广东省深圳市2022届高三数学二模试卷及答案

 高三数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．已知点，向量，则向量（　　）

A． B． C． D．

4．深圳是一座志愿者之城、爱心之城．深圳市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（　　）

A．3.3万人 B．3.4万人 C．3.8万人 D．3.9万人

5．已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（　　）

A．2 B． C．3 D．

6．若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（　　）

A．π B． C． D．

7．已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（　　）

A． B．

C． D．

8．过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（　　）

A．30º或150º B．45º或135º C．60º或120º D．与p值有关

二、多选题

9．如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（　　）

A．F为的中点 B．F为的中点

C．F为的中点 D．F为的中点

10．已知随机变量X服从正态分布，密度函数，若，则（　　）

A． B．

C．在上是增函数 D．

11．已知，则（　　）

A． B．

C． D．

12．P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（　　）

A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得

C．直线AB经过一个定点 D．线段AB的中点在一个定圆上

三、填空题

13．已知，则　     　．

14．设，则的最小值为　     　.

15．已知函数是偶函数，则　     　．

16．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积　     　；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积　     　．

四、解答题

17．已知数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求满足条件的最大整数n．

18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）证明：；

（2）当时，求的面积S．

19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，M是侧棱的中点，且平面．

（1）求证：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

20．2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．

（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．

21．已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点．

①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q；

②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q．

22．设函数，其中．

（1）讨论的单调性；

（2）当存在小于零的极小值时，若，且，证明：．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】A

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】A,C,D

10．【答案】A,C,D

11．【答案】A,D

12．【答案】A,C,D

13．【答案】

14．【答案】9

15．【答案】

16．【答案】π；4π

17．【答案】（1）解：①时，，得，

①时，，得，

故是首项为3，公比为2的等比数列，

（2）解：由（1）得，故

整理得，即，而，

故的最大值为5

18．【答案】（1）证明：由题意：

因为正弦定理：，

所以对于，

有，

整理得：，

所以，，因为A，，为的三个角，

所以，得.

（2）解：由(1)及题意可得：

，，，，

，，，

，

则

所以的面积为.

19．【答案】（1）证明：因为平面，

所以，

又底面为正方形，

所以，又，

所以平面，又平面ABCD，

所以平面平面；

（2）解：取AD的中点O，连接PO，则平面ABCD，

则以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：

设AB=2，则，

所以，

设平面PBC的一个法向量为，

则，即，

令，则，x=0，则，

设AM与平面所成角，

所以.

20．【答案】（1）解：第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：

；

第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：

，

因为，所以，所以.

所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.

（2）解：由已知万元或万元.

由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.

此时，业余队获胜的概率为，

专业队获胜的概率为，

所以，非平局的概率为，

平局的概率为.

的分布列为：

的数学期望为（万元）

而，所以的取值范围为：（单位：万元）.

21．【答案】（1）解：由已知，，点在椭圆上，所以，又因为，所以

，所以椭圆的方程为：.

（2）解：选①，则，设，

所以

消去得：，

所以，所以，则，所以

，

，消去得：，

，

所以，所以，则，所以

，

所以，

所以直线的方程为：，

所以，所以，故直线恒过定点.

选②，则，设，

所以

消去得：，

所以，所以， 所以

同理：，所以，所以

所以直线的方程为：

令，则

故直线恒过定点.

22．【答案】（1）解：由

①当时，在上为单调递增函数.

在上为单调递减函数.

②当时，令

（i）当时，，

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，恒成立，故在上为单调递增函数

（ii）当时，或，，故在和上为单调增函数，在上为单调减函数.

(iii) 当时，或，，故在上为单调增函数，在和上为单调减函数.

综上所述：当时， 在上为单调递增函数.在上为单调递减函数. 当时，若，在上为单调递增函数；若，在和上为单调增函数，在上为单调减函数；若，在上为单调增函数，在和上为单调减函数.

（2）解：当存在小于零的极小值时，，此时在上为单调递增函数，

令

令

在上单调递增，而

在在上单调递增

从而

在上单调递减