2023信阳高级中学高三上学期开学考试理数试题含答案

这是一份2023信阳高级中学高三上学期开学考试理数试题含答案，文件包含数学理docx、数学理答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。

第 Ι 卷
一．选择题（共13小题）
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣2＜x≤2}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|﹣2≤x≤2}
2．i为虚数单位，若3+bi1+i是实数，则实数b的值为（ ）
A．3B．32C．−32D．﹣3
3．已知角α的终边上有一点P（3，﹣1），则cs2α＝（ ）
A．−12B．12C．−32D．32
4．若(x−2x)n的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为（ ）
A．729B．64C．1D．﹣1
5．已知数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，公比q＝3，则数列{b2n}的前8项的和为（ ）
A．3×(97−1)8B．3×(98−1)8C．1×(97−1)8D．1×(98−1)8
6．若函数f（x）=g(x)+1，x＜0lg2(1+x)，x＞0是奇函数，则g（﹣3）＝（ ）
A．4B．3C．﹣3D．﹣4
7．设a＞0，b＞0，且a+b＝1，则aba+4b最大值为（ ）
A．110B．19C．227D．15
8．中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观，宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓汉字本身且有丰富的音象利可朝的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为（ ）
A．60B．90C．120D．150
9．将函数f（x）＝2sin(ωx−π3)(ω＞0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝5，BD＝8，AC＝3，则以点C为球心，以22为半径的球被平面ABD截得的图形面积为（ ）
A．πB．5π4C．16π9D．9π4
11．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，c是双曲线C的半焦距，点A是圆O：x2+y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，|F2A|＝a，F2A→=3F2B→，则双曲线C的离心率为（ ）
A．62B．332C．362D．6
12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M(−p2，0)，过点F的直线与此抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝8，且tan∠AMB=22，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
第 ΙΙ 卷
二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中的横线上。
13．12 (1x+1−(x−2)2)dx= ．
14．已知函数f（x）＝x﹣sinx，则满足不等式f(lnx)+f(2ln1x−1)＜0的x的取值范围是 ．
15．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，S3，S9，S6成等差数列，则a2+a5a8的值为 ．
16．已知函数f（x）＝x（x﹣ex）+e2x+mex（x﹣ex）有三个零点x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.718为自然对数的底数，则m−(x1ex1−1)2(x2ex2−1)(x3ex3−1)的范围为 ．
三．解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。
17．已知函数f（x）＝ksin（2x+φ）（k＞0，0＜φ＜π2）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝0，3sinB＝4sinC，且△ABC的面积为33，求a的值．
18．乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方．
（1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23．在一局比赛中，若现在甲、乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；
（2）假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望．
19．如图，AB 是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，
E，F分别是PA，PC的中点．
（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l∥平面PAC；
（2）若PC＝AB＝2，点C是AB的中点，求二面角E﹣l﹣C的正弦值．
20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为A，直线FA的斜率为−33，且原点O到直线FA的距离为32．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过点D（4，0）的动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线A1P，A2Q相交于点E，证明：点E在定直线上．
21．已知函数f（x）＝（x+b）（ex﹣a）（b＞0）在（﹣1，f（﹣1））处的切线l方程为（e﹣1）x+ey+e﹣1＝0．
（1）求a，b，并证明函数y＝f（x）的图象总在切线l的上方（除切点外）；
（2）若方程f（x）＝m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，证明：x2−x1≤1+m(1−2e)1−e．
四．选考题：共10分.请考生在22~23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分.
22．直线l过点A（﹣2，﹣4），倾斜角为π4．
（Ⅰ）以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．过O作l的垂线，垂足为B，求点B的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）；
（Ⅱ）与曲线C：x=2t2y=2t（t为参数）交于M，N两点，证明：|AM|，|MN|，|AN|成等比数列．
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）+f（2x+2）＞3的解集M；
（2）设a，b∈M，求证：f(1a−1b+1)＜f(1ab)．