陕西省宝鸡市渭滨区2022届高三下学期理数二模试卷及答案

 高三下学期理数二模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．设复数 满足 ，则复数 的共轭复数 (　　)  

A． B． C． D．

3．设，，，则，，的大小关系是（　　）

A． B． C． D．

4．已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　） 

A．若 ， ，则

B．若 ， ，则

C．若 ， ， ，则

D．若 ， ，则

5．某种产品的价格x(单位：元/kg）与需求量y(单位：元/kg)之间的对应数据如下表所示：

根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是（　　）

A．y与x正相关

B．．y与x负相关

C．样本中心点为(20，10)

D．该产品的价格为35元/kg时，日需求量大约为3.4kg

6．在区间上任取两个数，则两个数之和小于的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．已知向量 ， 且 ，当 ， 时， 的最小值为（　　） 

A．7 B．8 C．9 D．10

8．函数 的图象大致为（　　） 

A． B．

C． D．

9．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（　　）

A．60° B．90 C．30° D．75°

10．已知函数，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．

B．函数在上单调递减

C．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

D．函数的图象关于中心对称

11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？各穿几何？”，翻译成今天的话是：一只大鼠和一只小鼠分别从的墙两侧面对面打洞，已知第一天两鼠都打了一尺长的洞，以后大鼠每天打的洞长是前一天的2倍，小鼠每天打的洞长是前一天的一半，已知墙厚五尺，问两鼠几天后相见？相见时各打了几尺长的洞？设两鼠x 天后相遇（假设两鼠每天的速度是匀速的），则x=（　　） 

A． B． C． D．

12．已知函数，，集合，集合，若集合只含有一个元素，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．的展开式中项的系数为　     　.

14．已知为锐角，且，则　     　.

15．已知抛物线，直线，直线与抛物线分别交第四、第一象限于两点，且抛物线的焦点为，满足，则抛物线的方程为　     　．

16．若曲线与曲线有公切线，则的取值范围是　             　.

三、解答题

17．已知等差数列 满足：，且 ，， 成等比数列.

（1）求数列 的通项公式；

（2）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由.

18．随着华为手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.

已知分期付款的频率为0.15，并且销售一部手机，若果顾客分1期付款，商家利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.

（1）求、的值，并求事件“购买手机的位顾客中，至多有位分4期付款”的概率；

（2）用表示销售一部手机的利润，求的分布列及数学期望.

19．如图所示的多面体是由一个直四棱柱被平面 所截后得到的，其中 ， ， . 

（1）求证： 平面 ； 

（2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 

20．设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．点满足．

（1）求点的轨迹的方程．

（2）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与（1）中的曲线交于两点，．分别记，的面积为，，求的取值范围．

21．已知函数 . 

(Ⅰ)试求函数 的单调区间；

(Ⅱ)若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.

22．在直角坐标系 中，圆C的参数方程 ( 为常数)，以O为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；  

（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 ： 与圆C的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长.

23．已知函数 ， . 

（1）若 ，求不等式 的解集；  

（2）若关于 的不等式. 恒成立，求 的取值范围.  

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】B

4．【答案】D

5．【答案】B

6．【答案】D

7．【答案】C

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】A

11．【答案】C

12．【答案】D

13．【答案】80

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）解：依题意，成等比数列，

故有，

∴，解得或.

∴或.

（2）解：当 时，不存在满足题意的正整数 ；

当，∴.

令，即，

解得或（舍去），

∴最小正整数.

18．【答案】（1）解：由，得，因为，所以.

由独立重复试验的概率公式可得.

（2）解：设分期付款的分期数为，则

，，，，.

的所有可能取值为、、.

，

，

.

所以的分布列为

（元）.

19．【答案】（1）证明：在 中，因为 ， ， 

所以由余弦定理得， ，

所以 ，

所以 ，即 ，

在直四棱柱中， 平面 ， 平面 ，

所以 ，

因为 平面 ， 平面 ， ，

所以 平面 .

（2）因为 ， ， 两两相互垂直， 

所以以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由 ，得 ， ，

所以有 ， ， ， ，

， ， ，

设 为平面 的一个法向量，

则 ，即 ，

令 ，解得 ，

因为 ， ，

设直线 与平面 所成角为 ，且 ，

所以

，

所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .

20．【答案】（1）解：设点，由得，由于点在圆上，所以，即点的轨迹方程为．

（2）解：如图所示，

设点，，，则，的方程为

，，

又点在、的上，则有：

①，

②，

由①、②知的方程为：．

设点，，则圆心到的距离，则；

又由，得，

于是，，，

于是．

设，则，于是．

设，，于是．

设，，令，得，

得在上单调递增，故，所以的范围为，即的取值范围．

21．【答案】解：（Ⅰ）因为

所以

①若 ，则 ，即 在区间 上单调递减；

②若 ，则当 时，   ；当 时， ；

所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；

③若 ，则当 时， ；当 时， ；

所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．

综上所述，若 ，函数 在区间 上单调递减；；

若 ，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；

若 ，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．

（Ⅱ）依题意得 ，

令 .因为 ，则 ，即 ．

于是，由 ，得 ，

即 对任意 恒成立.

设函数 ，则 .

当 时， ；当 时， ；

所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；

所以 .

于是，可知 ，解得 .

故 的取值范围是

22．【答案】（1）解：利用 ，把圆C的参数方程 ( 为参数)化为 ，即 ，

∴ ，即 .

（2）解：设 为点P的极坐标，由 ，解得 .

设 为点Q的极坐标，由 ，解得 .

∵ ，∴ .∴ .

23．【答案】（1）解： 时，不等式为 .  

当 时，不等式化为 ， ，此时 ；

当 时，不等式化为 恒成立，此时 ；

当 时，不等式化为 ， ，此时 .

综上，不等式的解集为 ；

（2）解： ，   

恒成立， ，又 ， ，

解得 或 ，即 的取值范围是 . ，

恒成立， ，又 ， ，

解得 或 ，即 的取值范围是 .