四川省内江市2022届高三理数第二次模拟考试试卷及答案

四川省内江市2022届高三理数第二次模拟考试试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．已知复数，则（　　）

A． B． C． D．

3．已知，则（　　）

A． B． C． D．

4．的展开式中，含项的系数为（　　）

A．120 B．40 C．-40 D．-80

5．如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

6．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（　　）

A．19 B．20 C．21 D．20或21

7．已知直线与相交于点，过点的直线与圆：相交于点，，且，则满足条件的直线的条数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．函数的图象大致为（　　）

A．

B．

C．

D．

9．已知抛物线以坐标原点为顶点，以为焦点，过的直线与抛物线交于两点，，直线上的点满足，则（　　）

A． B． C．40 D．80

10．2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（●）、跳台滑雪（）、自由滑雪（）、雪车（）这6个项目随机选择3个比赛项目现象观察（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为（　　）

A．1 B． C．2 D．

11．已知双曲线的一条渐近线为直线，的右顶点坐标为．若点是双曲线右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

12．设，，，则，，的大小关系正确的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．如图，在中，两直角边，，点，分别为斜边的三等分点，则　     　．

14．函数（）的图象向右平移后所得函数图象关于轴对称，则　     　．

15．造纸术是我国古代四大发明之一，现在我国纸张的规格采用国际标准，常用的复印纸是幅面采用A系列的，，，…，规格的一种．其中A系列的幅面规格为：①规格的纸张的幅宽（用表示）和长度（用表示）的比例关系是；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格．将纸张沿长度方向对开成两等分，便成规格．……，如此继续对开，得到一张纸的面积为，则一张纸的面积为　     　．

16．已知，，，，都在同一个球面上，平面平面，是边长为2的正方形，，当四棱锥的体积最大时，该球的半径为　     　．

三、解答题

17．某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2012年以来的乡村经济收入（单位：亿元）进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码的值1—10分别对应2012年至2021年．

参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

（1）若用模型①，②拟合与的关系，其相关系数分别为，，试判断哪个模型的拟合效果更好？

（2）根据（1）中拟合效果更好的模型，求关于的回归方程（系数精确到0.01），并估计该县2025年的乡村经济收入（精确到0.01）．

参考数据：，，，，

18．已知向量，，设函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且_________，求的取值范围．

从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．

①；②；③，，成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．

19．如图（1），已知是边长为6的等边三角形，点，分别在，上，，是线段的中点．将沿直线进行翻折，翻折到点，使得二面角是直二面角，如图（2）．

（1）若平面，求的长；

（2）求二面角的余弦值．

20．已知椭圆：（）的离心率为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上第一象限内的点，直线过点且与椭圆有且仅有一个公共点．

①求直线的方程（用，）表示；

②设为坐标原点，直线分别与轴，轴相交于点，，试探究的面积是否存在最小值．若存在，求出最小值及相应的点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数．

（1）当时，曲线在点处的切线方程；

（2）若为整数，当时，，求的最小值．

22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的方程为．以坐标原点的极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线及曲线的极坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于，两点，满足，求直线的斜率．

23．已知函数．

（1）若存在，使得，求实数的取值范围；

（2）令的最小值为．若正实数，，满足，求证：．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】C

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】B

9．【答案】B

10．【答案】B

11．【答案】C

12．【答案】D

13．【答案】10

14．【答案】

15．【答案】9984

16．【答案】

17．【答案】（1）解：因为更接近1，所以的拟合效果更好.

（2）解：根据题中所给数据得，

则，

所以回归方程为，

2025年的年份代码为14，

当时，，

所以估计该县2025年的乡村经济收入为亿元.

18．【答案】（1）解：因为，，

所以

由，得，

即函数的单调递增区间.

（2）解：若选①，

由正弦定理可得，

即，即，

由于，所以，解得，

由于，得，所以，

所以，得，

即的取值范围是.

若选②，

由正弦定理可得，即，

由于，所以，由于，得，所以，

所以，得，

即的取值范围是.

若选③，，成等比数列，即，

由余弦定理可得，

所以，

所以，得，

即的取值范围是.

19．【答案】（1）解：设中点为，因为是边长为6的等边三角形，是线段的中点，则，

又因为二面角是直二面角，平面平面，平面

所以平面

以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，则

所以

因为平面，则，故又，得

解得，故．

（2）解：因为平面，则平面的一个法向量为

由，得

设平面的一个法向量为，则

，又，取解得

故

所以

故二面角的余弦值为

20．【答案】（1）解：，解得，故椭圆的方程为.

（2）解：①由题意知，在椭圆上，故，直线斜率一定存在，设，联立椭圆方程得：，由有且仅有一个公共点，可得，得，，对于确定的点，直线只有一条，即关于的一元二次方程有两个相同的根，，，化简得.

②由知，令，，令，，，又，即，得，当且仅当时取等号，此时面积最小为，点.

21．【答案】（1）解：当时，，

则，

则，，

所以曲线在点处的切线方程为；

（2）解：因为当时，，

所以，即，

所以，

下面证明当时，对任意的恒成立，

即证明，

此时，，

令，

，

因为函数在都是增函数，

所以函数在是增函数，

又，

所以存在，使得，

则当时，，故函数递减，

当时，，故函数递增，

而，

所以存在，使得，

则当时，，故函数递减，

当时，，故函数递增，

所以，

而，即，所以，

所以，

令，

则，

令，

则，

所以函数在上递减，

所以，

所以，

所以函数在上递减，

所以，

因为，

所以，即，

所以当时，对任意的恒成立，

所以当时，，的最小值为.

22．【答案】（1）解：；

；

∴直线l的方程为：；

曲线的方程为：；

（2）解：将代入曲线C的方程得，①，

则M、N的极径为方程①的两根，

则，，

均为负数，

，

，

∴直线l的斜率.

23．【答案】（1）解：，

所以在上递减，在上递增，

所以，

，解得；

（2）解：由（1）得，，

所以，

当且仅当时等号成立．