河北省唐山市2022届高三数学三模试卷及答案

 高三数学三模试卷

一、单选题

1．设集合，则（　　）

A． B． C．{2} D．

2．设复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．等比数列中，若，则（　　）

A．16 B．-16 C．32 D．-32

4．已知菱形的边长为2，，则（　　）

A． B． C．1 D．2

5．的展开式中的系数为（　　）

A．-4 B．-2 C．2 D．10

6．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上项点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（　　）

A．3 B．6 C． D．

7．下列说法正确的是（　　）

A．数据的方差是0.1，则有数据的方差为9

B．将4名学生分配到2间宿舍，每间宿舍2人，则不同的分配方法共有种

C．从4名男医生和5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，既有男医生又有女医生的组队方案共有种

D．在回归直线方程中，相对于样本点的残差为

8．已知函数则使不等式成立的实数x的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列命题正确的有（　　）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．，则

10．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（　　）

A．

B．双曲线的渐近线方程为

C．双曲线的离心率为

D．

11．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O，，其高为2，为圆O的内接三角形，且，P为圆上的动点，则（　　）

A．若平面，则三棱锥外接球的表面积为

B．若，则

C．三棱锥体积的最大值为

D．点A到平面距离的最大值为

12．已知函数，则下列说法正确的有（　　）

A．的周期为

B．关于点对称

C．在上的最大值为

D．在上的所有零点之和为

三、填空题

13．在某次测验中，测验结果服从正态分布．若，则　     　．

14．若，则　     　．

15．直线与圆交于A、B两点，且，则实数　     　．

16．角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步滕变成1（简称为8步“香程”），已知数列满足：（m为正整数），①若，则使得至少需要　     　步雹程；②若；则m所有可能取值的和为　     　．

四、解答题

17．如图，在四边形中，．

（1）证明：为直角三角形；

（2）若，求四边形面积S的最大值．

18．已知正项数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，证明：．

19．某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：

游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；

投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．

（1）向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的最大值点；

（2）游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．

20．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，．

（1）证明：平面；

（2）若，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

21．在平面直角坐标系中，动圆M与圆相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过点的直线l与曲线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线，直线相交于点P．若，求直线l的方程．

22．已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数在定义域内有两个不相等的零点．

①求实数a的取值范围；

②证明：．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】A

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】B

7．【答案】D

8．【答案】C

9．【答案】B,D

10．【答案】C,D

11．【答案】A,C,D

12．【答案】B,C,D

13．【答案】0.6

14．【答案】4

15．【答案】-1或5

16．【答案】9；385

17．【答案】（1）证明：∵，由与余弦定理

∴，

整理得，，

∴．

∴为直角三角形．

（2）解：∵，

∴．

由，得．

．（当且仅当时取等号）

所以四边形面积S的最大值为12．

18．【答案】（1）解：由已知，

即．

又，故，即（且）．

所以，当时，

当时，．

所以．

（2）证明：当时，．

．

法二：．

.

19．【答案】（1）解：3次向A桶投球投进2次的概率．

．

令，得．

当时，；当时，．

∴在上单调递增，在单调递减，

∴所以的最大值点．

（2）解：由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为．

设投进A桶的纯收入为X元，；

设投进B桶的纯收入为Y元，；

设投进C桶的纯收入为Z元，；

因为

所以游客甲选择向B桶投球更有利．

20．【答案】（1）证明：取中点，连接．

∴，

∴四边形为菱形，四边形为平行四边形．

∴，

∴．

又∵，

∴平面．

又∵平面，

∴．

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面．

（2）解：∵平面，

∴，

∴．

又∵，

∴，

又∵，

∴底面是直角梯形．

以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则．

，．

平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

由得取．

∴，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

21．【答案】（1）解：设动圆圆心，半径为r，依题意，，

于是得，化简得，

所以曲线C的方程为.

（2）解：依题意，直线l的斜率存在，设l的方程为，

由消去y并整理得，，则有，

直线的斜率存在，设直线的方程为：，由消去y并整理得：

，则有，解得，

切线的方程为，同理可得，切线的方程为，由，解得，即点，

则，

因，即，

即，化简得，，

因此，，于是得点或，直线l的斜率，

所以直线l的方程为或.

22．【答案】（1）解：当时，函数，定义域为．

．

由，得．

当时，，当时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）解：①若函数在定义域内有两个不相等的零点，

则方程有两个不等的实根．

即方程有两个不等的实根．

记，则，

记，则在上单减，且，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递增，在单调递减．

∴．

又∵且当时，，

∴方程为有两个不等的实根时，．

∴当时函数在定义域内有两个不相等的零点．

②要证，

只需证，

只需证，

因为，两式相减得：

．

整理得．

所以只需证，

即证，

即，不妨设，令，

只需证，

只需证，

设，

只需证当时，即可．

∵，

∴在（单调递减，

∴当时，，

∴在单调递增，当时，

∴原不等式得证．