人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程练习题

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第二章 直线与圆的方程（B卷提高卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2019秋•濮阳期末）已知圆心（﹣2，1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（　　）
A．x2+y2+4x﹣2y﹣5＝0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0
C．x2+y2+4x﹣2y＝0 D．x2+y2﹣4x+2y＝0
【解答】解：设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），
圆心C为点（﹣2，1），
由中点坐标公式得，，
解得a＝﹣4，b＝2．
∴半径r，
∴圆的方程是：（x+2）2+（y﹣1）2＝5，即x2+y2+4x﹣2y＝0．
故选：C．
2．（2020•昌平区二模）点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（　　）
A． B． C．3 D．4
【解答】解：过函数y＝ex的图象上点P（x0，y0）作切线，使得此切线与直线y＝x+a平行，
又y′＝ex，于是，则x0＝0，y0＝1；
∴P（0，1），
于是当点P到直线y＝x+a的距离为时，则满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，
∴，解得a＝﹣1或a＝3
又当a＝﹣1时，函数y＝ex的图象与直线y＝x﹣1没有交点，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足；
故a＝3．
故选：C．
3．（2019秋•新余期末）已知在△ABC中，其中B（1，4），C（6，3），∠BAC的平分线所在的直线方程为x﹣y+1＝0，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C．8 D．
【解答】解：B（1，4）关于直线x﹣y+1＝0的对称点B′（a，b）；
⇒，
∴B′（3，2），C（6，3），
∴CB′的直线方程为x﹣3y+3＝0，
联立，解得，
∴A（0，1）．
∴|AC|2；
B到AB′的距离d；
∴△ABC的面积S|AC|×d＝8．
故选：C．

4．（2019秋•荆门期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x﹣y+2＝0，则顶点C的坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，1） D．（﹣4，﹣2）
【解答】解：设C（m，n），由重心坐标公式得，
三角形ABC的重心为（，），
代入欧拉线方程得：2＝0，
整理得：m﹣n+4＝0 ①
AB的中点为（1，2），kAB2，
AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0．
联立，解得．
∴△ABC的外心为（﹣1，1）．
则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，
整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②
联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4．
当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．
∴顶点C的坐标是（﹣4，0）．
故选：A．
5．（2019秋•芜湖期末）已知直线l方程为f（x，y）＝0，P1（x1，y1）和P2（x2，y2）分别为直线l上和l外的点，则方程f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0表示（　　）
A．过点P1且与l垂直的直线
B．与l重合的直线
C．过点P2且与l平行的直线
D．不过点P2，但与l平行的直线
【解答】解：由题意直线l方程为f（x，y）＝0，则方程f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0，两条直线平行，
P1（x1，y1）为直线l上的点，f（x1，y1）＝0，f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0，化为f（x，y）﹣f（x2，y2）＝0，
显然P2（x2，y2）满足方程f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0，
所以f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0表示过点P2且与l平行的直线．
故选：C．
6．（2019秋•公安县期末）若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　）
A．0≤α B．α＜π C．α D．α
【解答】解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），
则直线l的斜率k1+m2，
又由m∈R，则k＝1+m2≥1，
则有tanα＝k≥1，
又由0≤α＜π，
则α；
故选：C．
7．（2020•新课标Ⅰ）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（　　）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0
【解答】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
圆心M（1，1），半径r＝2．
∵2S△PAM＝|PA|•|AM|＝2|PA|．
∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．
直线PM的方程为y﹣1（x﹣1），即y，
联立，解得P（﹣1，0）．
则以PM为直径的圆的方程为．
联立，可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．
故选：D．
8．（2020•中山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B（2，1），则|MA|+|MB|的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设M（x，y），以MA为直径的圆的圆心为（，），
又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有（）2＝（）2+（）2，
整理得：y2＝4x，
则M的轨迹是抛物线，其焦点为A（1，0），准线为x＝﹣1，
如图，

