人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念课文内容ppt课件

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数列的概念 一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项. 数列的一般形式可以写成： 简记为 {an}，其中数列的第 1 项 a1 ，也称首项；数列的第 n 项 an ，也叫数列的通项.
要点诠释： （1）{an}与an 的含义完全不同：{an} 表示一个数列，an 表示数列的第 n 项. （2）数列的项与项数是两个不同的概念：数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号. （3）数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. （4）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
【例】分别写出下面的数列. （1）0 ~ 20之间的质数按从小到大的顺序构成的数列； （2）由所有的非负偶数按从小到大的顺序构成的数列； （3）由 的所有取值构成的数列.
【答案】（1）2，3，5，7，11，13，17，19 ；
（2）0，2，4，6，… ，2n，… ；
（3）0，－1，0，1，… ， ，… .
数列的通项公式与前 n 项和 1. 数列的通项公式 如果数列 {an} 的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个公式表示成 an = f (n)，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 如数列：0，1，2，3，…的通项公式为 an = n－1 ； 1，－1，1，－1，…的通项公式为 an = (－1) n－1； 1， ， ， ，…的通项公式为 ．
2. 数列 {an} 的前 n 项和 数列 {an} 的前 n 项和：指数列 {an} 的前 n 项逐个相加之和，通常用 Sn 表示，即 Sn = a1 ＋ a2 ＋…＋ an .
3. an与Sn的关系
【例】写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是：（1）0， ， ， ，…；（2）1， ， ， ，…；
【例】写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是：（3）9，99，999， 9999，…；（4）6， 1，6，1，….
解： （3）将数列改写为101－1，102－1，103－1，104－1 ，…， 故 an＝10n－1，(n∈N*).
熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：数列 －1，1，－1，1，…的通项公式为 an = (－1)n ；数列 1，2，3，4，…的通项公式为 an = n；数列 1，3，5，7，…的通项公式为 an = 2n－1；数列 2，4，6，8，…的通项公式为 an = 2n；数列 1，4，9，16，…的通项公式为 an = n2；数列 2，6，12，20，…的通项公式为 an = n (n + 1).
【例】已知数列 {an} 的通项公式 an = 3n－2， 试问下列各数是否为数列 {an} 的项，若是，是第几项？ （1）94； （2）71.
【思路点拨】 本题考查同学们对项与项数的理解，在通项公式 an = 3n－2 中，已知项 an ，求正自然数 n ，带入解方程即可.
解：（1）设 94 = 3n－2， 解得 n = 32. 故94是数列 {an} 的第32项.
数列的分类 1. 根据数列项数的多少分 有穷数列：项数有限的数列. 例如数列 1，2，3和2，4，8 都是有穷数列； 无穷数列：项数无限的数列. 例如数列 1，2，3，4，5，6，…是无穷数列. 2. 根据数列项的函数特性分 递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项，即 an+1＞an 的数列； 递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，即 an+1＜an 的数列； 常数数列：各项都相等，即 an+1=an 的数列； 摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 3. 根据数列项的大小分 有界数列：如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数； 无界数列：不存在某个正数，使得数列任一项的绝对值都小于这个正数.
【例】已知下列数列： ① 1，2，22，23，…，260； ② 1，0.5，0.52，0.53，…； ③ －2，2，－2，2，…； ④ 3，3，3，3，…； ⑤ 0， ， ， ，…， ，…； ⑥ 1，0， －1， …， ，…. 其中有穷数列是___________；无穷数列是______________；递增数列是___________；递减数列是___________；摆动数列是___________；常数列是___________. （填写序号）
【例】数列－11，－20，－27，…，n2－12n，…是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列
解：该数列从第 2 项起，第 n 项与第 n－1 项的差为(n2－12n)－[(n－1)2 －12(n －1)]＝2n－13，所以该数列的前 6 项单调递减，从第 6 项往后单调递增，故选 D.