高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布随堂练习题

7.5  正态分布(精练)

【题组一 正态分布曲线】

1(2021·全国·高二课时练习)(多选)已知正态分布的密度函数，，以下关于正态曲线的说法正确的是(    )

A．曲线与x轴之间的面积为1

B．曲线在处达到峰值

C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移

D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”

【答案】ABC

【解析】由正态分布的密度函数的解析式可知曲线与x轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，故A正确；

，，当且仅当时取等号，∴曲线在处达到峰值，故B正确；其图像关于直线对称，且当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，故C正确；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，故D错误..故选：ABC.

2．(2021·江苏·吴江汾湖高级中学高二月考)(多选)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是(    )

附：若随机变量X服从正态分布N(，)，则P(＜X＜)≈0.6826．

A．若红玫瑰日销售量范围在(，280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250

B．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

C．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

D．白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.3413

【答案】ACD

【解析】若红玫瑰日销售量的范围在的概率，则，可得，

所以红玫瑰日销售量的平均数为，所以A正确；

因为红玫瑰日销售量的方差为，白玫瑰日销售量的方差为，

因为，所以红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，所以B不正确，C正确；

由白玫瑰日销售量在的概率为，

所以D正确.

故选：ACD.

3．(2021·全国·高二课时练习)(多选)在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩(满分为150分)服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是(    )

A．该市学生数学成绩的期望为100

B．该市学生数学成绩的标准差为100

C．该市学生数学成绩的及格率超过0.8

D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等

【答案】AC

【解析】依题意，知，.易知A说法正确，B说法错误；

，所以，故C说法正确；，所以该市学生数学成绩不及格的人数大于优秀的人数，D说法错误.故选：AC.

4．(2021·全国·高二课时练习)(多选)下列关于概率密度函数()对应的正态曲线的性质的说法中正确的是(    )

A．曲线关于直线对称，且恒位于轴上方

B．曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方

C．曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低

D．曲线的位置由确定，曲线的形状由确定

【答案】ACD

【解析】概率密度函数对应的正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，该曲线总是位于轴上方，曲线的位置由确定，形状由确定．

故选：ACD．

5．(2021·全国·高二课时练习)关于正态分布N(μ，)，下列说法正确的是(    )

A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件

B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件

C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件

D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件

【答案】D

【解析】由正态分布中的原则，可得，

所以或，

所以随机变量落在之外是一个小概率事件.

故选：D.

6．(2021·全国·高二课时练习)某市一次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)如图所示，则由曲线可得下列说法中正确的一项是(    )

A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小

C．三科总体的平均数不相同 D．乙科总体的标准差及平均数都居中

【答案】A

【解析】由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等.

由正态曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.

故选：A.

【题组二 正态分布(小题)】

1．(2021·全国·高二课时练习)设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则(    )

附：若，则，.

A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413

【答案】B

【解析】若函数没有零点，

∴二次方程无实根，

∴，∴.

又∵没有零点的概率是0.5，

∴.

由正态曲线的对称性知，

∴，∴，，

∴，，，，

∴，，

∴

.

故选：B.

2．(2021·全国·高二课时练习)设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是(    )

A．10与8 B．10与2

C．8与10 D．2与10

【答案】B

【解析】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值，方差，即.

故选：B.

3(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X服从正态分布即X～N(μ，σ2)，且P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X～N(5,1)，则P(X＞6)≈(    )

A．0.341 3 B．0.317 4

C．0.158 7 D．0.158 6

【答案】C

【解析】由题设P(4＜X≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P(X≥6)＝[1－P(4＜X≤6)]≈(1－0.682 6)≈0.158 7.故选：C

4．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为(    )

A．1 B．2 C．3  D．4

【答案】A

【解析】因为随机变量服从正态分布，

所以曲线关于对称，且，

由，可知.

故选：A.

5．(2021·全国·高二单元测试)若随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，则有如下结论：，高三(1)班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为(    )

A．19 B．12 C．6 D．5

【答案】C

【解析】∵数学成绩近似地服从正态分布N(120，102)，

又

∴

根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为(1﹣0.6826)＝0.1587

∴理论上说在130分以上人数约为0.1587×40≈6.