则当B、M、D三点共线时，|MA|+|MB|取得最小值，
|MA|+|MB|取得最小值为|BD|＝2﹣（﹣1）＝3．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．（2020春•昆山市期中）在同一直角坐标系中，直线ax﹣y+a＝0与圆（x+a）2+y2＝a2的位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：圆（x+a）2+y2＝a2的圆心（﹣a，0），半径为|a|，
由题意可得：d，
不妨|a|，可得1，即1﹣2a+a2＜1+a2，当a＞0时，恒成立，可知A正确，B不正确；
当a＜0时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C不正确，截距是负数，所以D正确；
故选：AD．
10．（2019秋•大连期中）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x＝0．若直线y＝k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：圆C的方程为x2+y2﹣4x＝0，则圆心为C（2，0），半径R＝2．
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PCR＝2，
∴圆心到直线y＝k（x+1）的距离小于或等于PC＝2，
即2，解得k2≤8，可得﹣2k≤2，
∴实数k的取可以是1，2．
故选：AB．

11．（2020春•崇川区校级期中）已知圆M：（x﹣1﹣cosθ）2+（y﹣2﹣sinθ）2＝1，直线l：kx﹣y﹣k+2＝0，下列四个选项，其中正确的是（　　）
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点
B．存在实数k与θ，直线l和圆M相离
C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
【解答】解：A．根据题意知圆M的圆心坐标为（1+cosθ，2+sinθ），半径为1，
无论θ取何值，都由（1﹣1﹣cosθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，
从而圆M过定点（1，2），
又因为直线l：kx﹣y﹣k+2＝0，可化为k（x﹣1）﹣y+2＝0，
所以直线l过定点（1，2），从而直线l和圆M有公共点．
B．圆心到直线l的距离d
|sin（β﹣θ）|≤1＝r，（其中sinβ，cosβ，tanβ＝k）
从而不存在实数k与θ，使直线与圆M相离，所以不正确，
C．因为对任意实数k，tanβ＝k，所以必存在实数θ，使d＝|sin（θ﹣α）|＝1＝r，
即直线l与圆M相切，所以正确．
D．对任意实数θ，不一定存在实数k，使得直线l与圆M相切，如θ＝0°时，tan90°不存在，所以不正确．
故选：AC．
12．（2019秋•枣庄期中）已知圆，圆交于不同的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，下列结论正确的有（　　）
A．a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）＝0 B．
C．x1+x2＝a D．y1+y2＝2b
【解答】解：两圆方程相减可得直线AB的方程为：a2+b2﹣2ax﹣2by＝0，即2ax+2by＝a2+b2，故B正确；
分别把A（x1，y1），B（x2，y2）两点代入2ax+2by＝a2+b2得：2ax1+2by1＝a2+b2，2ax2+2by2＝a2+b2，
两式相减得：2a（x1﹣x2）+2b（y1﹣y2）＝0，即a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）＝0，故A正确；
由圆的性质可知：线段AB与线段C1C2互相平分，
∴x1+x2＝a，y1+y2＝b，故C正确．
故选：ABC．
三．填空题（共4小题）
13．（2020•浙江）已知直线y＝kx+b（k＞0）与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+y2＝1均相切，则k＝　　，b＝　　．
【解答】解：由条件得C1（0，0），r1＝1，C2（4，0），r2＝1，
因为直线l与C1，C2都相切，
故有d11，d21，
则有，故可得b2＝（4k+b）2，整理得k（2k+b）＝0，
因为k＞0，所以2k+b＝0，即b＝﹣2k，
代入d11，解得k，则b，
故答案为：；．
14．（2020•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为　　．
【解答】解：设P（x0，y0），则PC的中点坐标为（），
又|PC|，
∴以PC为直径的圆的方程为，
即x2+y2﹣（x0+2）x﹣y0y+2x0＝0，①
又圆C：x2+y2﹣4x＝0，②
①﹣②得：（x0﹣2）x+y0y﹣2x0＝0．
∵直线AB过（1，1），∴x0﹣y0+2＝0．
即点P的轨迹为x﹣y+2＝0．
∴线段PO长的最小值为O到直线x﹣y+2＝0的距离等于．
故答案为：．
15．（2020•淮安模拟）在平面直角坐标系xOy，已知点P（3，0）在圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积等于的直线AB恰有3条，则正实数m的值为　3+2　．
【解答】解：圆x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28＝0，
化为（x﹣m）2+（y﹣2）2＝32，即圆心C（m，2），半径r＝4，
S△ABC|CA|•|CB|•sin∠ACB•4•4sin∠ACB
＝16sin∠ACB＝8，可得sin∠ACB，
所以∠ACB或，
动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，且P在圆C内，∠ACB有最小值，
所以∠ACBmin，所以P为AB的中点时，|CP|minr＝2，
即有2，
解得m＝3+2（负值舍去）．
故答案为：3+2．

