数学选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时教学设计

导入新课

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.

已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016——2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.

情景引入

以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生的学习兴趣、探究欲望。

发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

讲授新课

让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.

等比数列前n项和公式推导——

“错位相减法”

一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？

设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是

根据等比数列的通项公式，上式可写成

 ①

我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得

  ②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得

，即

.

因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式

    （1）

因为 所以，公式（1）还可以写成

  （2）

公式推导方法二

（结论同上）

公式推导方法三

当

当q=1时，

注：

1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．

2．当q≠1时，若已知及q，

则用公式Sn＝较好；

若已知，则用公式Sn＝较好．

有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了.

由 ，q=2，n=64，可得

这个数很大，超过了 . 如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言.

例7  已知数列是等比数列.

（1）若， ， 求 ；

（2）若 ， ， , 求 ；

（3）若 ， ， ，求n .

解：（1）因为 ， ，所以

（2）由 ， ，可得

即    

又由 ，得   ，

所以

      .

（3）把 ， ， 代入

，得

整理，得

解得 n=5 .

例8  已知等比数列的首项为-1，前n项和为 . 若 ，求公比q .

解： 若q=1，则

    ，

所以 .

当 时，由 ，得

整理，得

即

所以 .

例9 已知等比数列的公比 ，前n项和为. 证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.

证明：当 时，

，

，

，

所以，，成等比数列，公比为1.

当 时，

，

所以

    .

因为 为常数，所以，，成等比数列，公比为 .

课堂练习

1 判断下列计算是否正确

（1）

（2）

（3）

答：（1）错

（2）错

（3）错 5n

2 在等比数列中：

  （1）若，且q>0，求.

（2）若  ，求和公比q.

 解：

（1）∵ 为等比数列且 ，

     ∴  ∴

∴

.

（2）①当时，

     又

     ∴

即  

解得

   ∴  

② 当q=1时，

∴  

综上得

    或  

3已知等比数列满足 ，且

（1）求的通项公式及前n项和

（2）若，求的前n项和.

分析（1）直接利用等比数列的性质求出数列的公比，进一步求出通项公式和求和公式；

（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和.

解：

（1）设数列的公比为q，

    由，可得

     所以，

所以

所以

（2）由（1）可得

则

4 已知首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明： .

解：

（1）首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列

所以 ，整理得 ，

所以

所以

（2）由（1）得

   故

     ，

  当n为奇数时，

   当n为偶数时，

∴ 当n为奇数时， ，

   当n为偶数时，

  综上，  成立.

“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法。

当q=1时，等比数列的前n项和等于多少？

运用比例的性质推导

？

对于等比数列相关量

已知几个量就可以确定其他量

通过层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题。发展学生逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养，增强学生的应用意识。

“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量直接搭起桥梁，使问题得到解决。

例题巩固

课堂小结

1等比数列前n项和公式

2 例题

3课堂练习

板书

1引入

2等比数列前n项和公式推导

3例题讲解

4课堂练习

教学反思