陕西省西安市长安区2022届高三下学期理数二模试卷及答案

 高三下学期理数二模试卷

一、单选题

1．设集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．已知复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（　　）

A．2 B．1 C．-.2 D．

3．函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知是定义在上的函数，那么“函数在上的最大值为”是“函数在上单调递减”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第天相遇，则的最小整数值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为0.5．若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛．下列说法正确的是（　　）

①k=1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为；②k=2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为；③在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k；④随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近．

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④

7．已知函数，若函数的一个零点为．其图像的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为（　　）

A．2 B．6 C．10 D．14

8．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（　　）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

9．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（　　）

A． B． C． D．

10．已知曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于2，则C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

11．已知是定义在R上的可导函数，是的导函数，若，则在上（　　）

A．恒为正值 B．恒为负值 C．单调递增 D．单调递减

12．已知抛物线的焦点到准线的距离为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（　　）

A．4 B． C． D．12

二、填空题

13．的展开式中的系数为　     　．

14．已知向量，，若，则实数　     　．

15．已知定义域为的奇函数，当x>0时，有，则　     　．

16．“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，则．设是一个有限“0，1数列”，定义，k=1，2，3，…．若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为　            　．

三、解答题

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角C的大小；

（2）若的外接圆半径为2，，求的面积．

18．某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：

附：，．

（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；

（2）事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，F为AB的中点．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．已知椭圆：的左、右焦点，恰好是双曲线的左右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭圆C于，两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）椭圆上是否存在点使得四边形（为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设有两个不同的零点，求证：．

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）直线l与曲线C交于A，B两点，设点，求的值．

23．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为m，正实数a，b满足，求证：．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】B

7．【答案】B

8．【答案】D

9．【答案】C

10．【答案】B

11．【答案】A

12．【答案】A

13．【答案】-4

14．【答案】4

15．【答案】0

16．【答案】

17．【答案】（1）解：因为，

所以，即，

所以，

因为，

所以；

（2）解：因为的外接圆半径为2，且，

所以，即，

所以.

18．【答案】（1）解：

所以，

所以有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.

（2）解：根据题意，抽取了9人中男生有6人，女生有3人；设事件表示9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，抽到的3人全是男生，所以，

故从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率为：.

19．【答案】（1）证明：取中点，连接，

∵为等边三角形，

中点为，∴，又∵底面是菱形，

∴，又，∴平面，

又平面，∴.

（2）解：∵平面平面，平面平面，

，平面，∴平面，

即，再由（1）知，两两垂直，

建立如图所示的直角坐标系，

由题意，得，

则，

，

设平面的法向量为，则，

得，设直线与平面所成角为，

∴，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．【答案】（1）解：因为的左右顶点为和，所以，

因为，所以，所以，因为，

所以，所以椭圆的标准方程为：

（2）解：假设存在点使得四边形（为原点）为平行四边形，设，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，所以，，

因为为平行四边形，所以，所以，

所以，即，点在椭圆上，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，，

，整理得，

所以，，，

因为为平行四边形，所以，所以，

即，所以，将点代入椭圆方程得，

，方程无解，故当直线的斜率存在时，不存在点.

综上所述，存在，使得四边形为平行四边形.

21．【答案】（1）解：由题意，，则，，

所以函数在点处的切线方程为，

即.

（2）证明：设，由题意，，

所以，

可得，，

要证明，只需证，即，

因为，所以可转化为证明，

即，令，则，即证，

令，则，

所以函数在上是增函数，所以，

即得证，所以.

22．【答案】（1）解：将代入，得，

所以直线l的普通方程为，

由得，，

即，所以曲线C的直角坐标方程为.

（2）解：将代入方程，得，

所以，，

由直线参数方程中的几何意义得，

，

所以.

23．【答案】（1）解：当；

当；

当；

综上，不等式的解集为；

（2）解：由（1）得：当；

当；当，所以，

又a，b为正实数，所以，

故，得证.