2,4)，则（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由题意，幂函数的图象过点P(2,4)，可得，解答.故选：C.2.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)A．0　　 B．1C．2   D．3【答案】B【解析】∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．3.函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)A　    　B　　    C　   　D【答案】B【解析】y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.4．已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由题意可得：且为偶数，， 解得，且为偶数，， ∴． 故选：C．5．已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为：  故选：C.6．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【答案】B【解析】由题可知：函数是幂函数则或又对任意的且，满足所以函数为的增函数，故所以，又，所以为单调递增的奇函数由，则，所以则故选：B7．下面是有关幂函数的四种说法，其中错误的叙述是（   ）A．的定义域和值域相等 B．的图象关于原点中心对称C．在定义域上是减函数 D．是奇函数【答案】C【解析】，函数的定义域和值域均为，A正确；，，函数为奇函数，故BD正确；在和是减函数，但在不是减函数，C错误.
故选：C.8．下列函数在定义域上是奇函数，且在区间上是增函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】在定义域上是非奇非偶函数，在区间上无定义；所以A错；在定义域上是奇函数，且在区间上是增函数；所以B对；在定义域上是偶函数，在区间上是增函数；所以C错；在定义域上是偶函数，且在区间上是减函数；所以D错；故选：B
【能力提升】9．已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是 （     ）A．     B．     C．     D． 【答案】D【解析】因为函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，所以函数在上第增， 时不合题意，只需 ，解得 ，即实数的取值范围是，故选D.10．函数的最小值为_______．【答案】【解析】函数有意义，则：，则据此可得函数的定义域为：，由于函数都在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数的最小值为，而，据此可得函数的最小值为.11．已知函数f(x)＝.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性．(3)若对任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范围．【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）.（3）函数在定义域上为增函数．证明如下：设，且，则，∵y＝2x在上是增函数，且，∴，∴，∴，∴函数在定义域内是增函数． （3）∵，∴．∵函数是奇函数，∴．又函数在定义域内是增函数，∴对任意1恒成立，∴对任意t1恒成立．令,，则，∵函数在上是增函数，∴，∴，∴实数的取值范围为．
12．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）当时，，f（1）=1（1）求f（0），f（3）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（4x-a）+f（6+2x+1）＞2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．由f（1）=1，得f（2）=f（1）+f（1）=1+1=2，f（3）=f（2）+f（1）=2+1=3． （2）f（x）在R上是增函数，证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，且f（x2-x1）＞0，[来源:学§科§网]所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上是增函数． （3）由f（4x-a）+f（6+2x+1）＞2对任意 x∈R恒成立，得f（4x-a+6+2x+1）＞f（2）恒成立．因为f（x）在R上是增函数，所以4x-a+6+2x+1＞2恒成立，即4x+2•2x+4＞a恒成立令g（x）=4x+2•2x+4=（2x+1）2+3，[来源:Z&xx&k.Com]因为2x＞0，所以g（x）＞4故a≤4
13．已知函数定义在上且满足下列两个条件：[来源:学*科*网]①对任意都有；②当时，有．（1）求，并证明函数在上是奇函数；（2）验证函数是否满足这些条件；（3）若，试求函数的零点．【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）．                  【解析】（1）令x=y=0，则∴ ．[来源 令，则∴，所以函数在（－1，1）上是奇函数. （2）由得，所以函数的定义域为（-1，1）．① ．② 时，，  ∴ ， ∴ ．故函数是满足这些条件. （3）设，则∵,∴ ,,由条件②知，∴，∴,故在(-1,0)上为减函数．由奇函数性质可知,在（0，1）上仍是单调减函数.∴在(-1,1)上单调递减．，．由得∴ ，整理得解得，又， ． 故函数的零点为．14．（2019·凤阳县第二中学高三期中（文））已知幂函数为偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由为幂函数知，得或.当时，，符合题意；当时，，不合题意，舍去.所以；（2），令在上的最小值为.①当，即时，，所以.又，所以不存在；②当，即时，，所以.又，所以；③当，即时，，所以.又，所以.综上可知，的取值范围为.15．（2020·全国高一专题练习）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，所以解得：或（舍去），所以.（2）由（1）得，所以，假设存在使得命题成立，则当时，即，在单调递增，所以；当，即，显然不成立；当，即，在单调递减，所以无解；综上所述：存在使命题成立.
【高考真题】16．（2020江苏7）已知是奇函数，当时，，则的值是      ．【答案】【解析】是奇函数，当时，，则．17．（2020浙江9）已知且，若在上恒成立，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【思路导引】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．【解析】当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时，由二次函数的图象可知，只有时，满足，不满条件；当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时当两根分别为和，（1）当时，此时，当时，不恒成立，（2）当时，此时，若满足恒成立，只需满足当时，此时，满足恒成立，综上可知满足在恒成立时，只有，故选C ．18．(2016全国I) 若，，则（   ）A．                             B．C．                    D．【答案】C【解析】选项A，考虑幂函数，因为，所以为增函数，又，所以，A错．对于选项B，，又是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C．19．(2016全国III) 已知，，，则（   ）A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】因为，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A．20．（2016年全国I卷）若，，则（   ）A．           B．C．                  D．【答案】B【解析】因为，所以在上单调递减，又，所以，故选B．21．(2018上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____．【答案】【解析】由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，所以．