16．（2020•上虞区二模）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+1）2＝1，直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点A．若a＝1，则直线l截圆C所得弦的长度为　　；若过l上一点P作圆C的切线，切点为Q，且，则实数a的取值范围是　　．
【解答】解：当a＝1时，圆心C（1，0），r＝1，
则圆心C到直线l的距离d，
所以弦长＝22；
由题得圆心C（a，a﹣1），即有C在直线y＝x﹣1上运动，
不妨设P（﹣m，﹣m+2），过P作PB⊥x轴，则有|PA||PB|，
又因为|PA||PQ|，所以PQ＝PB，
因为PQ2＝PC2﹣r2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1，
则有（﹣m+2）2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1，
整理得m2﹣2m+2a2﹣6a+4＝0，
问题可转化为上述方程有解，
则△＝22﹣4（2a2﹣6a+4）＝﹣8a2+24a﹣12≥0
解得a∈，
故答案为：，．

四．解答题（共5小题）
17．（2019春•湖北期中）如图，已知定点D（2，0），点P是圆C：（x+2）2+y2＝36上任意一点，线段PD的垂直平分线与半径CP相交于点M．
（1）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程；
（2）过定点Q（0，1）且斜率为k的直线l与M的轨迹交于A、B两点，若6，求点O到直线l的距离．

【解答】解：（1）连接MD．由已知，得|MC|+|MD|＝|MC|+|MP|＝6．
∵|CD|＝4＜6，∴根据椭圆的定义，
知点M的轨迹是以C，D为焦点，长轴长为6的椭圆．
∴a＝3，c＝2，．
∴点M的轨迹方程为；
（2）由题设知直线l的方程为y＝kx+1，代入M的轨迹方程，
整理，得（5+9k2）x2+18kx﹣36＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
则，．
．
由题设可得，解得．
∴点O到直线l的距离．

18．（2020春•启东市校级期中）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线l：3x+4y﹣1＝0被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的上方．
（1）求圆M的方程；
（2）设A（0，t），B（0，6﹣t）（2≤t≤4），若圆M是△ABC的内切圆，求AC，BC边所在直线的斜率（用t表示）；
（3）在（2）的条件下求△ABC的面积S的最大值及对应的t值．
【解答】解：（1）设圆心M（a，0），由已知得M到l：3x+4y﹣1＝0的距离
为，∴．
又∵M在l的上方，∴3a﹣1＞0，
∴3a﹣1＝5，∴a＝2，
故圆的方程为（x﹣2）2+y2＝4．
（2）设AC斜率为k1，BC斜率为k2，
则直线AC的方程为y＝k1x+t，直线BC的方程为y＝k2x+t﹣6．
由于圆M与AC相切，所以，∴k1；同理，k2．
（3）联立两条直线方程得C点的横坐标为，
∵|AB|＝t﹣（t﹣6）＝6，
∴
由（2）得：
∵2≤t≤4，∴﹣9≤t2﹣6t≤﹣8，
∴，
∴，
∴
∴Smax＝24，
此时t2﹣6t＝﹣8，t＝2或t＝4．
综上：△ABC的面积S的最大值为24，此时t＝2或t＝4．
19．（2019秋•临渭区期末）已知圆C过点A（2，6），且与直线l1：x+y﹣10＝0相切于点B（6，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（6，24）的直线l2与圆C交于M，N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l2的方程；
（3）在直线l3：y＝x﹣2上是否存在一点Q，过Q向圆C引两条切线，切点为E，F，使△QEF为正三角形，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设圆心C（a，b），由题意：CA2＝CB2得，（a﹣2）2+（b﹣6）2＝（a﹣6）2+（b﹣4）2⇒2a﹣b﹣3＝0①，
CB⊥l1，1②，
由①②得，a＝1，b＝﹣1，
即圆心C（1，﹣1），半径r＝CA5，
所以圆C的方程：（x﹣1）2+（y+1）2＝50．
（2）．使△CMN为直角三角形，CM＝CN，则∠MCN＝90°，MNr＝10，
∴圆心到直线l2的距离为dMN＝5，
设l2的斜率存在时设直线l2方程：y﹣24＝k（x﹣6）⇒kx﹣y﹣6k+24＝0，
∴d5⇒k，
所以直线l2的方程：y﹣24（x﹣6），
当l2的斜率不存在时即x＝6，这时圆心到直线的距离为6﹣1＝5，正好△CMN也是直角三角形，也符合条件；
所以，直线l2的方程：12x﹣5y+48＝0或者x＝6．
（3），假设在直线l3：y＝x﹣2上是否存在一点Q（m，m﹣2），
要使△QEF为正三角形，
则Rt△CQE中，∠CQE＝30°，CQ＝2r，
∴（m﹣1）2+（m﹣2+1）2＝（2）2，
∴a＝11或﹣9
即点Q坐标（11，9）或（﹣9，﹣11）．
20．（2019秋•铜陵期末）已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；
（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值．

