数学3.1 椭圆学案设计

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）   导学案

1．根据几何条件求出椭圆的方程．

2. 进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．

重点：椭圆的方程及其性质的应用

难点：直线与椭圆的位置关系

椭圆的几何性质

一、典例解析

例5. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口 ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位另一个焦点上，由椭圆一个焦点 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点，已知   ，=2.8cm, =4.5cm,试建立适当的平面直角坐标系，求截口ABC所在的椭圆方程(精确到0.1cm)

典例解析

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

(1)确定焦点位置；

(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2等．

跟踪训练1．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1　　B.＋＝1    C.＋＝1  D.＋＝1

例6．动点到定点的距离和到定直线的距离之比是常数，求动点点的轨迹。

典例解析

例7. 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

代数法判断直线与椭圆的位置关系

判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ>0⇔直线与椭圆相交；

Δ＝0⇔直线与椭圆相切；

Δ<0⇔直线与椭圆相离．

提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．

跟踪训练2．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围．

1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则(　　)

A．a2＝15，b2＝16                     B．a2＝9，b2＝25

C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25       D．a2＝25，b2＝9

2．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)

A．         B．∪

C．           D．

3．（2018·全国高考）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（  ）

A． B． C． D．

4．（2019·全国高考）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A． B． C． D．

5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．

6．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标．

参考答案：

知识梳理

学习过程

例5. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为

  (>>0)

在Rt 中,

=

有椭圆的性质 , =2 所以

)=)

所以所求椭圆方程为

跟踪训练1．

B　[由题意，得解得

因为椭圆的焦点在x轴上，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.]

例6．【解析】如图，设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合

，  由此得

将上式两边平方，并化简，得

即：

典例解析

例7. [思路探究]　→

→→得出结论

[解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0　①.

方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

跟踪训练2．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围．

[解]　因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在椭圆＋＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以≤1，即m≥1.

当m＝5时，＋＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．

因此，m的取值范围为[1,5)∪(5，＋∞)．

达标检测

1． D　

[由题意得，椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9.]

2．B　[由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.]

3． 【答案】C

【解析】根据题意，可知，因为，所以，即，

所以椭圆的离心率为，故选C.

4． 【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，

两式消去，

得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

5．　[由

 消去y并化简得x2＋2x－6＝0.

设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.

∴弦长|MN|＝|x1－x2|＝＝＝.]

6． [解]　(1)将(0,4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4.

由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，

得＋＝1，即x2－3x－8＝0，

则x1＋x2＝3，∴＝，＝(x1＋x2－6)＝－，

即中点的坐标为.