江苏省泰州市2022届高三下学期数学第四次调研测试试卷及答案

 高三下学期数学第四次调研测试试卷

一、单选题

1．已知复数z满足，则|z|＝（　　）

A．1 B． C．2 D．2

2．已知全集，集合，集合，用如图所示的阴影部分表示的集合为（　　）

A．{2，4} B．{0，3，5，6}

C．{0，2，3，4，5，6} D．{1，2，4}

3．足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球的概率为80%，踢向球门右侧时进球的概率为75%．若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分别为60%、40%，则该球员点球射门进球的概率为（　　）

A．77% B．77.5% C．78% D．78.5%

4．已知，则（　　）

A．2 B． C． D．

5．已知直线，，且，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

6．为庆祝神州十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如下图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（　　）cm．

A． B． C． D．

7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若，且，则双曲线E的离心率为（　　）

A． B．4 C． D．6

8．已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．为了解学生在网课期间的学习情况，某地教育部门对高三网课期间的教学效果进行了质量监测．已知该地甲、乙两校高三年级的学生人数分别为900、850，质量监测中甲、乙两校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布（108，25）、（97，64），人数保留整数，则（　　）

参考数：若，则，，.

A．从甲校高三年级任选一名学生，他的数学成绩大于113的概率约为0.15865

B．甲校数学成绩不超过103的人数少于140人

C．乙校数学成绩的分布比甲校数学成绩的分布更分散

D．乙校数学成绩低于113的比例比甲校数学成绩低于113的比例小

10．若，则（　　）

A． B．

C． D．

11．在正四面体A－BCD中，，点O为的重心，过点O的截面平行于AB和CD，分别交BC，BD，AD，AC于E，F，G，H，则 （　　）

A．四边形EFGH的周长为8

B．四边形EFGH的面积为2

C．直线AB和平面EFGH的距离为

D．直线AC与平面EFGH所成的角为

12．若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（　　）

A．

B．数列是等比数列

C．数列不是递增数列

D．数列的前n项和小于

三、填空题

13．已知抛物线，直线被抛物线C截得的弦长为8，则抛物线C的准线方程为　     　．

14．某射手每次射击击中目标的概率均为0.6，该名射手至少需要射击　     　次才能使目标被击中的概率超过0.999，（参考数据：，）

15．已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第　     　项．

16．平面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是　     　．

四、解答题

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．

已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，b＝1，c＝3，且____．

注：如果选择多个方案进行解答，则按第一个方案解答计分

（1）求A；

（2）若点D在边BC上，且，求AD．

18．已知数列的前项和是，且

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．

19．手机用户可以通过微信查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞．现从小华的朋友圈内随机选取了100人，记录了他们某一天的行走步数，并将数据整理如下表：

若某人一天的行走步数超过8000则被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”．

（1）根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关；

附：

，其中；

（2）在被评定为“积极型的对象中采用分层抽样的方法从样本中抽取8人，再从中随机抽取3人，求抽到女性“积极型”人数X的概率分布列和数学期望．

20．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，为侧棱上的点．

（1）当为的中点时，求证：平面；

（2）若平面与平面所成的锐二面角为，求的长度．

21．已知椭圆）的左焦点为F，其离心率，过点F垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆的下顶点为B，过点D（2，0）的直线l与椭圆相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜率分别为，求的取值范围．

22．已知函数，．

（1）求的单调区间；

（2）求证：存在极小值；

（3）若的最小值等于，求的值．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】D

5．【答案】A

6．【答案】C

7．【答案】B

8．【答案】D

9．【答案】A,C

10．【答案】A,B,D

11．【答案】B,C,D

12．【答案】A,B,D

13．【答案】x=-1

14．【答案】8

15．【答案】10

16．【答案】

17．【答案】（1）解：若选①，，

∴，

又，∴，

因为 ，所以．

若选②，，

又，∴，

因为 ，所以 ，所以，．

若选③，，，

又，∴，

因为 ，所以；

（2）解：因为，

∴，

∴

，

∴．

18．【答案】（1）证明：当时，，解得；当时，

因为，①

所以，②

①－②，所以，所以

又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列．

（2）解：由（1）知，

所以，记的前项和为

所以，

，

两式相减得：

，所以

所以

19．【答案】（1）解：列联表如下：

∴有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．

（2）解：100人中男生“积极型”有25人，女生“积极型”有15人

抽取比例为5∶3，抽取男生5人，女生3人，X的所有可能取值为0，1，2，3

，

，

∴X的分布列如下

.

20．【答案】（1）证明：取中点，连接，，为的中点，

所以，且，又因为为的中点，，

且，所以，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，

平面，所以平面．

（2）解：如图建立空间直角坐标系，

所以，，设，，，

设平面的一个法向量，

所以，所以，

所以，

平面的一个法向量为，

所以，整理得

，所以，所以，即．

21．【答案】（1）解：由题可知，解得.

所以椭圆的方程为：.

（2）解：由题可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，，.

由题可知，整理得

，解得.

由韦达定理可得，.

由(1)知，点设椭圆上顶点为，，且，

∴

∴的取值范围为．

22．【答案】（1）解：，

因为，所以恒成立，

所以的单调递增区间为，无递减区间．

（2）证明：

令，，所以 在上单调递增，

令，所以，因为，所以，

即，所以在单调递增，所以，

即当时，恒成立，因为，所以

注意到，

所以在上有唯一的零点，且当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增，所以存在极小值

（3）解：由（2）知，①

且，，，

且

由①式得

令，

所以，当时，恒成立，

所以在上单调递减，注意到，所以，所以．