【解答】解：（1）设圆的标准为（x﹣3）2+y2＝r2，把A（0，4）代入得r＝5，
故圆的标准方程为（x﹣3）2+y2＝25．
（2）①k不存在时，根据题意，直线l的方程为：x＝0；
②k存在时，设直线l的方程为：y＝kx+4，
联立方程，
所以直线l的方程为：7x+24y﹣96＝0，
综上所述，直线l的方程为x＝0或7x+24y﹣96＝0；
（3）设直线MN：y＝kx+t，M（x1，kx1+t），N（x2，kx2+t），
①
联立方程，
所以，代入①
得（k2﹣2）（t2﹣16）+（kt﹣4k）（﹣2kt+6）+（t﹣4）2（1+k2）＝0，
化简得，所以直线l的方程为：，所以过定点（﹣6，﹣12）．
（4）设直线AM：y＝kx+4，
联立方程，
所以M点的坐标为，
同理N点的坐标为．
所以，
故直线l的斜率是定值，且为．
21．（2019秋•随州期末）在Rt△ABC中，两直角边AB，AC的长分别为m，n（其中m＞n），以BC的中点O为圆心，作半径为r（）的圆O．
（1）若圆O与△ABC的三边共有4个交点，求r的取值范围；
（2）设圆O与边BC交于P，Q两点；当r变化时，甲乙两位同学均证明出2|AP|2+2|AQ|2﹣|PQ|2为定值甲同学的方法为：连接AP，AQ，AO，利用两个小三角形中的余弦定理来推导；乙同学的方法为；以O为原点建立合适的直角坐标系，利用坐标法来计算．请在甲乙两位同学的方法中选择一种来证明该结论，定值用含m、n的式子表示．（若用两种方法，按第一种方法给分）

【解答】解：（1）因为AB＞AC，故当圆O与边AB相切时，
此时圆O与△ABC的三边共有3个交点；
当圆O与边AC相切时，，
此时圆O与△ABC的三边共有5个交点，
故当时，圆O与△ABC的三边共有4个交点．
（2）甲同学方法：连接AP，AQ，AO，
在△APO中，由余弦定理可得：|AP|2＝|AO|2+|OP|2﹣2|AO|•|OP|cos∠AOP①
在△AQO中，由余弦定理可得：|AQ|2＝|AO|2+|OQ|2﹣2|AO|•|OQ|cos∠AOQ②
由∠AOP＝180°﹣∠AOQ，得cos∠AOP＝﹣cos∠AOQ，
又|OP|＝|OQ|＝r，
故①+②得：|AP|2+|AQ|2＝2|AO|2+2r2，
故2|AP|2+2|AQ|2﹣|PQ|2＝4|AO|2+4r2﹣（2r）2＝|BC|2＝m2+n2
乙同学方法：以点O为原点，建立如图所示直角坐标系，易知
P（﹣r，0），Q（r，0）
设点A（x0，y0），
则2|AP|2+2|AQ|2﹣|PQ|2．