高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品同步测试题

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第一册

1.4.1（1）《空间中点、直线和平面的向量表示》同步练习

一、     单选题：

1.已知点，，，则平面的一个法向量等于（     ）

A． B． C． D．

2.在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（　　）

  A．      B．        C．      D．

3．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点， 为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（   ）．

     A．（1，，4）         B．（，1，）

C．（2，，1）         D．（1，2，）

4．如图，在三棱锥中，平面，，，．以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（      ）.

    A．点P的坐标为        B．

C．可能为             D．

5.在如图所示的坐标系中,为正方体,给出下列结论:

①直线 的一个方向向量为(0,0,1);

②直线的一个方向向量为(0,1,1);                            

③平面的一个法向量为(0,1,0);

④平面的一个法向量为(1,1,1).

其中正确的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题：

6.已知 6，， 3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（   ）

A． B．  

C． 4， D． 4，

7．已知直线过点，平行于向量，平面过直线与点，则平面 的法向量可能是（       ）．

A． B．

C． D．

故选：A、B、C.

三、填空题：

8.空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为_____．（写出一个方向向量的坐标）

9.四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：

①为平面PAD的法向量；   ②为平面PAC的法向量；

③为直线AB的方向向量；      ④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．

其中正确命题的序号是______________

10．在平面中，，，，若，且为平面的法向量，则__________．

三、拓展题：

11.已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)．

(1)写出直线BC的一个方向向量；

(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．

四、创新题：

12．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.

（1）求平面ABCD的一个法向量；

（2）求平面SAB的一个法向量；       （3）求平面SCD的一个法向量.

13.如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD，E，F分别是PC，PB的中点．

    (1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；

(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．

同步练习答案

一、 选择题：

 1. 答案：B

解析：，．设平面的一个法向量为．

则，．，令，解得，．

．，．，1，，    故选：B．

 2. 答案：A

解析：，，设平面的一个法向量为，

由则，解得，．

又，因此，平面的一个法向量为.       故选：A.

3. 答案：B

解析：设正方体的棱长为2，则，，

∴，      设向量是平面的法向量，

则取，    得，

则是平面的一个法向量，

结合其他选项，只需和共线即可，

检验可知，ACD选项均不与共线.

所以能作为平面的法向量只有选项B        故选：B．

4. 答案:C

解析：建立空间直角坐标系如图：

  由题意可得，，，，

所以，.       设，

则，      取，可得.      

 因为，，，      所以平面，

因为平面             所以平面平面，

所以，所以.         综上所述，A，B，D错，C正确.

故选：C

5. 答案：C

解析 DD1∥AA1,=(0,0,1)，故①正确；

BC1∥AD1,=(0,1,1), 故②正确；

直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0). 故③正确；

点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故④错.     故选C.

二、多选题：

6. 答案:B、D.

解析：设平面是坐标原点的一个法向量是 y，，

则     即     得，

令，    解得     令，     解得

故 或 ，．     故选：B、D．

 7. 答案：A、B、C.

解析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，

而，

选项A，满足垂直，故正确；

选项B，满足垂直，故正确；

选项C，满足垂直，故正确；

选项D，，但，故错误．

           故选A、B、C.

二、 填空题：

8. 答案：（，1，﹣2）

解析：设直线l的一个方向向量为，

依题意可知 ，  所以，     令，则，，

所以.     

9. 答案：②，③，④

解析：①因为底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；

②由底面是正方形知，因为底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，为平面PAC的法向量，②正确；

③因为底面是正方形，所以，则为直线AB的方向向量，③正确；

④易知，因为底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，故④正确.

故答案为：②，③，④

10. 答案：1

解析：，，

与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，

向量=（﹣1，y，z），且为平面ABC的法向量，

则⊥且⊥，即•=0，且•=0，即  ﹣1+y+0=0且1﹣y﹣2z=0，

即，       ∴ =1，

三、 拓展题：

11. 答案:（1）(－2,2，－2)         （2）x－y＋z－2＝0.

解析：(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，

∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．

(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，∵⊥平面α，AM⊂α，

∴⊥, ∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.

∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0. 化简得x－y＋z－2＝0.

四．创新题：

12. 答案：（1）(0，0，1)；     （2），0，0 ；      （3）(2，-1，1).

解析：以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

    则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0， S(0，0，1).    

（1）∵SA⊥平面ABCD，         ∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.

（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，       ∴AD⊥平面SAB，

∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.

（3）在平面SCD中，=，1，0，      =(1，1，-1).

设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，  则⊥，   ⊥，

∴       得方程组

令，则，，∴=(2，-1，1).

所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.

13. 答案:（1）见解析；（2）见解析

解析：(1)取AD的中点M，连接MF，连接EF.   

 ∵E，F分别是PC，PB的中点，

∴EF∥BC且EF＝ BC．      又BC∥AD且BC＝AD，

∴EF∥AD且EF＝ AD．

则由EF∥DM且EF＝DM知四边形DEFM是平行四边形．

  ∴MF∥DE.   ∴ 就是直线DE的一个方向向量．

(2)∵PD⊥平面ABCD，      ∴PD⊥BC．      又BC⊥CD，   ∴BC⊥平面PCD．     ∵DE平面PCD，       ∴DE⊥BC．

又PD＝CD，E为PC中点，   ∴DE⊥PC，

从而DE⊥平面PBC．    ∴ 是平面PBC的一个法向量．

由(1)可知 ＝，        ∴ 就是平面PBC的一个法向量．