山西省临汾市2022届高三理数三模试卷及答案

山西省临汾市2022届高三理数三模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．在复平面内，复数z对应点的坐标为，则（　　）

A．i B．－i C．1＋i D．1－i

3．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若，，则

4．已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，命题q：“a>b”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（　　）

A． B． C． D．

5．已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（　　）

A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0

6．央视热播剧《人世间》，描述了50年蜿蜒曲折中国家的发展和老百姓生活的磅礴变迁，其中良好家风的传承及流淌在人与人之间的良善真义，深深打动并温暖了观众之心，堪称一部当代中国的影像心灵史诗．某高中社团调查了100名观众，将这100名观众对该剧的评分绘制成了如图所示的频率分布直方图，则评分的中位数约为（　　）

A．8.15 B．8.24 C．8.33 D．8.42

7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的方向上的投影为（　　）

A． B．－1 C．1 D．

8．我国在防震减灾中取得了伟大成就，并从2009年起，将每年5月12日定为全国“防灾减灾日”．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，地震学家查尔斯·里克林提出了关系式：，其中E为地震释放出的能量，M为地震的里氏震级．已知2008年5月12日我国发生的汶川地震的里氏震级为8.0级，2017年8月8日我国发生的九寨沟地震的里氏震级为7.0级，可知汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的（　　）（参考数据：，）

A．9.6倍 B．21.5倍 C．31.6倍 D．47.4倍

9．小王被某大学录取，在通知书接收当天，快递人员可能在17：30~18：30之间把通知书送到小王家，小王在18：00~19：00之间能回到家中，则小王当天到家后能当面签收通知书的概率为（　　）

A． B． C． D．

10．已知，且，则(　　)

A． B． C． D．

11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A，B分别在其左、右两支上，，M为线段AB的中点，且，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

12．关于x的不等式对任意x>1恒成立，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．五一劳动节期间，有6名志愿者要去3所敬老院做义工，这3所敬老院的规模不同，其中2所敬老院规模较小，各需1名义工，剩余4人均去另1所，则不同的分配方案有　     　种．

14．曲线在点处的切线方程是　        　.

15．已知四边形ABCD为菱形，AB=1，∠BAD=60°，将其沿对角线BD折成四面体，使，若四面体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为　     　．

16．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则　     　．

三、解答题

17．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求C；

（2）若，设，求数列的前2n项和．

18．如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．

（1）若，证明直线AG在平面AEF内；

（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，试确定的值．

19．已知函数，．

（1）若是的极值点，求a；

（2）若函数与的值域相同，求a的取值范围．

20．某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门后结果分别是：3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点．游戏规定：不重复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，走出迷宫游戏结束．

（1）求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的期望；

（2）甲、乙2人相约玩这个游戏.2人商量了两种方案，

方案一：2人共同行动；

方案二：2人分头行动．

分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的期望．

21．已知抛物线的焦点为F，过点的直线与E交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O．

（1）求E的方程；

（2）连接AF，BF，分别延长交E于C，D两点，问是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由．

22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，将上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到曲线．

（1）求的直角坐标方程；

（2）已知点，若M为上任意一点，直线AM与的另一个交点为N，当M为线段AN的中点时，求M的直角坐标．

23．已知函数，．

（1）当a＝2时，求不等式的解集；

（2）若，使成立，求a的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】C

8．【答案】C

9．【答案】A

10．【答案】B

11．【答案】C

12．【答案】B

13．【答案】30

14．【答案】x-y+1=0

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）解：由正弦定理得，

故，可得，

又因为，所以，所以，又因为，所以．

（2）解：由正弦定理得，所以，

又因为，则，，

所以

．

18．【答案】（1）证明：取BC的中点M，连接，则AM⊥AD，分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示．

则，，，，， ，

设，因为，，．

所以，即，

，，

设平面AEF的法向量，则，所以

取，

所以，即．

又因为平面AEF，

所以直线AG在平面AEF内．

（2）解：设，则

则，

解得或，即或

19．【答案】（1）解：由，

因为是的极值点，所以，即．

若，则当时，；时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，所以

（2）解：①当时，，所以在R上单调递增，所以的值域为R．

令，，则的值域也为R．

②当时，，可知的值域为，

此时与的值域不相等，所以．

③当时，，解得，

所以，在单调递减，在单调递增，

所以，

所以的值域为．

令，，，

因为在单调递减，在单调递增，则只需．

令，，，

时，时，

所以在单增，在单减，而，

所以，所以在单减，而，

故当时，．

综上所述，a的取值范围为或．

20．【答案】（1）解：设一名游戏参与者走出迷宫所用时间为X，

则X的所有可能取值为3，6，9，

，，，

所以，

即一名游戏参与者走出迷宫所用时间的期望为．

（2）解：由（1）按照方案一：2人共同行动所用的时间和的期望为，

按照方案二：设两人走出迷宫所用时间和为Y，

则Y的所有可能取值为9，12，15，

，，

，

所以，

即按照方案二两人所用时间和的期望为11．

21．【答案】（1）解：由题知，直线l的斜率不为0，可设其方程为，，，

联立，得，

所以，，

因为以AB为直径的圆过原点O，所以OA⊥OB，即，

所以，即，

将代入，解得．

所以E的方程为

（2）解：设，，直线AF的方程为，

联立，得，

所以，即，

同理，即，

，

同理，

由（1）知，

所以

22．【答案】（1）解：因为曲线的极坐标方程为，

所以的直角坐标方程为．

设曲线上任意一点的坐标为，则由伸缩变换得到①

将①代入得，所以曲线的直角坐标方程为

（2）解：因为M为上任意一点，可设，因为M为线段AN的中点，，

所以．又因为点N也在上，所以，

解得，则，所以M的直角坐标为或

23．【答案】（1）解：当a＝2时，，

当时，，恒成立，解得；

当时，，由，得，解得；

当时，，无解，综上所述，的解集为

（2）解：当，时，．

由得，即．

当时，，所以．

若使成立，则只需，

而

（当且仅当x＝0时等号成立），所以a的取值范围为