广东省潮州市2022届高三下学期数学二模试卷及答案

 高三下学期数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合或，则（　　）．

A． B．

C． D．或

2．复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（　　）．

A． B． C． D．

3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概率是 ，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（　　）  

A． B． C． D．

4．已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为（　　）．

A．16π B．27π C．36π D．54π

5．若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（　　）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）．

A．5 B． C．45 D．

7．已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（　　）．

A． B． C． D．

8．已知函数，若函数的两个零点分别在区间和内，则实数的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．某旅游景点2021年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线图如图，则（　　）．

A．1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月

B．1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系

C．1月到9月的最高气温与最低气温的差逐步减小

D．1月到9月的最低气温的极差比最高气温的极差大

10．已知函数，则下列说法正确的是（　　）．

A．函数的最小正周期为

B．点是图像的一个对称中心

C．的图像关于直线对称

D．在区间单调递减

11．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（　　）．

A．函数的定义域为

B．函数为非奇非偶函数

C．过点且与图象相切的直线方程为

D．若，则

12．已如斜率为k的直线l经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，，直线l与抛物线交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（　　）．

A．为定值

B．为定值

C．k的取值范围为

D．存在实数k使得

三、填空题

13．记为等比数列的前n项和．若，，则　     　．

14．已知，，则　     　．

15．设，则　     　．

16．设函数，点在图象上，点为坐标原点，设向量，若向量，且是与的夹角，则的最大值是　     　．

四、解答题

17．已知数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18．已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，，．

（1）求角B的大小；

（2）在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度．

①的面积为；

②的周长为．

19．如图，平面平面CEFG，四边形CEFG中，，，点E在正方形ACDE的外部，且，，，．

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值．

20．我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为，收益率为-10％的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为0.4，收益率为-20％的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．

附：收益＝投入的资金×获利的期望；线性回归中，，．

（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；

（2）若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：

请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．

21．设椭圆为左右焦点，为短轴端点，长轴长为4，焦距为，且，的面积为.

(Ⅰ)求椭圆的方程

(Ⅱ)设动直线椭圆有且仅有一个公共点，且与直线相交于点.试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标，若不存在.请说明理由.

22．已知函数，．

（1）若函数在区间内单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若，且，求证：．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】D

5．【答案】A

6．【答案】B

7．【答案】C

8．【答案】A

9．【答案】B,D

10．【答案】A,C,D

11．【答案】B,C

12．【答案】A,C,D

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】9

16．【答案】

17．【答案】（1）解：当时，，所以，

当时，（1），（2），

由（1）－（2）得，即，

所以是首项，公比为的等比数列，故．

（2）解：由（1）得，

所以.

18．【答案】（1）解：∵，则由正弦定理可得，

∴，∵，∴，，

∴，解得．

（2）解：若选择（1），由（1）可得，即

则，解得，

则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：

．

若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，

则由正弦定理可得，，

则周长，解得，则，，

由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：．

19．【答案】（1）证明：正方形ACDE中，，平面平面ABCDE，交线为CE，

所以平面CEFG，又平面CEFG，所以．

（2）解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，所以点B到AC的距离为1，，

则，，，，，

所以，．设平面BFG的法向量为，

则，即，

令，得．为平面CEFG的一个法向量，

所以，故二面角的余弦值为．

20．【答案】（1）解：若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为

所以．

若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为

所以．

因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，

所以，所以．

因为，

，

所以，，

这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥．

综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目．

（2）解：，，

，，

则，

，故线性回归方程为．

设该公司在芯片领域的投资收益为Y，则，解得，

故在2022年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元．

21．【答案】解：(Ⅰ)由题意知，解得：，故椭圆C的方程是．

(Ⅱ)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．

因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)

此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－

由得N(4，4k＋m)．

假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．

设P(x1，0)，则对满足(*)式的m、k恒成立．

因为＝(－，＝(4－x1，4k＋m)，由，

得-＋－4x1＋x12＋＋3＝0，

整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)

由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.

故存在定点P(1，0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.

22．【答案】（1）解：因为的定义域为，

所以，

若函数在区间递增，

则在上恒成立，

即在上恒成立，

则只需，

令，则，

当时，，单调递减，

即在时取得最小值9，

所以，

所以a的取值范围为．

（2）证明：令，，

则，．

由，且，得，

所以，，

所以要证成立，

只需证，

即，即成立即可，

令，则需证，

由（1）可知时，函数在单调递增，

所以，所以成立，

所以．