2021-2022学年山西省晋中市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山西省晋中市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 将多项式分解因式，结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 年月日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若，则下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 木工师傅将一个含度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是(    )

A. 垂线段最短
B. 等腰三角形的“三线合一”
C. 角平分线的性质定理
D. 线段垂直平分线的性质定理

5. 下列式子从左到右变形不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 在复习平行四边形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：如图，作线段的垂直平分线，交于点；如图，过点作一条直线不过点，再以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点，，连接，，，根据以上作法，不需借助三角形全等就能推出四边形是平行四边形的依据是(    )

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

7. 如图，应县木塔位于山西省朔州市应县县城，是我国现存最古老最高大的纯木结构楼阁式建筑．经测量木塔建造在约四米之高的台基上，台基底层设计呈正多边形．如图是台基底层正多边形的部分示意图，其外角为，则该正多边形是(    )

A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形

8. 抗击“新冠肺炎”疫情期间，某呼吸机厂接到一批生产台呼吸机的订单，计划每天生产呼吸机台，为了尽快完成任务，改进技术后实际提前天完成任务，则实际生产这批呼吸机的天数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，是线段、的垂直平分线的交点，若，，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式
    的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 化简的结果是______．
12. 如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点旋转了，小孩的位置也从点运动到了点，则______度．

13. 如图是某超市自动扶梯，如图是其示意图，大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为若自动扶梯运行速度米秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为______秒．

14. 随着第届冬季奥林匹克运动会在北京召开，全国掀起了冰雪运动的热潮．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，一共有道题．评分标准是：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分．在这次竞答中，敏敏有道题未答，她要被评为优秀总分分或分以上至少要答对______道题．
15. 如图，在平行四边形中，，是锐角，于点，，是的中点，连接，若，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来；
    解分式方程：．
17. 学完分式运算后，王老师出了一道化简题：，请仔细阅读下面两位同学的解题过程并完成相应的任务：

任务一：
老师判断上述两位同学的解法都不正确，请你分别写出他们错误的原因，小明：______，小花：______；
任务二：
请你写出正确的化简过程．

18. 下列三幅图中的网格均由边长为的小正方形组成，图是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．
    图中“弦图”的四个直角三角形组成的图形阴影部分是______填“轴”或“中心”对称图形；
    将“弦图”中的一个直角三角形作为基本图形，通过你所学过的图形变换知识，按下列要求画图：
    在图中画出向右平移格后得到的；
    在图中画出绕点顺时针旋转后得到的．
     

19. 阅读下列材料：
    小颖同学对多项式进行因式分解的过程中发现，如果把看成一个整体，用一个新的字母代替，此多项式就可以运用公式法进行因式分解，以下是她的做法．
    解：设，
    原式
    
    ．
    小颖同学进行因式分解时，所得到的最后结果是否分解彻底？______填“是”或“否”；
    如果否，直接写出因式分解最后的结果______；
    请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
20. 如图，已知是的角平分线，点，分别在边，上，且，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求的度数．

21. 随着国内快递业务量的迅速增长，通过无人机可打造短途航空物流网络，加速物流效率．某公司采用“站点对站点”的无人机快递运送模式，选用了，两种型号的无人机，已知型号无人机平均每分钟比型号无人机多飞行米．若两站点之间的距离为米，型号无人机单程所需时间是型号无人机单程所需时间的，若不计停留时间，求型号无人机在两站点之间往返的飞行时间．

22. 综合与实践
    图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图，在中，，，，分别为，边上一点，连接，且，将绕点在平面内旋转．
    观察猜想
    若，将绕点旋转到如图所示的位置，则与的数量关系为______；
    类比探究
    若，将绕点旋转到如图所示的位置，，相交于点，猜想，满足的位置关系，并说明理由；
    拓展应用
    如图，在的条件下，连结，分别取，，的中点，，，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值．
     

23. 综合与探究
    如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，将▱先向右平移个单位后，再向下平移个单位，得到▱．
    请你直接写出点，的坐标；
    ▱与▱的重叠部分的形状是______，重叠部分的面积是______；
    在平面内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，
当重锤经过等腰三角形的底边的中点时，就能检查出这根横梁水平，否则就不水平，
所以解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一，
故选：．
根据等腰三角形的性质确定答案即可．
考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形的三线合一的性质是解答本题的关键，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：将的分子、分母都减去，不等于，故A选项符合题意；
B.因为，故，故B选项不符合题意；
C.将的分子、分母都除以可得，故C选项不符合题意；
D.将的分子、分母都除以可得，因此选项不符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质判断即可．分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
 

