人教版高考物理一轮复习第5章机械能及其守恒定律第3节机械能守恒定律及其应用学案

这是一份人教版高考物理一轮复习第5章机械能及其守恒定律第3节机械能守恒定律及其应用学案，共16页。学案主要包含了重力做功与重力势能，机械能守恒定律等内容，欢迎下载使用。


一、重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能
(1)公式：Ep＝mgh。
(2)特性：
①标矢性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。
②系统性：重力势能是物体和地球所组成的“系统”共有的。
③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
二、机械能守恒定律
1．机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能。
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功。
(3)守恒表达式：mgh1＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝mgh2＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)。
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。(√)
(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取有关。(×)
(3)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(√)
(4)做曲线运动的物体机械能可能守恒。(√)
(5)物体初、末状态的机械能相等，则物体的机械能守恒。(×)
(6)只有弹簧弹力对物体做功，则物体机械能守恒。(×)
2．(粤教版必修2P70讨论与交流改编)在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出。不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大
B．水平抛出的最大
C．斜向上抛出的最大
D．斜向下抛出的最大
[答案] A
3．(人教版必修2P78T3改编)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－mgh
D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mgh
[答案] A
4．(人教版必修2P80T2改编)一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为( )
A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
C [小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝eq \f(mv\\al(2,B),1.8R)，小球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝eq \f(mv\\al(2,A),R)，根据机械能守恒，有1.6mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，解得F＝4mg，C正确。]
机械能守恒定律的判断 eq \([依题组训练])
1．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
甲 乙 丙 丁
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能增加
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
D [甲图中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，A错误。 乙图中物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错误。 丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C错误。 丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。]
2．如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让小球自由摆下。不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能增加
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
D [小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B错误；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。]
3．质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一水平固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针转动到最低位置的过程中( )
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
B [B球从水平位置转到最低点的过程中，重力势能减少，动能增加，A球重力势能增加，动能增加，A球和地球组成的系统机械能增加。 由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统机械能守恒，A球和地球组成的系统机械能增加，则B球和地球组成的系统机械能一定减少，选项B正确。]
机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用做功及守恒条件判断。
(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。
单物体机械能守恒问题 eq \([讲典例示法])
1．表达式
2．一般步骤
3．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
eq [典例示法] 如图所示，在竖直平面内有由eq \f(1,4)圆弧AB和eq \f(1,2)圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为eq \f(R,2)。一小球在A点正上方与A相距eq \f(R,4)处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
审题指导：
[解析] (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得
EkA＝mgeq \f(R,4)
设小球在B点的动能为EkB，
同理有EkB＝mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋\f(R,4)))
解得eq \f(EkB,EkA)＝5。
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心力公式有N＋mg＝meq \f(v\\al(2,C),\f(R,2))
应满足mg≤meq \f(2v\\al(2,C),R)
由机械能守恒定律有mgeq \f(R,4)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)
得出小球恰好可以沿轨道运动到C点。
[答案] (1)5 (2)见解析
[跟进训练]
1．如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1－N2的值为( )
A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg
D [设小球在最低点时速度为v1，在最高点时速度为v2，根据牛顿第二定律有，在最低点：N1－mg＝meq \f(v\\al(2,1),R)，在最高点：N2＋mg＝meq \f(v\\al(2,2),R)；从最高点到最低点，根据机械能守恒有mg·2R＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，联立可得：N1－N2＝6mg，故选项D正确。]
2．取水平地面为重力势能零点。一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。如果抛出点足够高，当物块的动能等于重力势能的两倍时，速度与水平方向的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(5π,12)
A [设物块水平抛出的初速度为v0，抛出时的高度为h。根据题意，有eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝mgh，则v0＝eq \r(2gh)；设当物块的动能等于重力势能的两倍时，物块距离地面的高度为h′，由机械能守恒定律得mg(h－h′)＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，又2mgh′＝eq \f(1,2)mv2，解得h′＝eq \f(2,3)h，则此时物块在竖直方向上的分速度为vy＝eq \r(2gh－h′)＝eq \r(\f(2,3)gh)，则tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(\r(3),3)，即速度与水平方向的夹角为eq \f(π,6)，选项A正确。]
