数学人教A版 (2019)3.3 抛物线练习

3.3 抛物线(精练)

【题组一 抛物线的定义及应用】

1．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考)定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，则M到y轴距离的最小值为(    )

A． B． C．2 D．

2．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考)过抛物线C：(p＞0)的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，且满足，则直线l的倾斜角为(    )

A．45° B．60°和120° C．30°和150° D．45°和135°

3．(2021·全国高二课时练习)抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(    )

A．2 B．3 C．5 D．7

4．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(理))为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为(     )

A． B． C． D．

5．(2021·安徽省岳西县店前中学高二期末(文))已知抛物线的焦点为是C上一点，，则(    )

A．1 B．2 C．4 D．8

【题组二 抛物线的标准方程】

1．(2021·全国高二课时练习)若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.

2．(2021·上海市长征中学)已知抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________．

3．(2021·广东高二期末)已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为________________________.

4．(2021·全国高二课时练习)已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(    )

A．y2＝12x B．y2＝－12x

C．x2＝12y D．x2＝12y

5．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为(    )

A． B． C． D．

【题组三 直线与抛物线的位置关系】

1．(2021·北京清华附中高二期末)“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．(多选)(2021·全国高二课时练习)与直线仅有一个公共点的曲线是

A． B．

C． D．

3．(多选)(2021·全国高二专题练习)若原点到直线的距离不大于1，则直线与下列曲线一定有公共点的是(    )

A． B． C． D．

4．(2021·全国高二课时练习)已知F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B，C.

(1)若ABC为直角三角形，求半径R的值；

(2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明.

5．(2021·浙江高二单元测试)已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中．

(I)求焦点的坐标；

(Ⅱ)试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明．

【题组四 弦长】

1．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝__.

2．(2021·上海浦东新·高二期中)过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则等于____________．

3．(2021·广东石门高级中学高二月考)已知动点到点的距离，与点到直线的距离相等.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)若过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.

4．(2021·合肥百花中学高二期末(理))已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点P(m，2)到其焦点F的距离为4．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积．

5．(2021·上海市新场中学高二期中)已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离.

(1)求曲线的方程；

(2)求直线被曲线截得线段长.

6．(2021·浙江湖州·)已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于､两点，与圆交于点，点是线段的中点.

(1)求抛物线的准线方程；

(2)求的面积.

【题组五 综合运用】

1．(2021·全国高二课时练习) 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.

(1)当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；

(2)若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.

2．(2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中)过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，

(1)若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；

(2)若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；

(3)当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.

3．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线C：x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点M的坐标为(2，﹣2)．

(1)分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；

(2)若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得＝

4．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点．

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB恒过定点．

5．(2021·湖南长沙·长郡中学高二月考)已知拋物线：()的焦点为，为坐标原点，为拋物线上一点，且．

(1)求拋物线的方程；

(2)设直线：交轴于点，直线过点且与直线平行，动直线过点与拋物线相交于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：．