故选：C

6．(2021·河南·辉县市第一高级中学高二月考(理))已知随机变量服从正态分布，若，则(    )

A．0.3 B．0.4

C．0.7 D．0.2

【答案】B

【解析】依题意，，所以.故选：B

7．(2021·全国·高二单元测试)为准备2022年北京冬季奥运会，某冰上项目组织计划招收-批青少年参加集训，以选拔运动员，最终共有20000名青少年报名参加测试，其测试成绩(满分100分)服从正态分布，成绩在90分以上者可以进入集训队．若80分以上的人数为460，则可推断进入集训队的人数为( )

A．18 B．22 C．26 D．30

【答案】D

【解析】由题意，得．又，

所以由正态分布曲线的对称性可得

，故，

所以，

所以，

则90分以上的人数为，即进入集训队的人数为30．

故选：D

8．(2021·全国·高二课时练习)甲命题：若随机变量，，则.乙命题：随机变量，且，，则.下列说法正确的是(    )

A．甲正确、乙错误 B．甲错误、乙正确

C．甲错误、乙也错误 D．甲正确、乙也正确

【答案】D

【解析】∵随机变量服从正态分布，

∴曲线关于直线对称，∴，∴甲命题正确；

随机变量，且，，则解得，

∴乙命题正确.故选：D.

9．(2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高二月考(理))某电动汽车配件生产厂生产1000个配件，已知生产的配件的尺寸(单位：)指标服从正态分布，若，则估计该批配件尺寸超过的个数为(    )

A．140 B．180 C．280 D．540

【答案】A

【解析】由，，可得，

所以估计该批配件尺寸超过的个数为140.

故选：A

10．(2021·湖北十堰·高二期末)某服装专卖店的某款上衣的月销量服从正态分布，若，则(    )(参考数据：，，)

A．126 B．132 C．156 D．192

【答案】B

【解析】因为服从正态分布，所以，，

因为，

所以.

故选：B

11．(2021·河南平顶山·高二期末(理))设每天去某网红景点旅游的人数(单位：万人)为随机变量，且，则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为(    )

参考数据：若，则，，．

A．0.97725 B．0.84135 C．0.6827 D．0.15865

【答案】B

【解析】∵，∴，

∴，∴．

故选：B.

12(2021·全国·高二单元测试)(多选)红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其测量体温误差，且，则下列结论正确的是(附：若随机变量X服从正态分布，则，(    )

A．， B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】依题意，所以，，即，，故A错误；

由于，所以，故B正确；

由于，，所以，故C正确.

由于，，所以，故D正确.

故选：BCD.

13．(2021·全国·高二课时练习)(多选)若随机变量，，其中，则下列等式成立的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】因为随机变量服从标准正态分布，

所以正态曲线关于对称，如图所示.

又，，

所以，故选项A正确；

因为，，所以，故选项B不正确；

因为，故选项C正确；

，故选项D不正确；

故选：AC.

14．(2021·河北大名·高二期中)(多选)设随机变量服从正态分布，且落在区间内的概率和落在区间内的概率相等．若，则下列结论正确的有(    )

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】∵正态分布关于对称，

又落在区间内的概率和落在区间内的概率相等，∴，故A正确；

∵正态分布关于对称，∴，则，故C正确；，不确定，B错误，D正确．

故选：ACD．

15．(2021·福建厦门·高二期末)(多选)随机变量，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】因为，则，，A对，B错；

，C错；

，D对.

故选：AD.

16．(2021·全国·高二课时练习)设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.(填序号)

①；

②；

③；

④.

【答案】②④

【解析】因为，所以①不正确；

因为

，

所以②正确，③不正确；

因为，所以，所以④正确.

故答案为：②④.

17．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量服从正态分布，且，则______.

【答案】

【解析】由正态曲线的对称性及意义可得：

.

故答案为：．

18．(2021·全国·高二单元测试)已知，如图是正态分布的密度函数图像，若，则图中阴影部分的面积为___________.

【答案】

【解析】∵，∴，∴图中阴影部分的面积为，

故答案为：.

【题组三 正态分布的应用(解答题)】

1．(2021·全国·高二课时练习)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；

(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布，其中μ近似为年平均收入，近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：

①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)．

附参考数据：≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．

【答案】(1)17.40千元；(2)①14.77千元；②E(ξ)＝977.3．

【解析】(1)由题意，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：

(千元)

