山东省滨州市2022届高三数学二模考试试卷及答案

 高三数学二模考试试卷

一、单选题

1．已知全集 ， ，则 （　　） 

A． B． C． D．

2．在正方体 中，设直线 与直线AD所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则 （　　） 

A． B． C． D．

3．设随机变量 ，则“ ”是“ ”的（　　） 

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．函数 在 单调递减，且为偶函数．若 ，则满足 的 的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

5．在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若 （ ， ），则 的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

6．已知直线 ，圆 ，则直线l与圆C的位置关系是（　　） 

A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

7．函数的部分图像如图所示，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则的表达式可以为（　　）

A． B．

C． D．

8．已知椭圆 和双曲线 有相同的左、右焦点 ， ，若 ， 在第一象限内的交点为P，且满足 ，设 ， 分别是 ， 的离心率，则 ， 的关系是（　　） 

A． B．

C． D．

二、多选题

9．欧拉公式 （本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（　　）

A．复数 为纯虚数

B．复数 对应的点位于第二象限

C．复数 的共轭复数为

D．复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆

10．若实数a，b满足 ，则下列结论中正确的是（　　） 

A． B．

C． D．

11．设函数 ，则下列结论中正确的是（　　） 

A． 的最小正周期为

B． 在 单调递减

C． 的图象关于直线 对称

D． 的值城为

12．在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把 ， 和 折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥 ，如图2所示，则下列结论中正确的是（　　）

A．

B．三棱锥 的体积为4

C．三棱锥 外接球的表面积为

D．过点M的平面截三棱锥 的外接球所得截面的面积的取值范围为

三、填空题

13．　     　． 

14．某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为　     　．

15．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且 ， ， 成等差数列，则 的面积的最大值为　     　． 

16．某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为　        　，编码99共出现　     　次．

四、解答题

17．锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． 

（1）求A；

（2）若 ，D为AB的中点，求CD的取值范围． 

18．新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：

单位：人

附： ， ．

（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；

（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．

19．已知公差为d的等差数列 和公比 的等比数列 中， ， ， ． 

（1）求数列 和 的通项公式； 

（2）令 ，抽去数列 的第3项、第6项、第9项、……、第3n项、……余下的项的顺序不变，构成一个新数列 ，求数列 的前n项和 ． 

20．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是等腰梯形， ， ，E是PB上一点，且 ． 

（1）求证： 平面 ； 

（2）已知平面 平面 ，求二面角 的余弦值． 

21．已知抛物线 在点 处的切线斜率为 ． 

（1）求抛物线C的方程；

（2）若抛物线C上存在不同的两点关于直线 对称，求实数m的取值范围． 

22．已知函数 ． 

（1）若对任意 ， 恒成立，求实数m的取值范围； 

（2）设函数 在 上的最小值为a，求证： ． 

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】C

3．【答案】B

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】D

9．【答案】A,B,D

10．【答案】B,C,D

11．【答案】A,D

12．【答案】A,B,D

13．【答案】-2

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】；6

17．【答案】（1）解：因为 ， 

由正弦定理可得 ，

所以 ，

所以 ，

因为 ，即 ，

所以 ，

因为 ，所以 ，

又因为 为锐角三角形，所以 ；

（2）解：由（1）知 ，又 ， 

在 中，由余弦定理可得 ，

因为 为锐角三角形，所以 ，

由余弦定理可得 ，

又 ，

所以  ，解得 ，

所以由二次函数性质可得CD的取值范围是 .

18．【答案】（1）解：设零假设为 ：购车种类与性别无关， 

根据数表可得 ，

所以零假设 是错的，即在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关.

（2）解：随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为 ， 

被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，X的可能值为：0，1，2，3，

依题意， ， ，

， ，

，

所以X的分布列为：

X的数学期望 .

19．【答案】（1）解：由题意， ，整理得 ，解得 或 ， 

因为公比 ，所以 ，则 ，

所以 ， ；

（2）解：由（1）可得 ， 

当 时，

，

当 时， ，

综上， .

20．【答案】（1）证明：如图，连接 交 于F，连接EF， 

， ， ，所以 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，得证

（2）解：由题，底面 是等腰梯形，作 垂直 于G， ，则 ， ， ， 

底面 ，设 ， ，分别以 ， ， 为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，

易得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，

设平面 法向量 ，平面 法向量 ，则 ，令 ，则 ，

同理 ，令 ，则 ，

由平面 平面 得 ，得 ，

则 ， ， ，

设平面 法向量 ，则 ，

令 ，则 ，又 ，所以 ，

故二面角 的余弦值为 .

21．【答案】（1）解：点 ，则切线方程为： ，由 消去y并整理得： 

，依题意， ，解得 ，

所以抛物线C的方程是 .

（2）解：设抛物线C上关于l对称的两点为 ，则设直线AB方程为： ， 

由 消去y并整理得： ，则有 ，解得 ，

， ，显然线段 的中点 在直线l上，

于是得 ，即有 ，而 ，因此， ，解得 ，

所以实数m的取值范围是 .

22．【答案】（1）解：若对任意 ， 恒成立，即 对任意 恒成立， 

令 ， ，

由 ，得 ，由 ，得 ，

所以 在 上单调递减，在 上单调递增，

所以 ，所以 ；

所以实数m的取值范围 ；

（2）证明： ，则 ， 

当 时， ，令 ，则 >0，

所以 在 上单调递增，

因为 ，

所以存在 使得 ，即 ，所以 ，

所以当 时， ，此时 ，当 时， ，此时 ，

所以 在 上单调递减，在 上单调递增，

所以 在 上的最小值 ，

令 ，则 ，

所以当 时， 单调递减， ， ，

所以 ，

所以 .