6.【答案】 

【解析】解：由作图可知，，，
四边形是平行四边形．
故选：．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据多边形的外角和解答即可．
本题考查了据多边形的外角，掌握角和为是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：计划生产这批呼吸机的天数为：天．
则实际生产这批呼吸机的天数为天．
故选：．
实际生产这批呼吸机的天数计划生产这批呼吸机的天数．
本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的等量关系，列出分式．
 

9.【答案】 

【解析】解：是线段、的垂直平分线的交点，
，
，，
，，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，由三角形的内角和定理得到，，于是得到结论．
本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是根据线段的垂直平分线得到相等的线段．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
当时，，
关于的不等式的解集为．
故选：．
结合函数图象写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用分式的乘除法的法则进行运算即可．
本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：由旋转得：
，，
，
故答案为：．
根据旋转的性质可得，，然后利用等腰三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：锐角所对直角边等于斜边的一半
顾客乘自动扶梯上一层楼的距离为米
顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为秒，
答：顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为秒，
故答案为：．
此题利用查直角三角形的性质求得自动扶梯的长，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间可求．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设敏敏至少答对的题数是道，
，
解得，
为整数，
，
敏敏至少要答对道题，总分才会不低于分．
故答案为：．
设敏敏至少答对的题数是道，答错的为道，根据总分才不会低于分，这个不等量关系可列出不等式求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，关键是设出相应的题目数，以得分作为不等量关系列不等式求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长交的延长线于，连接，设，

四边形是平行四边形，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得或舍弃，
即，
故答案为：．
如图，延长交的延长线于，连接，设，首先证明≌，得出，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

16.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
；
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】漏加括号  进行了去分母的运算 

【解析】解：小明的错误是：漏加括号，小花的错误是：进行了去分母的运算，
故答案为：漏加括号；进行了去分母的运算；
方法一：原式




；
方法二：原式


．
根据分式的相应的法则进行分析，即可求解；
利用分式的相应的运算法则进行求解即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】中心 

【解析】解：图中“弦图”的四个直角三角形组成的图形阴影部分是中心对称图形；
故答案为：中心；

如图所示：即为所求；
如图所示：即为所求．
．
直接利用中心对称图形的定义得出答案；
直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
此题主要考查了利用旋转设计图案以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

19.【答案】否   

【解析】解：设，
原式



，
小颖同学进行因式分解时，所得到的最后结果没有分解彻底，
故答案为：否，；
解：设，
原式



．
再利用完全平方公式继续分解即可解答；
仿照例题的解题思路，进行计算即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，理解例题的解题思路是解题的关键．
 

20.【答案】证明：是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
解：是的角平分线，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
． 

【解析】由角平分线的定义及平行线的性质可得，再根据等腰三角形的判定及平行四边形的判定可得结论；
由角平分线的定义及三角形内角和定理可得，然后根据平行四边形的性质及平行线的性质可得答案．
此题考查的是平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

21.【答案】解：设型号无人机在两站点之间单程的飞行时间为分钟，则型号无人机在两站点之间单程的飞行时间为分钟，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：型号无人机在两站点之间往返的飞行时间为分钟． 

【解析】设型号无人机在两站点之间单程的飞行时间为分钟，则型号无人机在两站点之间单程的飞行时间为分钟，利用速度路程时间，结合型号无人机平均每分钟比型号无人机多飞行米，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出型号无人机在两站点之间单程的飞行时间，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
，
，，
，
，
旋转，
，
又，，
≌，
，
故答案为：；
，
理由如下：如图，设与的交点为点，

绕点旋转到如图所示的位置，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
是的外角，也是的外角，
，
，
；
，，分别是，，的中点，
，，，，
≌，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
的面积，
，，
当点，点，点三点共线时，有最大值，即面积有最大值，
的最大值为，面积的最大值为．
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，由外角的性质可得结论；
先证明是等腰直角三角形，可得的面积，则当点，点，点三点共线时，有最大值，即面积有最大值．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】平行四边形   

【解析】解：将▱先向右平移个单位后，再向下平移个单位，得到▱，，两点的坐标分别为，，
点，点；
四边形是平行四边形，
，，
平移，
，，
，，
▱与▱的重叠部分的形状是平行四边形，
点坐标为，点，
重叠部分的面积，
故答案为：平行四边形，；
设点，
当，为边时，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
，，
，，
点；
当，为边时，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
，，
，，
点；
当，为边时，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
，，
，，
点；
综上所述，点的坐标是或或．
由平移的性质可求解；
由平行四边形的性质和平移的性质可得，，即可求解；
分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．