故估计50位农民的年平均收入千元．

(2)由题意知，随机变量，

①，

所以时，满足题意，

即最低年收入大约为千元．

②由，

每个农民的年收入高于千元的事件的概率为，

则，其中，

所以．

2．(2021·山东无棣·高二期中)为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表．

(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；

(2)若该校所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题：

①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)；

②若从所有参赛学生中(参赛学生人数大于10000)随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

附：若随机变量X服从正态分布，则，，．

【答案】(1)；(2)①1587；②分布列见解析，数学期望为2．

【解析】(1)由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人获奖，70人没有获奖，

故从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率P＝．

(2)该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布N(64，225)，

①∵μ+σ＝79，

∴P(X＞79)，

∴估计参赛学生中超过79分的学生人数为0.15865×10000≈1587．

②∵μ＝，

∴P(X＞64)＝，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，

∴随机变量ξ～B(4，)，

P(ξ＝k)＝ (k＝0，1，2，3，4)，

所以P(ξ＝0)＝，

P(ξ＝1)＝，

P(ξ＝2)＝，

P(ξ＝3)＝，

P(ξ＝4)＝，

∴ξ的分布列为：

故E(ξ)＝4×．

3．(2021·全国·高二单元测试)设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间(单位：min)X～N(50，102)，乘地铁所需时间Y～N(60，42)，则

(1)若有70min可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？

(2)由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了A公司2辆出租车，B公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A公司出租车被叫来的辆数的分布列和数学期望E().(已知P(μ﹣3σ＜X≤μ+3σ)＝0.9974，P(μ﹣2σ＜X≤μ+2σ)＝0.9544)

【答案】(1)乘地铁；(2)分布列见解析，.

【解析】(1)乘公共汽车及时赶到的概率为

乘地铁及时赶到的概率为

因此在这种情况下应乘地铁.

(2)的取值为0，1，2.则

P(＝0)＝＝，P(＝1)＝＝，P(＝2)＝＝，

的分布列

E＝0×+1×+2×＝.

4．(2021·全国·高二课时练习)零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术.某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸(，单位：)：

用样本的平均数作为的估计值，用样本的标准差作为的估计值.

(1)按照技术标准的要求，若样本尺寸均在范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格；

(2)该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制订了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)：

方案1：每个零件均按70元定价销售；

方案2：若零件的实际尺寸在范围内，则该零件为级零件，每个零件定价100元，否则为级零件，每个零件定价60元.

哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.

附：，样本方差.

【答案】(1)合格；(2)方案2，说明见解析.

【解析】(1)由表格中数据计算可得，.

故可得，，所以，

结合题中表中数据知所有样本都在区间内，故该切割设备质量合格；

(2)方案1：每个零件售价为70元.

方案2：设生产的零件售价为随机变量，故可取60，100.

由(1)可知，该设备生产的零件尺寸，

所以；

.

所以随机变量的分布列为

故.

综上，可得方案2的利润更大.

5．(2021·全国·高二单元测试)为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准(2014年修订)》(简称《标准》)，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，并依据学生学年总分评定等级.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试(满分100分)，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这200名学生测试成绩的平均数和方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表).

(2)由频率分布直方图知，该市高三学生的健康指数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

①求；

②已知该市高三学生约有10000名，记测试成绩在区间的人数为，求.

附：参考数据.若随机变量服从正态分布，则，，.

【答案】(1)，；(2)①；②.

【解析】(1)由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：

∴，

.

(2)①由(1)知服从正态分布，且，

∴.

②依题意，知，

则.

6．(2021·全国·高二课时练习)某制造企业向高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：).

97  97  98  102  105  107  108  109  113  114

(1)计算平均值与标准差；

(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：)86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？

参考数据：，，，，.

【答案】(1)，；(2)需要，答案见解析.

【解析】(1)利用测量数据，即可计算平均值与标准差.

.

，∴.

(2)需要进一步调试.

∵服从正态分布，，

∴内径在之外的概率为0.003，而，根据原则，需要进一步调试.

7(2021·河北·大名县第一中学高二月考)人口普查是调查国情国力的一种方式，也是提供全国人口数据的主要来源，距今为止我国已经进行了七次人口普查.某教育机构对河北省全省高中男生身高进行统计，统计调查数据显示：全省接受统计的100000名男生的身高服从正态分布.现从我校高二年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，，第六组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)试评估我校高二年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；

(2)求这50名男生身高在以上(含)的人数；

(3)在这50名男生身高在以上(含)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为，求的均值.

参考数据：若，则，，.

【答案】(1)高于全省的平均值170.5；(2)10人；(3)1.

【解析】(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为，高于全省的平均值170.5.

(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数为，即这50名男生身高在以上(含)的人数为10人.

(3)∵，

∴，.

∴全省前130名的身高在以上，这50人中以上的有5人.

随机变量可取0，1，2，于是，，，

∴.

8．(2021·湖北·武汉市光谷第二高级中学高二月考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；

(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

(i)利用该正态分布，求；

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用(i)的结果，求.

附：，若则，．

【答案】(I)，；(II)(i) ；(ii).

【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为

，

．

(II)(i)由(I)知，服从正态分布，

从而．

(ii)由(i)可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，

依题意知，所以．