3．(2019·宁夏石嘴山三中月考)如图所示，P是水平面上的固定圆弧轨道，从高台边B点以速度v0水平飞出质量为m的小球，恰能从左端A点沿圆弧切线方向进入。O是圆弧的圆心，θ是OA与竖直方向的夹角。已知m＝0.5 kg，v0＝3 m/s，θ＝53°，圆弧轨道半径R＝0.5 m，g取10 m/s2，不计空气阻力和所有摩擦，求：
(1)A、B两点的高度差；
(2)小球能否到达最高点C？如能到达，小球对C点的压力大小为多少？
[解析] (1)小球从B到A做平抛运动，到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，则有
vA＝eq \f(v0,cs θ)＝5 m/s
根据机械能守恒定律，有
mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
解得A、B两点的高度差h＝0.8 m。
(2)假设小球能到达C点，由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)＋mgR(1＋cs θ)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)
代入数据解得vC＝3 m/s
小球通过C点的最小速度为v，
则mg＝meq \f(v2,R)，v＝eq \r(gR)＝eq \r(5) m/s
因为vC>v，所以小球能到达最高点C
在C点，由牛顿第二定律得
mg＋F＝meq \f(v\\al(2,C),R)
代入数据解得F＝4 N
由牛顿第三定律知，小球对C点的压力大小为4 N。
[答案] 见解析
多物体机械能守恒问题 eq \([讲典例示法])
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(2)角速度相等情景
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)关联速度情景
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
[典例示法] 如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm。
审题指导：
[解析] (1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零。
由牛顿第二定律得4mgsin α－2mg＝0，则
sin α＝eq \f(1,2)，α＝30°。
(2)由题意可知，mg＝kΔx，B球上升的高度x＝2Δx＝eq \f(2mg,k)。A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，对A、B、C三小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得
4mgxsin α－mgx＝eq \f(1,2)(5m)veq \\al(2,m)
联立化简得vm＝2geq \r(\f(m,5k))。
[答案] (1)30° (2)2geq \r(\f(m,5k))
[跟进训练]
轻绳连接的物体系统
1．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．eq \f(5R,3) C．eq \f(4R,3) D．eq \f(2R,3)
C [设B球质量为m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2得v2＝eq \f(2,3)gR，B球继续上升的高度h＝eq \f(v2,2g)＝eq \f(R,3)，B球上升的最大高度为h＋R＝eq \f(4,3)R，故选项C正确。]
轻杆连接的物体系
2．(2020·扬州市邗江区蒋王中学高三月考)如图所示，一长为6L的轻杆一端连着质量为m的小球，另一端固定在铰链O处(轻杆可绕铰链自由转动)。一根不可伸长的轻绳一端系于轻杆的中点，另一端通过轻小定滑轮连接在小物块上，物块放置在倾角θ＝30°的斜面上。已知滑轮距正下方地面上的A点的距离为3L，铰链O距A点的距离为L，不计一切摩擦。整个装置由图示位置静止释放，当轻杆被拉至竖直位置时，小球的速度v＝3eq \r(gL)，物块仍在斜面上，求：
(1)此时小球对轻杆的作用力F；
(2)此过程中轻绳对轻杆做的功W；
(3)小物块的质量M。
[解析] (1)当轻杆被拉至竖直位置时，小球的速度v＝3eq \r(gL)，根据竖直平面内圆周运动的规律，小球受到的重力和轻杆对小球的作用力的合力提供向心力mg＋F′＝meq \f(v2,6L)
根据牛顿第三定律，可得F＝F′＝eq \f(1,2)mg
竖直向上。
(2)将小球和轻杆看作一个整体，根据动能定理W＋WG＝eq \f(1,2)mv2
因为WG＝－6mgL，所以W＝eq \f(21,2)mgL。
(3)将小球、轻杆、轻绳和小物块看作一个系统，则系统机械能守恒ΔEk＝ΔEp
小球和小物块动能增大，则动能增加量为ΔEk＝eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,2)))eq \s\up12(2)
小球重力势能增大，小物块重力势能减小，则重力势能减少量为ΔEp＝Mg·2L－mg·6L
解得M＝12m。
[答案] (1)eq \f(1,2)mg，竖直向上 (2)eq \f(21,2)mgL (3)12m
轻弹簧连接的物体系
3．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放。求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度的大小。
[解析] (1)恢复原长时
对B有mg－FT＝ma
对A有FT－mgsin 30°＝ma
解得FT＝30 N。
(2)初态弹簧压缩x1＝eq \f(mgsin 30°,k)＝10 cm
当A速度最大时mg＝kx2＋mgsin 30°
弹簧伸长x2＝eq \f(mg－mgsin 30°,k)＝10 cm
所以A沿斜面上升x1＋x2＝20 cm。
(3)因x1＝x2，故弹性势能改变量
ΔEp＝0，
由系统机械能守恒mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝eq \f(1,2)×2mv2
得v＝geq \r(\f(m,2k))＝1 m/s。
[答案] (1)30 N (2)20 cm (3)1 m/s
用机械能守恒定律解决非质点问题 eq \([讲典例示法])
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。
2．物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
[典例示法] 如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
[解析] (1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。
(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，如图所示。
该部分高度减少量
h＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(L－a,2)))sin α＝eq \f(L＋a,2)sin α
该部分的质量为m′＝eq \f(m,L)(L－a)
由机械能守恒定律可得m′gh＝eq \f(1,2)mv2
解得v＝eq \r(\f(g,L)L2－a2sin α)。
[答案] (1)机械能守恒，理由见解析
(2)eq \r(\f(g,L)L2－a2sin α)
[跟进训练]
1．如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A．eq \r(\f(1,8)gh) B．eq \r(\f(1,6)gh) C．eq \r(\f(1,4)gh) D．eq \r(\f(1,2)gh)
A [如图所示，当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为管中所有液体的动能，根据功能关系有eq \f(1,8)mg·eq \f(1,2)h＝eq \f(1,2)mv2，解得：v＝eq \r(\f(1,8)gh)，A正确。]
2．如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端对齐，当略有扰动时其一端下落，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间，铁链速度为( )
A．eq \f(\r(gl),2) B．eq \r(\f(gl,2)) C．eq \r(gl) D．2eq \r(gl)
B [铁链从开始到脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为eq \f(1,4)l，链条下落过程，由机械能守恒定律，得mg·eq \f(l,4)＝eq \f(1,2)mv2，计算得出v＝eq \r(\f(gl,2))，故B正确，A、C、D错误。]
题干关键
获取信息
光滑固定圆弧轨道
小球在轨道内运动过程中不受摩擦力，弹力与速度方向垂直
小球能否运动到C点
由小球经C点的最小速度确定
关键语句
获取信息
固定的光滑斜面上
系统机械能守恒
使细线刚刚拉直但无拉力作用
弹簧处于压缩状态，且弹力等于B的重力
A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面
弹簧处于伸长状态，且弹力等于C的重力
B、C的质量均为m
弹簧压缩量同伸长量相等，弹性势能相同
A球获得的最大速度vm
A的加速度此时为零