高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案设计
展开4.2.1 等差数列的概念(1)
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》,本节课主要学习等差数列的概念及其性质
数列是高中数学重要内容之一,它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上,对数列的知识进一步深入和拓广。
课程目标 | 学科素养 |
A. 理解等差数列的概念 B.掌握等差数列的通项公式及应用 C.掌握等差数列的判定方法
| 1.数学抽象:等差数列的概念 2.逻辑推理:等差数列通项公式的推导 3.数学运算:通项公式的应用 4.数学建模:等差数列的应用 |
重点:等差数列概念的理解、通项公式的应用
难点:等差数列通项公式的推导及等差数列的判定
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教学过程 | 教学设计意图 核心素养目标 | ||||
一、 导语 我们知道数列是一种特殊的函数,在函数的研究中,我们在理解了函数的一般概念,了解了函数变化规律的研究内容(如单调性,奇偶性等)后,通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解,而且掌握了幂函数,指数函数,对数函数,三角函数等非常有用的函数模型。类似地,在了解了数列的一般概念后,我们要研究一些具有特殊变化规律的数列,建立它们的通项公式和前n项和公式,并应用它们解决实际问题和数学问题,从中感受数学模型的现实意义与应用,下面,我们从一类取值规律比较简单的数列入手。 二、 新知探究 1.北京天坛圜丘坛,的地面有十板布置,最中间是圆形 的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到 外各圈的示板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81 ① 2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上对应的尺码分别是 38,40,42,44,46,48 ② 3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度,得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度(单位)依次为 25,24,23,22,21 ③ 4.某人向银行贷款万元,贷款时间为年,如果个人贷款月利率为,那么按照等额本金方式还款,他从某月开始,每月应还本金元,每月支付给银行的利息(单位:元)依次为 , ④ 在代数的学习中,我们常常通过运算来发现规律,例如,在指数函数的学习中,我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律,类似地,你能通过运算发现以上数列的取值规律吗? 1.等差数列的概念
2.等差中项 (1)条件:如果a,A,b成等差数列. (2)结论:那么A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式是a+b=2A. 1. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数,那么这个数列是等差数列.( ) (2)数列0,0,0,0,…不是等差数列.( ) (3)在等差数列中,除第1项和最后一项外,其余各项都是它前一项和后一项的等差中项.( ) ×; ×; √ 问题探究 思考1:你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗? 设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义,可得= 所以= , = , = ,… 于是 + , + =(+ ) + + 2, + =(+ ) + + 3,…… 归纳可得+() (n) 当n时,上式为+() ,这就是说,上式当时也成立。 因此,首项为,公差为的等差数列的通项公式为+() 思考2:教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法,还有其它方法吗?如何操作? [提示] 还可以用累加法,过程如下: ∵a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d,… an-an-1=d(n≥2), 将上述(n-1)个式子相加得 an-a1=(n-1)d(n≥2), ∴an=a1+(n-1)d(n≥2), 当n=1时,a1=a1+(1-1)d,符合上式, ∴an=a1+(n-1)d(n∈N*). 从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d, 则an=f (n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d). (1)点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上; (2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d 2.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数, 则这个数列是等差数列. ( ) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关. ( ) (3)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.( ) 解析: (1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列; 若这些常数不全相等,则这个数列就不是等差数列. (2)正确.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列; d<0时为递减数列. (3)正确.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b, 故a,b,c为等差数列. [答案] (1)× (2)√ (3)√ 3.在等差数列{an}中,a3=2,d=6.5,则a7=( ) A.22 B.24 C.26 D.28 D [a7=a3+4d=2+4×6.5=28,故选D.] 4.如果三个数2a,3,a-6成等差数列,则a的值为( ) A.-1 B.1 C.3 D.4 D [由条件知2a+(a-6)=3×2,解得a=4.故应选D.] 三、典例解析 例1.(1)已知等差数列的通项公式为求公差和首项; (2)求等差数列8,5,2…的第20项。 