广东省湛江市2022届高三数学二模试卷及答案

 高三数学二模试卷

一、单选题

1．若，则（　　）

A． B． C． D．

2．已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则（　　）

A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．4

3．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

4．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（　　）

A． B． C． D．

6．若，且，则的最小值为（　　）

A．9 B．3 C．1 D．

7．若，，，则（　　）

A． B． C． D．

8．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．某学校组建了合唱､朗诵､脱口秀､舞蹈､太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（　　）

A．这五个社团的总人数为100

B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%

C．这五个社团总人数占该校学生人数的4%

D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%

10．已知是函数的一个周期，则的取值可能为（　　）

A．﹣2 B．1 C． D．3

11．在正方体中，点E为线段上的动点，则（　　）

A．直线DE与直线AC所成角为定值

B．点E到直线AB的距离为定值

C．三棱锥的体积为定值

D．三棱锥外接球的体积为定值

12．若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（　　）

A．

B．当时，的值不唯一

C．可能等于-4

D．当时，的取值范围是

三、填空题

13．若，，则　     　.

14．拋物线的焦点为F，点为C上一点，若，则　     　.

15．的展开式中常数项为　     　.

16．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为　     　.

四、解答题

17．如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.

（1）求、两地之间的距离；

（2）求.

18．已知数列的前n项和为.

（1）从①，②，③这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求的通项公式；

（2）在第（1）问的前提下，若，求数列的前项和.

注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分.

19．某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有A、B两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从A、B两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.A、B两类知识挑战成功分别可获得2万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到20000元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对A、B两类知识的挑战成功率分别为0.6、0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关.

（1）若记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；

（2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.

20．在四棱台中，底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，，O，E分别是AC与的中点.

（1）证明：平面A1BD1.

（2）求与平面A1BD1所成角的正弦值.

21．已知函数.

（1）当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；

（2）讨论极值点的个数.

22．已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形.

（1）求C的标准方程.

（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】C

7．【答案】A

8．【答案】B

9．【答案】B,C

10．【答案】A,B,D

11．【答案】A,C

12．【答案】A,C,D

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】20410

17．【答案】（1）解：由余弦定理可得，

所以，.

（2）解：由余弦定理可得，

所以，，则为锐角，故，

因此，.

18．【答案】（1）解：选①②，因为，所以，

因为，，

所以，数列是等比数列，公比为，首项为，

所以，即

所以，当时，，

当时，，显然满足，

所以，.

选：②③，因为，，

所以，解得，故.

因为，

所以，即，

所以，整理得，

所以数列是等比数列，公比为，首项为，

所以.

选：①③，因为，，

所以，

所以，两式作差得，即，

所以数列是等比数列，公比为，首项为，

所以，，

所以，

所以.

（2）解：由（1）得，故，

所以数列的前项和满足：

19．【答案】（1）解：由题意可知，的可能取值有2000、20000、70000，

，，

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

（2）解：记Y为甲同学优先挑战B类知识所获奖金累计总额，

甲同学优先挑战A类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战B类知识所获奖金累计总额的期望为，

由题意可知，随机变量Y的可能取值有：2000、50000、70000，

则，，

，

所以，（元），

（元），

所以，，

所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战B类知识.

20．【答案】（1）证明：连接BD，

因为为正方形，可得O为BD的中点，

在中，因为分别为的中点，所以，

又因为平面A1BD1，且平面A1BD1，

所以平面A1BD1.

（2）解：因为平面，平面，所以，

以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，

如图所示，

可得，

则，

设平面A1BD1的法向量，则，

取，可得，所以，

设与平面A1BD1所成的角为，

则，

即与平面A1BD1所成的角为.

21．【答案】（1）解：因为，

所以，

因为函数的定义域为：，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，

因此要想在上存在最大值，只需，

所以m的取值范围为；

（2）解：，

方程的判别式为.
（1）当时，即，此时方程没有实数根，

所以，函数单调递减，故函数没有极值点；
（2）当时，即，

此时，（当时取等号），所以函数单调递减，故函数没有极值点；
（3）当时，即，此时方程有两个不相等的实数根，

设两个实数根为，设，则，

函数的定义域为：，显然

当时，此时方程有两个不相等的正实数根，

此时当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

因此当时，函数有极小值点，当时，函数有极大值点，

所以当时，函数有两个极值点，

当时，方程有一个正实数根和一个负根，或是一个正实数和零根，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数有极大值点，

因此当时，函数有一个极值点，

综上所述：当时，函数有一个极值点；

当时，函数有两个极值点；

当时，函数没有极值点.

22．【答案】（1）解：椭圆的上､下焦点分别为，

左､右顶点分别为，因为四边形是面积为8的正方形，

所以有且，解得，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）解：因为，

所以

，因为N为C上且在y轴右侧的点，

所以，

因此，

同理可得：，所以

设的方程分别为：，设，

则，

所以，因此

，

同理可得：，

因此，，

所以，

所以为定值，定值为.