江苏省苏州市八校2022届高三下学期数学高考适应性检测（三模）试卷及答案

 高三下学期数学高考适应性检测（三模）试卷

一、单选题

1．已知，为R的两个不相等的非空子集，若，则（　　）

A． B．

C． D．

2．设随机变量服从正态分布，若，则 a 的值为（　　）

A． B．1 C．2 D．

3．已知抛物线上的点到该抛物线焦点F的距离为3，则（　　）

A．1 B．2 C．4 D．6

4．举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（　　）

A．216 B．180 C．108 D．72

5．《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”（注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为（　　）立方尺

A． B．41π C． D．

6．若，则X可以为（　　）

A． B． C． D．

7．在中，，点D在线段AB上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（　　）

A． B． C． D．

8．若x，，，则（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率，从两袋各摸出一个球，则（　　）

A．2个球都是红球的概率为

B．2个球中恰有1个红球的概率为

C．2个球至多有一个红球的概率为

D．2个球中至少有1个红球的概率为

10．下列命题正确的是（　　）

A．若A，B，C为任意集合，则

B．若，，为任意向量，则

C．若，，为任意复数，则

D．若A，B，C为任意事件，则

11．已知函数，则（　　）

A．是周期函数 B．是偶函数

C．是上的增函数 D．的最小值为

12．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（　　）

A．当时，

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，的最小值为

D．当时，存在唯一的点P，使得点P到AB的距离等于到的距离

三、填空题

13．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为　          　．

14．已知，则　     　．

15．数列满足，，则前40项和为　     　．

16．任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则　     　；对于，　               　．

四、解答题

17．已知等差数列的前n项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，令，求数列的前n项和．

18．在四边形中，，，其中．

（1）若，求BC；

（2）若，求．

19．在三棱台中，，，，点在棱上，且满足，，，．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

20．某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若出现的次品数大于等于2，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．

（1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求；

（2）该设备由甲、乙、丙三个部件构成，若出现两个或三个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为，由丙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理，如果已经检测两个部件未出现故障，则第三个部件无需检测，直接修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元，丙部件的检测费用2400元，修理费用3600元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，工程师根据经验给出了三个方案：①按甲、乙、丙的顺序检测修理；②按乙、甲、丙的顺序检测修理；③按丙、乙、甲的顺序检测修理．你运用所学知识，从总费用花费最少的角度，你认为应选用哪个方案，并说明理由．

参考数据：，，．

21．已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点．

（1）求曲线，的方程；

（2）点P是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值．

22．函数．

（1）求函数在上的极值；

（2）证明：有两个零点．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】A,B

10．【答案】A,C

11．【答案】B,C

12．【答案】A,B,D

13．【答案】

14．【答案】5

15．【答案】

16．【答案】-i；

17．【答案】（1）解：由题意知：，

即：化简得.

所以数列的通项公式.

（2）解：因为

所以

化简得：.

18．【答案】（1）解：因为，所以，即，又，所以，

当时，所以，

所以，

由于，

所以，

即，

所以，

所以．

（2）解：如图所示，过D作交AB于点M，过B作交于点，

设，则，

设，

则，

整理得

即，

解得或（负值舍去）．

所以

所以

19．【答案】（1）证明：因为，，

所以在中，．

又因为，，

所以．

又因为，，

所以平面，

因为在三棱台中，，

所以平面；

（2）解：结合（1）得，

所以两两垂直，故以C为原点，方向分别为轴，过C且与平行的直线为轴，如图，建立空间直角坐标系，

所以，

所以，

因为平面与平面为同一个平面，

所以，，

设平面的法向量为，

所以，故令，则，

所以平面的一个法向量，

设与平面所成角为，

所以．

所以与平面所成角的正弦值为.

20．【答案】（1）解：.

（2）解：设为第个方案对应的总费用，则可取，

由题设可得，，，

故，

可取，

由题设可得，，，

故，

可取，

由题设可得，，，

故，

故，

故答案为：方案①.

21．【答案】（1）解：根据对称性可得，，在椭圆上，

故，且，故，所以.

椭圆的右焦点为，所以即，

故.

（2）解：如图

设点，，，其中，

由可得，

整理得到：，

所以，故，

且，故， 同理，，

故为方程的两个根，故，

而AB的中点的纵坐标为，故PM平行于轴，

故三角形面积为

由可得，故或（舍），

故，

故当时，有.

22．【答案】（1）解：∵，

∴，，

由，可得，或，

∴，单调递增，，单调递减，，单调递增，

∴时，函数有极大值，时，函数有极小值；

（2）证明：∵，

∴，

∴，

当时，单调递增，即单调递增，

又，

故存在，，

所以单调递减，单调递增，

∴时，函数，，，

故时，有两个零点，

当时，，

对于函数，则，又，

∴，，即，此时函数没有零点，

当时，，

由上可知，故当时，函数没有零点，

综上，函数有两个零点．