分析(1)已知等差数列的通项公式,只要根据等差数列的定义,由= ,即可求出公差,(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式,再利用通项公式求数列的第20项 解:(1)当 的通项公式为, 可得 . 于是=()-()=2. 把代入通项公式,可得 (2)由已知条件,得 把 代入+() ,得 ()=11 把代入上式,得 11 所以,这个数列的第20项是 求通项公式的方法 (1)通过解方程组求得a1,d的值,再利用an=a1+(n-1)d写出通项公式,这是求解这类问题的基本方法. (2)已知等差数列中的两项,可用d=直接求得公差, 再利用an=am+(n-m)d写出通项公式. (3)抓住等差数列的通项公式的结构特点,通过an是关于n的一次函数形式,列出方程组求解. 跟踪训练1.(1)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d. (2)已知数列{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d. ∵a5=10,a12=31,则 解得 ∴这个等差数列的首项a1=-2,公差d=3. (2) 法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则由题意得解得 故a75=a1+74d=+74×=24. 法二:∵a60=a15+(60-15)d,∴d==, ∴a75=a60+(75-60)d=20+15×=24. 法三:已知数列{an}是等差数列,可设an=kn+b. 由a15=8,a60=20得解得 ∴a75=75×+4=24. 例2 (1)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10,则m和n的等差中项是________. (2)已知,,是等差数列,求证:,,也是等差数列. [思路探究] (1)―→―→ (2)
(1)6 [由题意得 ∴3(m+n)=20+16=36,∴m+n=12,∴=6.] (2)[证明] ∵,,成等差数列, ∴=+,即2ac=b(a+c). ∵+= ====, ∴,,成等差数列. 等差中项应用策略 1.求两个数x,y的等差中项,即根据等差中项的定义得A=. 2.证三项成等差数列,只需证中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则有a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
跟踪训练2.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数 成等差数列,求此数列. [解] ∵-1,a,b,c,7成等差数列, ∴b是-1与7的等差中项, ∴b==3. 又a是-1与3的等差中项, ∴a==1. 又c是3与7的等差中项, ∴c==5. ∴该数列为:-1,1,3,5,7. |
通过导语,通过对函数学习的回顾,帮助学生类比,展望数列学习的路线。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
通过具体问题的思考和分析,归纳总结,抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
通过等差数列通项公式的推导,。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。
通过典型例题,加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
通过典型例题,帮助灵活运用等差数列的中项性质,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
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三、达标检测 1.数列{an}的通项公式为an=5-3n,则此数列( ) A.是公差为-3的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 A [等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可以化成an=dn+(a1-d).对比an=-3n+5.故公差为-3.故选A.] 2.等差数列{an}中,已知a2=2,a5=8,则a9=( ) A.8 B.12 C.16 D.24 C [设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则由a2=2,a5=8,得 解得a1=0,d=2,所以a9=a1+8d=16.故选C.] 3.已知a=,b=,则a,b的等差中项为______. [===.] 4.在等差数列{an}中,已知a5=11,a8=5,则a10=____. 解析:(方法一)设an=a1+(n-1)d, 则 即解得 ∴an=-2n+21(n∈N*). ∴a10=-2×10+21=1. (方法二)设公差为d, ∵a8=a5+(8-5)×d, ∴d==-2, ∴a10=a8+(10-8)×d=1. (方法三)设an=An+B, 则即 解得 ∴an=-2n+21,∴a10=1. 5.若等差数列{an}的公差d≠0且a1,a2是关于x的方程 x2-a3x+a4=0的两根,求数列{an}的通项公式. [解] 由题意得∴ 解得∴an=2+(n-1)×2=2n. 故数列{an}的通项公式为an=2n. |
通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
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四、小结 五、课时练 | 通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。 |
普通高中学生经过一年的高中的学习生活,已经慢慢习惯的高中的学习氛围,大部分学生知识经验已较为丰富,且对数列的知识有了初步的接触和认识,已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程,对函数、方程思想体会逐渐深刻,应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段,具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱,学习数学的兴趣还不是很浓,所以我在授课时注重从具体的生活实例出发,注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展。
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